2023学年二轮复习解答题专题三十六：抛物线上平移问题的探究

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2023学年二轮复习解答题专题三十六：
抛物线上平移问题的探究
典例分析
例1 （2022宜宾中考） 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．


（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】（1），顶点D的坐标为
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）先用待定系数法求直线AC解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标；
（3），是平移得得点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：=-(x-1)2+4，
∴顶点D的坐标为；
【小问2详解】
解：设直线AC的解析式为：，
把点，代入得：，，
∴直线AC解析式为：，
过点F作于点G，


∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴，AC=EF，
又∵，
∴
∴，
∴，
设F点的坐标为，
则G点的坐标为，
∴，
∴或，当时，，
∴，
当时，
∴，
∴或；
【小问3详解】
解：由题意，得点M的坐标为，
由题意知：点与点关于对称轴对称，
连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．


在中，，则在中，
∴，
又∵
∴为最小值，
又∵，
∴，
∴求得的最小值为．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键．
专题过关
1．（2022枣庄中考）（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
＝PG•AE
＝×3×（﹣m2+5m﹣3）
＝﹣（m2﹣5m+3）
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，△OPE面积最大，
此时，P点坐标为（，﹣）；

（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），

∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；

（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1＝（舍）或m2＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，

如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m＝或m2＝（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m＝或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．

2. （2022济宁中考） 已知抛物线与x轴有公共点．

（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【答案】（1）
（2）n＝2 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线与轴由公共点，可得，从而而求出的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果；
（2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据和分别得出点和的坐标，根据列出方程，进而求的结果；
（3）从而得出点、点的坐标，由抛物线的解析式可得出点的坐标和点的坐标，进而求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，进一步得出结论．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴有公共点，
∴
∴∴．
∴，
∴，
∵，
∴当时，y随着x的增大而增大．
【小问2详解】
解：由题意，得，
当y＝0时，，
解得：或，
∵点A在点B的右侧，
∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．
∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），
∴n+1＝－n2+2n+3．
解得：n＝2或n＝－1（舍去）．
故n的值为2.
【小问3详解】
解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）
点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），
抛物线C2的对称轴是直线x＝1，

∵点E与点C关于直线x＝1对称，
∴点E的坐标为（2，3）．
∴点G的坐标为（1，3）．
设直线BE解析式为y＝kx+b，
∴
解得：
∴y＝x+1．
当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．
∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．
∴四边形CDEF为矩形．
又∵CE⊥DF，
∴四边形CDEF为正方形．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系．
3. （2022嘉兴中考） 已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】（1）
（2）的值为4
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为；
（2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4；
（3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线上，当y1＞y2时，可得，即可解得的取值范围是．
【小问1详解】
解：把代入得：
，
解得，
；
答：抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：抛物线的顶点为，
将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为，
而关于原点的对称点为，
把代入得：
，
解得，
答：的值为4；
【小问3详解】
解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为，
点，都抛物线上，
，
，
y1＞y2，
，
整理变形得：，

，

解得，
的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
4. （2022岳阳中考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)．
(1)求抛物线F1的解析式；
(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；
(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值．

24.【答案】解：(1)将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c，
∴9−3b+c=01+b+c=0，
解得b=2c=−3，
∴y=x2+2x−3；
(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的顶点(−1,−4)，
∵顶点(−1,−4)关于原点的对称点为(1,4)，
∴抛物线F2的解析式为y=−(x−1)2+4，
∴y=−x2+2x+3；
(3)由题意可得，抛物线F3的解析式为y=−(x−1)2+6=−x2+2x+5，
①联立方程组y=−x2+2x+5y=x2+2x−3，
解得x=2或x=−2，
∴C(−2,−3)或D(2,5)；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴−2k+b=−32k+b=5，
解得k=2b=1，
∴y=2x+1，
过点M作MF//y轴交CD于点F，过点N作NE//y轴交于点E，
设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+3)，
则F(m,2m+1)，N(n,2n+1)，
∴MF=2m+1−(m2+2m−3)=−m2+4，
NE=−n2+2n+3−2n−1=−n2+2，
∵−2 ∴当m=0时，MF有最大值4，
当n=0时，NE有最大值2，
∵S四边形CMDN=S△CDN+S△CDM=12×4×(MF+NE)=2(MF+NE)，
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为12．
【解析】(1)将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c，即可求解；
(2)利用对称性求出函数F1顶点(−1,−4)关于原点的对称点为(1,4)，即可求函数F2的解析式；
(3)①通过联立方程组y=−x2+2x+7y=x2+2x−3，求出C点和D点坐标即可；
②求出直线CD的解析式，过点M作MF//y轴交CD于点F，过点N作NE//y轴交于点E，设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+3)，则F(m,2m+2)，N(n,2n+1)，可求MF=−m2+4，NE=−n2+2，由S四边形CMDN=S△CDN+S△CDM=2(MF+NE)，分别求出MF的最大值4，NE的最大值2，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．
5. （2022恩施中考） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点．

