2023学年二轮复习解答题专题十六：与圆有关的阴影面积计算

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2023年二轮复习解答题专题十六：
与圆有关的阴影面积计算

典例分析
例1 （2022眉山中考）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，．

（1）求证：是的角平分线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，先证明，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证明结论成立；
（2）证明△ABC∽△CBD即可，根据题目中的条件，可以得到∠ABC=∠CBD，∠ACB=∠D，从而可以得到△ABC∽△CBD，即可求出BC的长度；．
（3）先证明△AOC是等边三角形，然后求出扇形AOC和△AOC的面积，即可得到答案
【小问1详解】
证明：连接，如图

∵与相切于点，
∴
∵，
∴
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
【小问2详解】
解：根据题意，
∵线段AB是直径，
∴，
∵平分，
∴∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：作CE⊥AO于E，如图：

在直角△ABC中，，
∴，
∴△AOC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．
专题过关
1．（2022日照中考）（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根据直角三角形的性质得出BD＝AD＝AB，求出AD＝AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD＝AC＝，BO＝2DO，根据勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
2．（2022益阳中考）（10分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，即得S△ABC＝BC•AC＝2，故阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
3．（2022荆门中考）（8分）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．

【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）先求出⊙P的半径，再利用阴影部分面积＝扇形的面积﹣圆的面积进行计算．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝＝，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB＝，
∴阴影部分的面积S阴＝﹣．
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，

∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
【点评】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．
4. （2022通辽中考）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．

（1）求证：是圆的切线；
（2）已知，，求长度及阴影部分面积．
【答案】（1）证明见详解；
（2）AC=3，阴影部分面积为．
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．
【小问1详解】
证明：连接OD

∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
【小问2详解】
解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵

解得，（舍去）
∴

∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．
5. （2022贵阳中考） 如图，为的直径，是的切线，为切点，连接．垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，．

（1）求证：；
（2）当平分时，求证：；
（3）在（2）的条件下，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接证明 再利用等角的余角相等可得结论；
（2）如图，连接OF，垂直平分 证明为等边三角形，再证明 从而可得结论；
（3） 先证明为等边三角形，可得 再利用进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，连接 为的切线，







【小问2详解】
如图，连接OF，垂直平分
而
为等边三角形，



平分


【小问3详解】
为等边三角形，



为等边三角形，


【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的运用圆的基本性质解决问题是关键．
6. （2022宿迁中考） 如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．

（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论；
（2）如图，记BC与的交点为M，连接OM，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOM的面积，减去扇形AOM的面积即可．
【小问1详解】
证明： ∠ =45°，，

即
在上，
为的切线．
【小问2详解】
如图，记BC与的交点为M，连接OM，
，

，
，
，，
，
．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．
7. （2022齐齐哈尔中考） 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．


（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接BD，得；利用AB=AC得到，由得到，故；利用SAS证明，得到，最后同旁内角互补，即可得
（2）连接OE，与BD相交于M点，根据∠BAC=45°，得是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，OB，OE长度；和是共一底角的等腰三角形，故，，，是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积
【小问1详解】
连接BD


∵AB是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴BF是的切线
【小问2详解】
连接OE，与BD相交于M点


∵，，
∴为等腰直角三角形
∴，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
【点睛】本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识本题关键
8. （2022驻马店六校联考二模）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角的大小
（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）


【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2．
【解析】
【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可；
（2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可．
【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，
∴弧长，
∴，
∴=90°；
（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵，=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC=cm2，
∴，
∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2．
【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．
9. （2022驻马店二模）如图，AB是的直径，点C是上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．

（1）求证：直线PQ是的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交于点E，若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，由∠ACQ＝∠ABC，得到∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即OC⊥PQ，由此得到结论；
（2）连接OE，由，AD⊥PQ，可得∠DAC=30°，从而得到∠ACD=60°，进而判定△AEO为等边三角形，得到∠AOE=60°，利用可求得答案．
【小问1详解】
解：连接OC，

∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是的切线．
【小问2详解】
连接OE，

∵，AD⊥PQ，
∴∠DAC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠EAO=60°，
又∵OA=OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴
=

=．
【点睛】此题考查了求不规则图形面积的基础思想：将不规则图形的面积转化为规则的图形面积的和或差来解，另外还考查了证明圆的切线的过程．
10. （2022河南镇平一模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．

（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2． 
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由； 
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．
【25题答案】
【答案】（1）见解析 （2）①四边形ABCO是菱形，理由见解析；②+π．
【解析】
【分析】（1）先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE+∠CBA=180°，∠D+∠CBA=180°，
∴∠CBE=∠D，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∴∠CBE+∠CAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
【小问2详解】
解：①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB=∠COD=60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD=90°，
∴∠CBE=90°-∠CAD=60°=∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴▱ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA=OC=AB=2，
∴AD=2OA=4，
由①知，∠COD=60°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=2，AC=2，
∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD
=S△ACD+S扇形COD
=××2×2+
=+π．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出BC∥OA是解本题的关键．
11. （2022信阳一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交 AB 的延长线于点G.
（1）求证：DF 是⊙O的切线；
（2）若CF=1，∠ACB=60°，求图中阴影部分的面积.


