2023学年二轮复习解答题专题二十六：二次函数中等腰三角形存在性问题探究

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2023学年二轮复习解答题专题二十六: 二次函数中等腰三角形存在性问题探究方法点睛：一、              构造等腰三角形的一般思路平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。二、              动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：1、 代数法（1）     设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.（2）     利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.（3）     分类讨论：AB=BC,BC=CA,AB=AC.2、 几何法（1）     设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.（2）     利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度.（3）     分类讨论：AB=BC,BC=CA,AB=AC.典例剖析【例1】（2022山西中考）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E
 （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．专题过关1．（2022湘西中考）（12分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022遂宁中考）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 3. （2022河池中考）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4. （2022白色中考） 已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F （1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长5. （2022黔东南中考） 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
 （1）求此抛物线的解析式；（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．6. （2022玉林中考） 如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．
 （1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．7. （2022贺州中考）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．8. （2022山西百校联考）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．连接，．（1）求抛物线的表达式，并直接写出所在直线的表达式．（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．（3）设点是所在直线上一点，且点的横坐标为．是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．9.（2022大同二模） 如图，已如二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
 （1）求点A、B、C的坐标并直接写出直线BC的关系式；（2）若D是第四象限内二次函数图象上任意一点，轴于点E，与线段BC交于点F，过点F作轴于点G，连接CD．①求线段的最大值；②当是以FC为腰的等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．10..（2022山西二模） 综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线轴，交直线于点G，交直线于点H．（1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标．（2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．