2023学年二轮复习解答题专题三十三：抛物线上的正方形存在性问题探究

2023学年二轮复习解答题专题三十二：

抛物线上的正方形存在性问题探究

解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定正方形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．注意结合矩形、菱形正方形的特殊性质，往往涉及到等腰，全等，勾股定理或相似三角形等知识的运用.

常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.

例1： （2022齐齐哈尔中考） 综合与探究

如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为         ；

（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度最大值；

（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

【答案】（1）   

（2）（1，2）    （3）   

（4）

【解析】

【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；

（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；

（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；

（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．

【小问1详解】

解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，

解这个方程组得，

抛物线的解析式为：；

小问2详解】

解：如图，设直线AB的解析式为：，

把点 A（-1，0），B（4，5）代入，

得，

解得 ，

直线AB的解析式为： ，

由（1）知抛物线的对称轴为，

点C为抛物线对称轴上一动点，，

当点C在AB上时，最小，

把x=1代入，得y=2，

点C的坐标为（1，2）；

【小问3详解】

解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1

设，则，

则，

当时，DE有最大值为，

【小问4详解】

解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，

直线与y轴的交点为D（0，1），

，

，

若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：

①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，

依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；

②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；

③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；

④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，

 综上所述，点N的坐标为：

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．

专题过关

1. （2022济宁中考） 已知抛物线与x轴有公共点．

（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

（2）将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；

（3）D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．

【答案】（1）   

（2）n＝2    （3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据抛物线与轴由公共点，可得，从而而求出的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果；

（2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据和分别得出点和的坐标，根据列出方程，进而求的结果；

（3）从而得出点、点的坐标，由抛物线的解析式可得出点的坐标和点的坐标，进而求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，进一步得出结论．

【小问1详解】

解：∵抛物线与x轴有公共点，

∴

∴∴．

∴，

∴，

∵，

∴当时，y随着x的增大而增大．

【小问2详解】

解：由题意，得，

当y＝0时，，

解得：或，

∵点A在点B的右侧，

∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．

∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），

∴n+1＝－n2+2n+3．

解得：n＝2或n＝－1（舍去）．

故n的值为2.

【小问3详解】

解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．

∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）

点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），

抛物线C2的对称轴是直线x＝1，

∵点E与点C关于直线x＝1对称，

∴点E的坐标为（2，3）．

∴点G的坐标为（1，3）．

设直线BE解析式为y＝kx+b，

∴

解得：

∴y＝x+1．

当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．

∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．

∴四边形CDEF为矩形．

又∵CE⊥DF，

∴四边形CDEF为正方形．

【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系．

2. （2022湖州中考） 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．

（1）①求点A，B，C的坐标；

②求b，c的值．

（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

【答案】（1）①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②   

（2）；

【解析】

【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；

（2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．

【小问1详解】

解：①∵正方形OABC边长为3，

∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；

②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c，

得，解得；

【小问2详解】

解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，

∴Rt△ABP∽Rt△PCM，

∴，即．

整理，得，即．

∴当时，n的值最大，最大值是．

【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键．

3. （2022长春中考） 在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴．

（1）求该抛物线对应的函数表达式：

（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标；

（3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；

（4）当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）或   

（4）或或．

【解析】

【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式即可求解；

（2）设，根据对称性可得，根据，即可求解；

（3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形点在轴上时，此时与点重合，当经过抛物线的对称轴时，进而观察图象即可求解；

（4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．

【小问1详解】

解：∵抛物线（b是常数）经过点

∴

解得

【小问2详解】

如图，

由

则对称轴为直线，

设，则

解得

【小问3详解】

点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴

，且在轴上，如图，

①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合，

的解析式为

，将代入

即

解得

观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；

②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当经过抛物线的对称轴时，

解得，

观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；

综上所述，m的取值范围为或

【小问4详解】

①如图，设正方形与抛物线的交点分别为，当时，则

是正方形的中心，

即

②如图，当点在抛物线左侧，轴右侧时，

交点的纵坐标之差为，

的纵坐标为

的横坐标为

在抛物线上，

解得

③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图，

则

即

设直线解析式为

则

解得

直线解析式为

联立

解得（舍去）

即的横坐标为，即，

综上所述，或或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

3. （2022扬州中考） 如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度dm．现计划将此余料进行切割：

