2023学年二轮复习解答题专题十四：反比例函数与一次函数结合

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2023年二轮复习解答题专题三：
反比例函数与一次函数结合
方法点睛
反比例函数与一次函数结合题解题的一般思路
1．求反比例函数与一次函数的解析式：(1)找到或求出反比例函数图象上一点的坐标，利用待定系数法求解；(2)找到或求出一次函数图象上两点的坐标，再利用待定系数法求解．
注：当已知一次函数与反比例数函数图象上的一个交点A的坐标及交点B的横(纵)坐标，确定两个函数的解析式时，先利用点A的坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得点B的坐标，再利用A，B两点的坐标确定一次函数解析式．
2．(1)求交点坐标：当已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的解析式，求它们的交点A，B的坐标时，只需解方程组求得x，y的值(通常有两对值)，即是交点的横、纵坐标．
(2)确定交点情况：当已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的解析式，联立两个函数的解析式，得k1x＋b＝，即k1x2＋bx－k2＝0，当该一元二次方程的Δ＞0时，两函数图象有两个不同的交点；当Δ＝0时，两函数图象有两个相同的交点(即一个交点)；当Δ＜0时，两函数图象没有交点．
3．利用函数图象确定不等式ax＋b＞或ax＋b＜的解集：如图，过它们图象上的交点A，B分别作y轴的平行线，连同y轴，将平面分为四部分．①对于不等式ax＋b＞的解集，从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即过点A的虚线的右侧及过点B的虚线的右侧与y轴的左侧部分(尤其注意y轴的取舍)，从而可得其解集为x＞xA或xB＜x＜0；②对于不等式ax＋b＜的解集，从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分，即过点B的虚线的左侧及过点A的虚线的左侧与y轴的右侧部分，从而可得其解集为x＜xB或0＜x＜xA．


典例分析
例1：（2022北京人大附中一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点

（1）求k的值；
（2）已知点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交函数于点C．
①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
②若PC≤PB，结合图象，直接写出n的取值范围．
专题过关
1. （2022宁波中考）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点．


（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围．
2. （2022金华中考） 如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为．


（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
3. （2022广安中考） 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA=OB


（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象直接写出当x<0时，不等式kx+b≤的解集．
4. （2022呼和浩特中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且．


（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式的解集．
5. （2022贵阳中考） 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．


（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围．
6. （2022白色中考）已知：点 A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（ m≠0）的一个交点．

（1）求k 、m的值：
（2）在第一象限内，当时，请直接写出x的取值范围
7. （2022杭州中考）设函数，函数（，，b是常数，，）．
（1）若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)，
①求函数，的表达式：
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2）若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
8．（2022江西中考）（8分）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在反比例函数的图象上，点落在轴正半轴上，且．
（1）点的坐标为 　　，点的坐标为 　　，点的坐标为 　　（用含的式子表示）；
（2）求的值和直线的表达式．

9. （2022赤峰中考） 阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．例如：；．
完成下列任务

（1）① _________；②_________
（2）如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．当时，．求这两个函数的解析式．
10．（2022临沂中考）（10分）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．

（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
x/kg
……
0.25
0.5
1
2
4
……
y/cm
……
　4　
　2　
　1　
　　
　　
……

11．（2022鄂尔多斯中考）（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．

12．（2022湘西中考）（10分）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．

13. （2022泸州中考） 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6

（1）求的值；
（2）若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标．
14. （2022乐山中考） 如图，己知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
15. （2022德阳中考） 如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
16．（2022遂宁中考）（10分）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．

17．（2022南充中考）（10分）如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．

18. （2022泰安中考） 如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
19. （2022贵港中考） 如图，直线与反比例函数的图像相交于点A和点，与x轴的正半轴相交于点B．

（1）求k的值；
（2）连接，若点C为线段的中点，求的面积．
20. （2022苏州中考）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．

（1）求k与m的值；
（2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
21. （2022连云港中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求面积．
22．（2022常州中考）（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．

23. （2022岳阳中考）如图，反比例函数y=kx(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(−1,2)和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式kx
24. （2022年重庆中考B卷）反比例函数图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，

（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积．
25. （2022重庆中考A卷） 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．


（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
26. （2022黄冈中考）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．


（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ．
27.（2022郑州枫杨外国语二模） 如图，在正方形ABCD中，B点的坐标为（2，﹣1），经过点A，D的一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y的图象交于点D（2，a），E（﹣5，﹣2）．

（1）求一次函数及反比例函数的解析式；
（2）判断点C是否在反比例函数y的图象上，并说明理由；
（3）当mx+n时，请直接写出x的取值范围．
28.（2022郑州外国语三模） 已知：反比例函数的图象与一次函数（x≥0）的图象交于点A．

（1）在同一个平面直角坐标系中，请画出函数y1与函数的图象；并观察图象，直接写出不等式≤在第一象限成立时x的取值范围；
（2）已知点P（n，0）（n＞0），过点P作垂直于x轴的直线，与反比例函数图象交于点B，与直线交于点C．记反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段AC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当n＝5时，区域W内的格点个数为 ；（格点即横、纵坐标都是整数的点）
②若区域W内的格点恰好为2个，请结合函数图象，直接写出n的取值范围．
29.（2022河南永城一模） 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，将沿着翻折得到，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，一次函数的图象经过点，．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，不等式的解集．
30. （2022焦作二模）如图，A，B两点在函数的图象上．