（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
（3）直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）
（2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析
（3）存在，或，
（4）最短距离为，平移后的顶点坐标为
【解析】
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；
（3）由，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（4）如图，作且与抛物线只有1个交点，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于，进而求得直线与的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
【小问2详解】
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
的顶点坐标为
依题意得，
平移后的抛物线解析式为
令，解
得

令，则，即


以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
【小问3详解】
存在，或，理由如下，
，，

是等腰直角三角形
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立
解得，

，，是等腰直角三角形
，
设直线的解析式为,


直线的解析式为
当时，

设的解析式为，由NT过点
则
解得
的解析式为，
令
解得


，



②当时，则
即
解得


综上所述，或
【小问4详解】
如图，作，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于

直线的解析式为
设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为
则
整理得：
则
解得
直线的解析式为
，

即拋物线平移的最短距离为，方向为方向


∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为，即
【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．
6. （2022毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．

（1）求抛物线的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或，
【解析】
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标即可求求解；
（2）由题意得，求BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得，即可求解；
（3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可；
【小问1详解】
解：由可知，
解得：，
∴
【小问2详解】
分别令中，得，，；
设BC的表达式为：，
将，代入得，
解得：；
∴BC的表达式为：；
抛物线平移后的表达式为：，
根据题意得，，即，
∵该抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴h的最大值为；
【小问3详解】
存在，理由如下：
将代入中得，
∵四边形DEMN是平行四边形，
∴
设，
当时，解得：（舍去），
∴
当时，解得：，
∴或，
综上，点N的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
7. （2022年重庆中考B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）最大值为：，
（3）、、
【解析】
【分析】（1）将、代入抛物线，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据得到，推出，即可得到，则，求出直线的解析式为：，设，则，，求出，即可求解；
（3）先求出平移后新抛物线解析式：，，，设，，再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求解即可．
【小问1详解】
解：将、代入抛物线可得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为：；
【小问2详解】
解：∵、，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
将、代入可得：，解得，
∴直线的解析式为：，
设，则，，
∴
∵，，
∴当时，存在最大值，最大值为：，此时；
【小问3详解】
解：∵对称轴为：，
∴，
∵直线：，
∴抛物线向右平移个单位，
∴，
，，设，，
①以、为对角线时，，解得
∴；
②以、为对角线时，，解得
∴；
③以、为对角线时，，解得
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数解析式．
8. （2022重庆中考A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2），
（3）；；
【解析】
【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；
（2）设交于，可得，求出直线AB的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【小问1详解】
解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
【小问2详解】
如图，设交于，
∵，，
∴OA＝OB＝4，
∴，
∵PC∥OB，PD∥OA，
∴，，
∴，
设直线AB的解析式为，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，取得最大值，此时；
【小问3详解】
由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴，
综上所述，点的坐标为：，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．
9. （2022南阳西峡一模）如图，直线与轴交于点A，抛物线经过点（1，8），与轴的一个交点为B（B在A的左侧），过点B作BC垂直轴交直线于C.


（1）求的值及点B的坐标；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，点B、C的对应点分别为点E、F.将抛物线沿x轴向右平移使它过点F，求平移后所得抛物线的解析式.
【答案】（1）a=1，B(-3，0)
（2）3#
【解析】
【分析】(1)把已知坐标代入解析式，得到8=a+4+2a+1，求得a值，回代a值，得到抛物线的解析式，求得抛物线与x轴的交点坐标，根据直线解析式确定A的坐标，根据已知即确定B的坐标．
(2)根据旋转性质，得到F(0，1)，设抛物线向右平移m个单位，解析式为，把点F坐标代入解析式求解即可．
【小问1详解】
∵直线与轴交于点A，抛物线经过点（1，8），
∴A(-2，0)，8=a+4+2a+1，
解得a=1；
∴抛物线解析式为，
∴，
∴，
解得，，
∵与轴的一个交点为B（B在A的左侧），
∴B(-3，0)．
【小问2详解】
∵B(-3，0)，直线，
∴C(-3，2)，
∴AB=1，BC=2，OA=2，
根据旋转性质，得AE=AB=1，EF=BC=2，AC=AF，∠CAF=90°，
连接OF，
∴∠FAO+∠BAC =90°，BC=OA，
∵∠BCA+∠BAC =90°，
∴∠FAO=∠ACB，
∴△FAO≌△ACB，
∴FO=1，∠AOF=∠CBA =90°，


