2023学年二轮复习解答题专题十三：与圆有关的弧长计算

2023年二轮复习解答题专题十六：

与圆有关的弧长计算

典例分析

例1  （2022福建中考）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．

（1）求证：AC＝AF；

（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．

专题过关

1．（2022绍兴中考）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．

（1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．

（2）求证：AD平分∠BDO．

2. （2022邵阳中考） 如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．

（1）求的度数；

（2）若的半径为3，求圆弧的长．

3. （2022泰州中考） 如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒

（1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；

（2）在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.

4. （2022深圳中考）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为

（1）如图①，为一条拉线，在上，求长度．

（2）如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．

（3）如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．

5. （2022河南西华二模）如图，已知内接于，AB为直径，点D在上，，作直线CF切于点C，与DB的延长线交于点E．

（1）求证：；

（2）若，，填空：

①_______．

②劣弧的长为_______．

6.（2022河南长垣二模） 如图，在中，，以AB为直径作交BC于点D，交AC于点E．用直尺和圆规按下列步骤作图：

（i）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，AC于点M，N；

（ii）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线AP，射线AP恰好经过点D．

（1）证明：．

（2）①连接OD，DE，请你添加一个条件，使四边形AODE是菱形，并证明；

②在①的条件下，求的长．

7.（2022河南夏邑一模） 如图1展示的是曲柄连杆运动的示意图（1-曲柄，2-连杆，3-摇杆，4-机架），滑块C在弧形滑槽内运动，通过连杆带动点B绕点A做圆周运动．某数学兴趣小组利用示意图，构建了数学模型．如图2，点C在上运动，利用连杆，使得点B在上运动．

（1）如图3，点C运动到这一时刻时，连接交于点M，连接．请判断此时与的位置关系，并说明理由．

（2）若点C在上运动一个来回，则点B恰好绕点A运动一周，若，请求出的度数．

8. （2022商丘二模） 请阅读下列材料，并完成相应的任务．

战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．

下面是弦切角定理的部分证明过程：

证明：如图1，与相切于点A．当圆心O在弦上时，容易得到，所以弦切角．

如图2，与相切于点A．当圆心O在的外部时，过点A作直径交于点F，连接．

∵是直径，

∴，

∴，

∵与相切于点A，

∴，

∴；

∴．

（1）如图3，与相切于点A，当圆心O在的内部时，过点A作直径交于点D，在上任取一点E，连接，求证：；

（2）如图3，已知的半径为1，弦切角，求的长．

9. （2022许昌一模）张老师在复习《圆》的内容时，用投影屏幕展示出如下内容：

已知，AB为半圆O的直径，点C为半圆O上任一点．

张老师让同学们根据题意画出图形，添加条件后，编制一道题目，并给出解答．

以下是小亮和小颖的对话：

小亮：我画的图形如图，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D．连接OC，AC，BC，若∠A＝30°，则图形中存在全等的三角形；

小颖：我在半圆O上找一点E，且满足以点A，O，C，E为顶点的四边形为菱形，若AB＝2，可求出的长为；

小亮：小颖的答案是有问题的．

参考上面对话，完成以下任务：

（1）请写出图中所有的全等三角形，并对其中一对给出证明；

（2）填空：小颖编制的题目中的长应为______．

10. （2021丽水中考） 如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

11．（2021金华中考）（10分）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．

（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．

①求∠APO′的度数．

②求AP的长．

（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．

12．（2021宜昌中考）（8分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．

①求的长；

②求AD的长．

13．（2021河北中考）（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．

（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；

（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

（3）求切线长PA7的值．

14. （2021百色中考） 据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．

某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：

第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；

第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；

第三圈长：87×2＋2π（36＋12×2）≈415（米）；

……

请问：

（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？

（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？

（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）