初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角测试题

这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角测试题，共11页。试卷主要包含了 外角性质， 拓展性质等内容，欢迎下载使用。
【知识重点】
1. 定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
特别解读
(1)位置： 在三角形的外部.
(2)与相邻内角是邻补角.
(3)三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角．
2. 外角性质(三角形内角和定理的推论)
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
常见应用：
(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个；
(2)证明一个角等于另两个角的和或差；
(3)作为中间关系式证明两个角相等.
3. 拓展性质
(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；
(2)三角形的外角和等于360° .
【经典例题】
【例1】如图，△ABC的外角∠CAE的平分线AD交BC 的延长线于D，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度数.
解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠ACD 转化为∠B＋∠BAC 进行求解.
【同步练习】
一、选择题
1．如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是( )
A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角

第1题图 第2题图 第3题图
2．图中∠1的大小等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．【2021·河池】如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是( )
A．90° B．80° C．60° D．40°
4．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形
5．【2021·内江】如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度数为( )
A．55° B．75° C．80° D．105°

第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
7．【2021·烟台】一副三角尺如图放置，两三角尺的斜边互相平行，每个三角尺的直角顶点都在另一个三角尺的斜边上，图中∠α的度数为( )
A．45° B．60° C．75° D．85°
8．【2021·宜昌】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°

第8题图 第9题图 第10题图
9．如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是( )
A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠7
C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
10．【2021·陕西】如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为( )
A．60° B．70°C．75° D．85°
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△BCD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于 ( )
A．44° B．60° C．67°D．77°

第11题图 第16题图 第17题图
12．在一个三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角中，最多有( )个锐角．
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
二、填空题
13．三角形的一边与另一边的________组成的角，叫做三角形的外角；三角形的每个顶点处都有_____个外角，且这两个外角________．
14．三角形的外角等于与它________的两个内角的和，因此它________与它不相邻的任一内角．
15．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的度数和(称为三角形的外角和)是________．
16．如图，△CEF的外角为________________．
17．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝________度．
18．已知△ABC的三个内角之比为1∶2∶3，则三角形三个外角之比为 .
19．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
三、解答题
20．一个三角形的三个外角中，最少有几个钝角？最多有几个直角？最多有几个锐角？
21．如图， 已知D是△ABC的边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83° .
(1)求∠B的度数；
(2)若∠D＝42 °， 求∠AFE的度数.
22．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD.求：
(1)∠BAF的度数；
(2)∠F的度数．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，BF为△ABC的角平分线．
(1)若∠ABC＝α，则∠ADE＝ (用含α的式子表示)；
(2)探究∠AFB与∠ADE之间的数量关系．
24．【2021·重庆一中期末】如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠E的度数；
(2)若∠A＝60°，求∠E的度数；
(3)根据(1)(2)的结论，请直接写出∠E与∠A之间的数量关系．
25．探究：正五角星形的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①所示的正五角星形，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
解：∵∠AFG＝∠C＋∠E，∠AGF＝∠B＋∠D，
∴∠AFG＋∠AGF＝∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF＝________°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________°.
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝________°.
拓展：如图②，小明改变了这个五角星形的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和．
应用：如图③，小明将图②中的点A落在BE上，点C落在BD上，若∠B＝∠D＝36°，则∠CAD＋∠ACE＋∠E＝________°.
参考答案
【经典例题】
【例1】如图，△ABC的外角∠CAE的平分线AD交BC 的延长线于D，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度数.
解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠ACD 转化为∠B＋∠BAC 进行求解.
解：∵ AD是∠CAE的平分线，∠DAE＝60°，
∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.
∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠BAC＋∠B=60°＋35°＝95°.
【同步练习】
一、选择题
1．如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是( D )
A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角

第1题图 第2题图 第3题图
2．图中∠1的大小等于( D )
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．【2021·河池】如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是( B )
A．90° B．80° C．60° D．40°
4．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形
5．【2021·内江】如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3的度数为( C )
A．55° B．75° C．80° D．105°