∴点F在x轴的正半轴，
∴点F(0，1)，
∵，
设抛物线向右平移了m个单位后经过点F，
∴过点F(0，1)，
∴，
解得m=或m=，
∴抛物线的解析式为3或．
【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的综合，待定系数法确定解析式，抛物线与轴的交点，旋转的性质，函数的平移，三角形全等，熟练掌握抛物线的平移，抛物线与x轴交点问题是解题的关键．
10. （2022河南济源一模）已知抛物线．


（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）如图，当时，抛物线与轴的负半轴、轴分别交于点A、点．
①将抛物线向右平移，使点A与原点重合．求平移后的抛物线的解析式；
②点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，若点在由点向顶点运动的过程中，直线与抛物线、共有4个交点，请直接写出点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）(1，4)
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）将抛物线一般式改为顶点式即可解答；
（2）①根据，即得出A(-1，0)．由题意可知将抛物线向右平移1个单位，点A与原点重合，故抛物线的解析式为；②根据，得出B(0，3)，再求出两个抛物线的交点坐标结合图象即可得出点的纵坐标的取值范围．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；
【小问2详解】
①当时，该抛物线解析式为，
令，则，
解得：，
∴A(-1，0)．
当点A与原点重合，即将抛物线向右平移1个单位，
∴抛物线的解析式为；
②对于，令x=0，则，
∴B(0，3)．
如图，


联立，
解得：，
∴C(，)．
∴当P点纵坐标位于B点纵坐标与C点纵坐标和C点纵坐标与抛物线顶点纵坐标之间时，直线l与抛物线、共有4个交点，
∴当或时，直线l与抛物线、共有4个交点．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数的平移以及两抛物线的交点坐标．（1）将一般式改为顶点式是关键；（2）根据题意找出二次函数图象平移的方式是关键；（3）利用数形结合的思想是关键．
11.（2022河南滑县一模） 如图，某数学小组以等腰直角三角形纸板的直角顶点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，已知，点，请思考并解决下列问题：

（1）若抛物线过三点O、A、B，求此抛物线的表达式；
（2）设的中点为D，若使抛物线经过平移顶点为D，写出平移后的抛物线的解析式．若点，是抛物线上两点，当时，求m的取值范围；
（3）将沿水平方向平移，当恰好有一个顶点落在抛物线上时，请直接写出平移的距离．
【答案】（1）
（2）；
（3）或或 或
【解析】
【分析】（1）、设抛物线的表达式为，把三点坐标代入，即可求解；
（2）、由中点坐标公式即可求出D点坐标，再由平移抛物线的a值不变，由抛物线的顶点公式即可求出抛物线的解析式，再由函数的图像和性质即可求解；
（3）、设点平移后的对应点为：，再分①当在抛物线上时，②当在抛物线上时，两种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为，
把三点坐标代入，
得，
解得，
∴；
【小问2详解】
∵的中点为D，，
，
∵抛物线是由抛物线平移得到，且顶点为D，
∴抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
关于对称轴的对称点为：
， ，开口向下，
；
【小问3详解】
当沿水平方向平移t个单位时，
点平移后的对应点为：，
当在抛物线上时，
可得：，
解得或者，
∴向右平移 个单位或向左平移个单位，
当在抛物线上时，
可得：，
解得：或者，
∴向左平移 个单位或向左平移个单位，
综上所述：平移距离为：或者或者或者．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，图像的平移性质，综合掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
12.（2022鹤壁一模） 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点，且．点E是对称轴左侧的抛物线上一点，过点E作轴，交抛物线于点F．

（1）若，求抛物线的解析式以及点E的坐标；
（2）若点E沿抛物线向下移动，使得对应的EF的取值范围为，求移动过程中点F的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求出A坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；设点，利用E是对称轴左侧的抛物线上一点，EF=3，得到，利用抛物线的对称轴为直线x=1，得到，联立即可求得的值，再代入抛物线即可求出答案；
（2）设点，利用E是对称轴左侧的抛物线上一点，得到EF=，利用抛物线的对称轴为直线x=1，得到，则，可得，利用已知条件求出的取值范围，结合图象，再利用抛物线解析式即可得出结论．
【小问1详解】
解：点，
，
，
，
点，
抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
解得：
∴抛物线的解析式为，
轴，
设点，
点E是对称轴左侧的抛物线上一点，，
，
，
∴抛物线的对称轴：直线，
，
∴
解得：
当时，
点．
【小问2详解】
轴，
设点，
，
抛物线的对称轴：直线，
，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
∴移动过程中点F的纵坐标的取值范围：．

