2023学年二轮复习解答题专题二十四：抛物线上的线段长问题的转化与探究

2023年二轮复习解答题专题二十四：

抛物线上的线段长问题的转化与探究

方法点睛

二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，一般的斜线类线段，与线段之间的数量有关的问题。

典例分析

类型一：平行于x轴或y轴的线段长的问题

例1： （2022贵港中考） 如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若轴交于点E，求的最大值；

（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．

类型二：一般的斜线类线段问题

例2：（2022眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．

（1）求点坐标；

（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；

（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

类型三：与线段之间的数量有关的问题

例3：（2022乐山中考）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；

（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

专题过关

1.（2022益阳中考）（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

（1）求a的值；

（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？

（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2022湘西中考）（12分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．

（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

3. （2022广元中考）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，b满足的关系式及c的值；

（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；

（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．

4. （2022德阳中考） 抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．

（1）如图①，求射线的解析式；

（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；

（3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．

5．（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；

（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；

（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．

6. （2022山西中考）综合与探究

如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E

（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

（2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

7. （2022抚顺中考） 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点D在第二象限且时，求点D的坐标；

（3）当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．

8. （2022湘潭中考）已知抛物线．

（1）如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．

①求该抛物线所表示的二次函数表达式；

②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．

9. （2022武汉中考）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．

（1）直接写出A，两点的坐标；

（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；

（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．

10. （2022齐齐哈尔中考） 综合与探究

如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为         ；

（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度最大值；

（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

11. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；

（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．

12. （2022年重庆中考B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．

13. （2022重庆中考A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；

（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

14. （2022河南天一大联考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．

①请用含m的代数式表示线段DF的长；

②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．

15. （2022商丘二模） 在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．

（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．

（3）如图2，点C（－2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m取值范围．

16. （2022南阳唐河一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其项点为D．

（1）填空：抛物线的解析式为　   　；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．

17.（2022大同二模） 如图，已如二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）求点A、B、C的坐标并直接写出直线BC的关系式；

（2）若D是第四象限内二次函数图象上任意一点，轴于点E，与线段BC交于点F，过点F作轴于点G，连接CD．

①求线段的最大值；

②当是以FC为腰的等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．

18. （2022深圳三模）如图1，抛物线经过点，点．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；

（3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．