【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，，由题意知，是线段的中点，是的中位线，根据平行线的性质可知，进而可证结论；
（2）由题意知，是等边三角形，，，，，，证明，有，求解的长，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，


由题意知，
∵
∴是线段的中点
∴是的中位线
∴
∵
∴
∴
又∵是半径
∴DF 是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，是等边三角形
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，即
解得
∵



∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角所对的圆周角为90°，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
12. （2022濮阳二模）如图，点C为外一点，切于点B，弦//，交于D．


（1）如图1，连接，当= 度时，四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，
①试探究与的数量关系，并说明理由；
②如图2，连接，若的半径为2，阴影部分的面积为 （结果保留π）；
【答案】（1）60 （2）①，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）证明是等边三角形即可求解；
（2）根据切线的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，可得，据此求解即可；
②根据菱形的性质，可得，，根据阴影部分面积求解即可．
【小问1详解】
如图，连接，


四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：60；
【小问2详解】
①四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
是的切线，
，
，
，
；
②，
，
阴影部分面积．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，正切函数，扇形面积公式，掌握以上知识是解题的关键．
13. （2022南阳方城二模）如图1，四边形ABCD内接于，AD为直径，过点C作于点E，连接AC．

（1）求证：；
（2）若CE是的切线，，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，请直接写出AD，AC与围成阴影部分的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）①四边形ABCO是菱形．理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再求△AOC和扇形OCD的面积和，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD内接于
∴∠D＋∠ABC＝180°
∵∠CBE＋∠ABC＝180°
∴∠CBE＝∠D
∵AD为☉O的直径
∴∠ACD＝90°
∴∠CAD＋∠D＝90°
∵CE⊥AB
在Rt△BCE中，∠CBE＋∠ECB＝90°
∴∠CAD＝∠ECB
【小问2详解】
①四边形ABCO是菱形
理由：∵CE切☉O于点C
∴CE⊥OC
∵CE⊥AB
∴AB∥OC
∵∠CAD＝30°
∴∠COD＝60°.
∴∠BAO＝∠COD＝60°
由（1）知∠CAD＝∠ECB ＝30°
∴∠CBE＝60°
∴∠CBE＝∠BAO＝60°
∴BC∥AO
又AB∥OC
∴四边形ABCO是平行四边形
∵OA＝OC
四边形ABCO是菱形.
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA=OC=AB=2，
∴AD=2OA=4，
由①知，∠COD=60°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=2，AC=2，
∴AD，AC与围成阴影部分的面积为：
S△AOC+S扇形COD=S△ACD+S扇形COD
=．
．
故答案为：．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出BC∥OA是解本题的关键．
14. （2022河南兰考二模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．

（1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】（1）45cm；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接AD，证明，即圆心O到EF的距离为OD，再求出OD即可；
（2）设，求出，作交AB于点H，求出，，即可求出阴影面积．
【小问1详解】
解：连接AD，

∵D为弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即圆心O到EF的距离为OD，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
作交AB于点H，

∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，分割法求阴影部分的面积，（1）的关键是证明；（2）的关键是求出DH，OA的长度，理解阴影部分的面积包括扇形和三角形两部分．
15．（2021达州中考）（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连解：接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG＝OA＝1，AG＝，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝2，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，
∴CD＝OC＝1，OD＝，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF
＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22
＝2﹣﹣π．


16.（2021巴中中考）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．

【考点】角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；扇形面积的计算．版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）详见解答；
（2）6π﹣9．
【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；
（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．
【解答】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，
∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，
∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝
设半径为r，在Rt△EOC中，有勾股定理得，
OE＝＝，
∴＝，
解得r＝6（取正值），
经检验r＝6是原方程的解，
即OB＝OC＝OA＝6，
又∵BC＝6，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．

17．（2021江西中考）（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．

【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；

(2)①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB＝∠COD＝60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴AD＝2OA＝4，
由①知，∠COD＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝2，AC＝2，
∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD
＝S△ACD+S扇形COD
＝××2×2+
＝+π．
18. （2021扬州中考）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积．
【详解】解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；