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，配方法求得抛物线的对称轴，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
13. （2022河南二模）如图，直线交x轴于点B，交y轴于点A，抛物线经过点A，B，点C为抛物线的顶点．


（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）将抛物线向下平移m个单位长度．
①当时，用含m的式子表示y的取值范围；
②点C的对应点为，连接，，若，求m的值．
【答案】（1），
（2）①，②，或
【解析】
【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，代入抛物线解析式待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得的坐标，
（2）①根据二次函数平移规律求得平移后的顶点坐标，即可求得当时，最大值，根据离对称轴越远的点，函数值越小，即可求得最小值，进而求得y的取值范围；
②设直线与交于点，求得点的坐标，根据三角形面积公式建立绝对值方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线交x轴于点B，交y轴于点A，
令，则，令，则

代入
得
解得

点C为抛物线的顶点
∴
【小问2详解】
解：将抛物线向下平移m个单位长度，
则平移后的解析式为，顶点坐标为，对称轴为
①当时，最大值为，
，根据离对称轴越远的点，函数值越小，
最小值为时，
，
②依题意，

设直线的解析式为

解得
直线的解析式为

设直线与交于点，
当时，


则


解得：，或
【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. （2022陕师大附中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线M的表达式为y＝﹣x2+2x，与x轴交于O、A两点，顶点为点B．

（1）求证：△OAB为等腰直角三角形：
（2）已知点P在y轴上，且OP＝1，点C在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，将抛物线M进行平移，使其对称轴经过点C，请问平移后的抛物线能否经过点P？如果能，求出平移方式；如果不能，说明理由．
【答案】（1）见详解 （2）将抛物线M向右平移个单位，再向上平移个点，得过点C1和点P的抛物线；抛物线M向右平移个单位，再向上平移得出过点C2和点P的抛物线；抛物线M向右平移个单位。再向上平移个单位，得点过点C3与P的抛物线
【解析】
【分析】（1）将抛物线M配方为顶点式得出抛物线的对称轴为x=2，抛物线的顶点B（2，2），
然后求出点A（4，0），根据对称轴求出点E（2，O），BE⊥OA，证明△OEB为等腰直角三角形，再证△AEB为等腰直角三角形即可；
（2）根据△ABC为等腰直角三角形，分以下三种情况，以AB为直角边，点B为直角顶点，将AB绕点B逆时针旋转90°，得出点C1（4，4）将抛物线M向右平移2个单位，再向上平移2个点，得出以C1为顶点的抛物线为，以AB为直角边，以点A直角顶点，将AB绕点A顺时针旋转90°，得AC2，求出点C2（6，2），抛物线M向右平移4个单位得出过顶点C2的抛物线；以AB为斜边，点C3为直角顶点，点C3在AC1的中点，C3（4，2）即可．
【小问1详解】
解：抛物线M的表达式为，
∴抛物线的对称轴为x=2，抛物线的顶点B（2，2），
抛物线与x轴的交点，
解得：，
∴点A（4，0），
∵抛物线对称轴为x=2，
∴点E（2，O），BE⊥OA，
∵OE=BE=2，∠OEB=90°，
∴△OEB为等腰直角三角形，
∴∠BOE=∠OBE=45°，
∵AE=OA-OE=4-2=2，
∴BE=AE，∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EBA=∠EAB=45°，
∴∠BOE=∠OBE=∠EBA=∠EAB=45°，
∴OB=AB，∠OBA=∠OBE+∠ABE=45°+45°=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形
【小问2详解】
解：∵△ABC为等腰直角三角形，分以下三种情况，
以AB为直角边，点B为直角顶点，
将AB绕点B逆时针旋转90°，
∴∠BAC1=45°，
∴∠CAO=∠OAB+∠C1AB=45°+45°=90°，
∴CA⊥x轴，
∵∠OBA+∠ABC1=90°+90°=180°，
∴点O、B、C1三点共线，
∵∠C1OA=45°，
∴△OAC1为等腰直角三角形，
∴C1A=OA=4，
∴点C1（4，4）
∵OP=1，
∴点P（0,1）
设过点P与C1形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得