第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
7．【2021·烟台】一副三角尺如图放置，两三角尺的斜边互相平行，每个三角尺的直角顶点都在另一个三角尺的斜边上，图中∠α的度数为( C )
A．45° B．60° C．75° D．85°
8．【2021·宜昌】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是( A )
A．15° B．30° C．45° D．60°

第8题图 第9题图 第10题图
9．如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是( B )
A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠7
C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
10．【2021·陕西】如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为( B )
A．60° B．70°C．75° D．85°
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△BCD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于 ( C )
A．44° B．60° C．67°D．77°

第11题图 第16题图 第17题图
12．在一个三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角中，最多有( A )个锐角．
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
二、填空题
13．三角形的一边与另一边的________组成的角，叫做三角形的外角；三角形的每个顶点处都有_____个外角，且这两个外角________．
【答案】延长线 两 相等
14．三角形的外角等于与它________的两个内角的和，因此它________与它不相邻的任一内角．
【答案】不相邻 等于
15．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的度数和(称为三角形的外角和)是________．
【答案】360°
16．如图，△CEF的外角为________________．
【答案】∠AFC，∠BEF
17．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝________度．
【解析】∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.
又∵∠2＝35°，
∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.
【答案】80
18．已知△ABC的三个内角之比为1∶2∶3，则三角形三个外角之比为 .
【答案】5∶4∶3
19．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
【答案】180°
三、解答题
20．一个三角形的三个外角中，最少有几个钝角？最多有几个直角？最多有几个锐角？
解：一个三角形的三个外角中，最少有两个钝角，最多有一个直角，最多有一个锐角．
21．如图， 已知D是△ABC的边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83° .
(1)求∠B的度数；
解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.
(2)若∠D＝42 °， 求∠AFE的度数.
∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，
∠D＝42°，
∴∠AFE＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.
22．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD.求：
(1)∠BAF的度数；
解：∵∠BAF＝∠B＋∠C，∠B＝40°，
∠C＝70°，
∴∠BAF＝110°.
(2)∠F的度数．
解：∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝70°.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝eq \f(1,2)∠BAC＝35°.
∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC＝35°.
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，BF为△ABC的角平分线．
(1)若∠ABC＝α，则∠ADE＝ (用含α的式子表示)；
【答案】α
(2)探究∠AFB与∠ADE之间的数量关系．
解：∵∠ADE＝90°－∠A，
∠ABC＝90°－∠A，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠AFB＝∠C＋∠CBF＝90°＋eq \f(1,2)∠ABC，
∴∠AFB＝90°＋eq \f(1,2)∠ADE.
24．【2021·重庆一中期末】如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠E的度数；
解：∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝180°－∠ACB＝120°.
∵BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠CBA＝25°，∠ECM＝eq \f(1,2)∠ACM＝60°，
∵∠ECM＝∠EBC＋∠E，
∴∠E＝∠ECM－∠EBC＝60°－25°＝35°.
(2)若∠A＝60°，求∠E的度数；
解：∵∠ACM＝∠CBA＋∠A，CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM＝eq \f(1,2)∠ACM＝eq \f(1,2) (∠CBA＋∠A)．
又∵∠ECM＝∠EBC＋∠E，BE是∠ABC的平分线，
∴∠E＝∠ECM－∠EBC＝eq \f(1,2) (∠CBA＋∠A)－eq \f(1,2)∠CBA＝eq \f(1,2) ∠A＝30°.
(3)根据(1)(2)的结论，请直接写出∠E与∠A之间的数量关系．
解：∠E＝eq \f(1,2)∠A.
25．探究：正五角星形的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①所示的正五角星形，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
解：∵∠AFG＝∠C＋∠E，∠AGF＝∠B＋∠D，
∴∠AFG＋∠AGF＝∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF＝________°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________°.
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝________°.
【答案】180 180 36
拓展：如图②，小明改变了这个五角星形的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和．
解：∵∠AFG＝∠C＋∠E，
∠AGF＝∠B＋∠D，
∴∠AFG＋∠AGF＝∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
应用：如图③，小明将图②中的点A落在BE上，点C落在BD上，若∠B＝∠D＝36°，则∠CAD＋∠ACE＋∠E＝________°.
【答案】108