新高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十六）随机变量的分布列、均值与方差（含解析）

课时跟踪检测（五十六）  随机变量的分布列、均值与方差

1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为(　　)

A．25　　　　　　　　 B．10

C．7  D．6

解析：选C　X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.

2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝mk(k＝1,2,3)，则m的值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×2＋m×3＝＝1，

∴m＝.

3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D　P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.

4．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选C　因为p＝1－－＝，

所以E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3，

所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，

所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.

5．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是(　　)

A．0.2  B．0.3

C．0.4  D．0.5

解析：选A　摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－＝0.2.

6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为(　　)

A．1  B．1.5

C．2  D．2.5

解析：选B　X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.

7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2＋2＝.

若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．

所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.

8．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时(　　)

A．D(ξ)减小  B．D(ξ)增大

C．D(ξ)先减小后增大  D．D(ξ)先增大后减小

解析：选D　由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，D(ξ)＝2×＋2×＋2×

＝2×＋2×＋2×

＝2＋2－2＋2

＝－

＝p2＋－p(2p－1)

＝－p2＋p＋

＝－2＋，

∴D(ξ)在上递增，在上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.

9．随机变量ξ的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．

解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.

又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝.

又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，

得0≤－d≤，0≤＋d≤，

∴－≤d≤.

答案：　

10．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.

解析：由题意可知，P(ξ＝2)＝＝.

答案：

11．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：

(1)从这30天中任取2天，求2天的日需求量均为40个的概率；

(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝.现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．

解：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n＝C，

2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝C，

∴2天的日需求量均为40个的概率P＝＝.

(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y，

P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，

∴Y的分布列为

E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝.

∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝，<，

∴此建议不该被采纳．

12．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00 cm，只要误差的绝对值不超过0.03 cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1 000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：

(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；

(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．

解：(1)由条形统计图知，该批次产品长度误差的绝对值X的分布列为

所以X的数学期望E(X)＝0×0.4＋0.01×0.3＋0.02×0.2＋0.03×0.075＋0.04×0.025＝0.010 25.

(2)由(1)可知标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件B，则P(B)＝1－2＝＝0.64＜0.8，故不符合概率不小于0.8的要求．

设生产一件产品为标准长度的概率为x，

由题意知P(B)＝1－(1－x)2≥0.8，

又0＜x＜1，解得1－≤x＜1.

所以概率的最小值为1－.

13．某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：

(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；

(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

参考公式：回归直线的方程是：＝x＋，其中，＝＝，＝－.

解：(1)因为＝＝38，

＝＝7，

xiyi＝20×4＋30×5＋35×6＋40×8＋48×8＋55×11＝1 749，

x＝202＋302＋352＋402＋482＋552＝9 454，

＝≈0.2，

＝－＝7－0.2×38＝－0.6，

所以月支出y关于x月收入的线性回归方程是＝0.2x－0.6.

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.