（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积；

（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；

（3）若切割成圆，判断能否切得半径为dm的圆，请说明理由．

【答案】（1） ；   

（2）20dm；    （3）能切得半径为3dm的圆．

【解析】

【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解；

（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；

（3）为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H坐标为（0，3），表示出圆心H到二次函数上个点之间的距离与半径3进行比较即可．

【小问1详解】

由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）

设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，

∵对称轴为y轴，

∴b=0，将A、C代入得，a=，c=8

则二次函数解析式为，

如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，

则P点坐标可以表示为（m，2m）

代入二次函数解析式得，

，解得（舍去），

∴2m=，

则正方形的面积为；

【小问2详解】

如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）

将x=n代入二次函数解析式，得

，

则EF=，

矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+）=，

当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；

【小问3详解】

如下图所示，为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H坐标为（0，3），

则圆心H到二次函数上个点之间的距离为，

∴能切得半径为3dm的圆．

【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．

4.（2021抚顺中考）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（2，3）；（5，2）或（﹣1，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．

【分析】（1）令x＝0，求点B（0，3），令y＝0，求点A（3，0），将点A、点B代入抛物线y＝ax2+2x+c即可求解；

（2）设D（m，﹣m2+2m+3），由DE∥y轴交AB于点E，则E（m，﹣m+3），再由OA＝OB，可知∠OAB＝45°，则有AG＝FG＝DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点T，可证四边形FGED是平行四边形，△AEG为等腰直角三角形，可求AT＝ET＝GT＝3﹣m，AG＝FG＝6﹣2m，OG＝2m﹣3，求出FG＝﹣2m+6，DT＝﹣3m+9，得到﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，即可求D（2，3）；

（3）先求出C（﹣1，0），直线CD的解析式为y＝x+1，联立x+1＝﹣x+3，求出M（1，2），分两种情况讨论：①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，可确定H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，K（3，4），P（5，2）；当H（0，3）时，K（0，1），P（﹣1，2）；②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，H（1+，2）或H（1﹣，2），当H（1+，2）时，P（1，2+）；当H（1﹣，2）时，P（1，2﹣）．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，

∴B（0，3），

令y＝0，则x＝3，

∴A（3，0），

∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）设D（m，﹣m2+2m+3），

∵DE∥y轴交AB于点E，

∴E（m，﹣m+3），

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝45°，

∴AG＝FG，

∵DE＝FG，

∴DE＝AG，

连接GE，延长DE交x轴于点T，

∴四边形FGED是平行四边形，

∵DF⊥AB，

∴EG⊥AB，

∴△AEG为等腰直角三角形，

∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，

∴AG＝FG＝6﹣2m，

∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，

∴F点横坐标为2m﹣3，

∴FG＝﹣2m+6，

∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，

∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，

解得m＝2或m＝3（舍），

∴D（2，3）；

（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，

解得x＝3或x＝﹣1，

∴C（﹣1，0），

设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，

∴，

∴，

∴y＝x+1，

∴∠ACM＝45°，

∴CM⊥AM，

联立x+1＝﹣x+3，

解得x＝1，

∴M（1，2），

∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，

①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，

∵H点在抛物线上，

∴H（3，0）或H（0，3），

当H（3，0）时，MH＝2，

∴KH＝4，

∴K（3，4）

∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），

∴P（5，2）；

当H（0，3）时，MH＝，

∴KH＝2，

∴K（0，1），

∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2），

∴P（﹣1，2）；

②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，

∴H（1+，2）或H（1﹣，2），

当H（1+，2）时，MH＝，

∴P（1，2+）；

当H（1﹣，2）时，MH＝，

∴P（1，2﹣）；

综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（﹣1，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．