（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=
=．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．
19．(2021襄阳中考)（8分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．

【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质证得OC⊥AB，根据切线的判定得到AB是⊙O的切线；
（2）由圆周角定理结合平行线的性质得到∠DGO＝90°，由垂径定理求得DG＝3，根据等腰三角形的性质结合平角的定义求得∠DOE＝60°，在Rt△ODG中，根据三角函数的定义求得OG＝2，OG＝，根据S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG即可求出阴影部分面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵OF是⊙O的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DG⊥CD，
∴DG＝CD＝×6＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°，
在Rt△ODG中，
∵sin∠DOG＝，cos∠ODG＝，
∴OD＝＝＝2，
OG＝OD•cos∠DOG＝2×＝，
∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG＝﹣××3＝2π﹣．

20．（2021黄冈中考）（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；
（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，

∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD═OE，OE是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE═OF═EC═FC═1，
∴BC═BE+EC═4，又AC═3，
∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
═×（）
═﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
21．（2021遵义中考）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：
①画线段AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；
③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；
④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．
（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；
（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据作法可得AC＝BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分的四边形ADBC是菱形即可证明结论；
（2）结合（1）四边形ADBC是菱形，根据AB＝2，∠BAD＝30°，先求出圆O的半径，进而可以求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，OA＝OB，MN⊥AB，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠BCO，
在△ADO和△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴OD＝OC，
∵OA＝OB，MN⊥AB，
∴四边形ADBC是菱形；
（2）∵四边形ADBC是菱形，

∴OA＝AB＝2＝，
∵∠BAD＝30°，
设圆O切AD于点H，连接OH，
则OH⊥AD，
∴OH＝OA＝，
∴S圆O＝OH2×π＝π，
在Rt△AOD中，∠DOA＝30°，OA＝，
∴OD＝OA×tan30°＝×＝1，
∴CD＝2OD＝2，
∴S菱形ADBC＝AB•CD＝2×2＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S菱形ADBC﹣S圆O＝2﹣π．
22．（2021贵阳中考）（12分）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　 　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．

【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；

（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；

（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．

23. （2021桂林中考）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．

（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；
（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）半径为2，面积为
【解析】
【分析】（1）根据垂直的性质及相似三角形的判定定理即可求解；
（2）延长DE、AB交于N点，先证明△DCE≌△NBE，再得到△AND是等腰三角形，得到∠DAE=∠NAE，再通过角平分线的性质即可得到OG=OM=r，故可证明；
（3）求出∠FOG=60°，再根据梯形与扇形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥DE于点E．
∴∠EAB+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠DEC
由∠B＝∠C＝90°
∴△ECD∽△ABE；
（2）过点O作OM⊥AD，延长DE、AB交于N点
∴CDBN
∴∠CDE=∠N
∵点E为BC中点
∴CE=BE，
又∠EBN＝∠C＝90°
∴△DCE≌△NBE
∴DE=NE
∵AE⊥DN
∴AD=AN，∠ADE=∠ANE
∵∠DAE=90°-∠ADE，∠NAE=90°-∠ANE
∴∠DAE=∠NAE
∵AG是⊙O的切线
∴OG⊥AB
∵∠AMO=∠AGO=90°
∴OG=OM=r

∴OM是⊙O的切线；
（3）∵BC＝6，
∴BE=3
∵AB＝3，
∴AE==2BE
∴∠EAB=30°
∴AO=2OG，即AO=2r，
∵AE=AO+OE=3r=6
∴r=2
连接OF
∵∠OEF=60°，OE=OF
∴△OEF是等边三角形
∴∠EOF=60°，EF=OF=2,BF=3-2=1
∴∠FOG=180°-∠AOG-∠EOF=60°
Rt AOG中，AG=
∴BG=AB-AG=
∴S阴=S梯形OFBG-S扇形FOG= =．

【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理、全等三角形与相似三角形的判定与性质及扇形面积公式．
24．（2021黄石中考）（10分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

【分析】（1）证明OP⊥AB，BC⊥AB，可得结论．
（2）设OE＝m，用m的代数式表示AB，OP，构建方程求出m，求出OA，AB，OE，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB，求解即可．
（3）在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，在Rt△ADE中，根据AD2＝AE2+DE2，构建方程求出x，再证明sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，可得结论．
【解答】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.

（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4×2＝﹣4．

（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，
∴x＝1或﹣1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB+∠BAD＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，
∴PA＝3AE＝6．