解得

∴，
将抛物线M向右平移个单位，再向上平移个点，得过点C1和点P的抛物线
以AB为直角边，以点A直角顶点，将AB绕点A顺时针旋转90°，得AC2，
∵∠C2BA=45°=∠BAO，
∴BC2∥OA，
∠OBA=∠C2AB，
∴AC2∥OB，
∴四边形OBC2A，
∴BC2=OA=4，
∴点C2横坐标为OE+BC2=2+4=6，
∴点C2（6，2），
∴点P（0,1）
设过点P与C2形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得

解得
∴
∴，
∴抛物线M向右平移个单位，再向上平移得出过点C2和点P的抛物线；
以AB为斜边，点C3为直角顶点，点C3在AC1的中点，C3（4，2）
∵点P（0，1）
设过点P与C3形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得

解得
∴
∴，
∴抛物线M向右平移个单位。再向上平移个单位，得点过点C3与P的抛物线

【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形，图形旋转，抛物线平移，掌握图形与坐标，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形，图形旋转，抛物线平移是解题关键．
15. （2022西安交大附中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．


（1）求抛物线L的解析式；
（2）已知第一象限内抛物线上一点P，其纵坐标为3，连接．将原抛物线L沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，点P的对应点为点D，点E为的对称轴上任意一点，在上确定一点F，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点F的坐标．
【答案】（1）
（2）点F的坐标为（1，6）或（-1，-2）或（-3，-18）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，将代入解析式计算即可；
（2）求出C，D，E三个点坐标，根据平行四边形性质，利用对点法分情况求F即可.
【小问1详解】
解：将代入抛物线中
解得
∴抛物线的解析式为：
【小问2详解】
解：∵抛物线与y轴交于点C
∴令x=0，则y=3
∴点C的坐标为（0，3）
∵
∴OB=OC
∴△BOC为等腰直角三角形
∴BC=3
将原抛物线L沿射线方向平移个单位，得到新抛物线
∵点P的对应点为点D
∴将原抛物线L向左平移3个单位，向上平移3个单位，得到新的抛物线
∴抛物线
令，解得x=0或x=2
∴点P坐标为（2，3）
由平移，可知点D坐标为（-1，6）
∵点E为的对称轴上任意一点
∴点E的横坐标为-2
设点E为（-2，a），点F为（b，）
①CD，EF为对角线
解得
∴F为（1，6）
②CE，DF为对角线
解得
∴F为（-1，-2）
③CF，DE为对角线
解得
∴F为（-3，-18）
综上可知，点F的坐标为（1，6）或（-1，-2）或（-3，-18）

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，以及抛物线和特殊四边形的综合问题，第二问根据平行四边形的性质利用对点法求解是解决本题的关键.
16. （2021丽水中考） 如图，已知抛物线经过点．

（1）求的值；
（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值．
【答案】（1）；（2）①；②1或．
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可．
【详解】解：（1）把点的坐标分别代入，
得．解得
的值分别为．
（2）①设所在直线的函数表达式为，
把的坐标分别代入表达式，得
解得
所在直线的函数表达式为．
由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，
当时，．
∴点M的坐标是．
②设抛物线的表达式是，
轴，
点N的坐标是．
∵点P的横坐标为
∴点P的坐标是，
设交抛物线于另一点Q，
∵抛物线的对称轴是直线轴，
∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是．

（i）如图1，当点N在点M下方，即时，
，
，
由平移性质得，
∴

∴，
解得（舍去），．
（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，
即时，，

，
解得（舍去），（舍去）．
（ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，
即时，
，

，
解得（舍去），．
综上所述，m的值是1或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．
17．（2021玉林中考）（12分）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．

【分析】（1）根据题目给出的解析式可直接求出点A，B，D的坐标；
（2）先设出M，N的横坐标，根据原点对称的特点列出关于a的式子，求出即可；
（3）先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，然后设出P的坐标（x，y），根据O′P＝O′Q列出关于x的式子，算出x即可求出P，Q的坐标．
【解答】解：（1）取y＝0，则有ax2﹣3ax﹣4a＝0，
即x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
对称轴为直线x＝，
（2）设M的横坐标为x1，N的横坐标为x2，
根据题意得：，
即，
，
又∵M，N关于原点对称，
∴，
∴a＝，
∴，
（3）∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线向上平移了四个单位，
设P（x，），则Q（x，），
由题意得O'（0，），
∵O′P＝O′Q，
∴，
解得，，
若，
则y＝，
∴P（，﹣），Q（，），
若，
则y＝，
∴P（，），Q（，），
综上，P（，﹣），Q（，）或P（，），Q（，）．