（1）求m的值及直线AB的解析式；
（2）当x满足______时，；
（3）如果一个点的横，纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数的图象与直线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．
31. （2022许昌一模）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点．


（1）求a，k的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并结合图象，写出不等式的解集．
32. （2022郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（）的图象与直线交于点．
（1）求k、m的值；
（2）已知点（），过点P作平行于x轴的直线，交直线于点M，交函数（）的图象于点N．过点N作平行于y轴的直线，交x轴于点Q．
①当时，判断PN与NQ的大小关系，并说明理由；
②若，请直接写出n的取值范围．

33. （2022北京171中二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两个交点分别为，.

（1）求和的值；
（2）求直线的解析式；
（3）点为直线上的动点，过点作平行于轴的直线，交双曲线于点.当点位于点的左侧时，求点的纵坐标的取值范围.
34. （2022北京七中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标
（1）求点B的坐标；
（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；
（3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
35. （2022山西二模）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点C，D，与反比例函数的图象相交于点．

（1）求一次函数的表达式．
（2）当x为何值时，？请直接写出x的取值范围．
36. （2022北京西城二模） 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，且与反比例函数的图象在第四象限的交点为．
（1）求b，m的值；
（2）点是一次函数图象上的一个动点，且满足，连接OP，结合函数图象，直接写出OP长的取值范围．
37.（2022北京顺义二模） 在平面直角坐标系xOy中，直线l：与函数的图象交于点．
（1）求m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l与函数的图象所围成的区域（不含边界）为W．点（，n为整数）在直线l上．
①当时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；
②当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值．
38. （2022北京通州一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点．


（1）当点A的坐标为时．
①求m，k的值；②当时，______（填“”“”或“”）．
（2）将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值
39. （2022北京人大附中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标
（1）求点B的坐标；
（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；
（3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
40. （2022门头沟一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，4），B（3，m）．
（1）若点A，B在同一个反比例函数y1＝的图象上，求m的值；
（2）若点A，B在同一个一次函数y2＝ax+b的图象上，
①若m＝2，求这个一次函数的解析式；
②若当x3时，不等式mx﹣1ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

41. （2022北京海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围．
42. （2022北京房山二模）在平面直角坐标系中，函数与直线交于点，与直线交于点，直线与直线交于点，

（1）当点的横坐标为1时，求此时的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数的图像在点之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为，
①当时，结合函数图像，求区域内整点的个数；
②若区域内恰有1个整点，直接写出的取值范围．
43. （2022郑州一检）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点C．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足，求点P坐标．
44. （2022苏州中学三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+b与双曲线交于A（1，3），B（3，m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．

（1）求a，b，k的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
45.（2022驻马店二模） 如图，直线，都与双曲线交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．


（1）求双曲线y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当时，不等式的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC面积分成1：6两部分，求此时点P的坐标．
46. （2022周口扶沟二模）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数解析式．
（2）根据图象，请直接写出满足的x的取值范围．
（3）如图2，平移直线AB，使其经过原点O，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，连接AC、OA，则△AOC的面积为______．
47.（2022河南长垣二模） 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，点B恰好落在反比例函数的图象上．

（1）求点B的坐标．
（2）连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．
48. （2022河南辉县一模）如图，已知是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于轴于．

（1）求一次函数解析式及的值；
（2）是线段上的一点，连接若和面积相等，求点坐标．
49. （2022三门峡二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．

（1）求k的值；
（2）若将一次函数的图象向上平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，求此时面积．
50.（2022平顶山三模） 如图，已知一次函数与x轴，y轴分别交于，B两点，与反比例函数相交于点．

（1）求一次函数解析式；
（2）以OB为边在第一象限内作正方形OBEF，过点C作轴于点D，求图中阴影部分面积．
51. （2022南阳西峡一模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(3，)、B(，－3)，Rt△AOC的面积等于3.

（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点P是一次函数图象上的动点，若CP把△ABC分成面积比等于的两部分，求点P的坐标.
52. （2022洛阳西工区一模）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．

53. （2022河南方城一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
54.（2022山西三模） 如图，直线与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且点A的坐标为，点B的坐标为．


（1）求直线的函数表达式．
（2）过点C作轴交反比例函数图象于点D，连接，请直接写出的面积．
55. （2022临汾二模）如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于，两点．

（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标．
56. （2022山西侯马二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，B为正比例函数图象上一点，过点B作BD⊥y轴于点D，与反比例函数的图象交于点C．

（1）求反比例函数的表达式及a的值．
（2）连接AC．若BD＝9，求△ABC的面积．
57.（2022太原二模） 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(−4，3)，将点A向右平移2个单位长度，再向上平移a个单位长度得到点B，点B恰好落在该函数的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．

（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D(0，4)，连接AD，BD，求△ABD的面积．
58.（2022大同二模） 图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C．


（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，连接AD，求的面积．
（3）直接写出不等式组的解集．
59. （2022北京东城一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，点P为反比例函数的图象上一点．
（1）求m，k的值；
（2）连接OP，AP．当时，求点P的坐标．