2023学年二轮复习解答题专题四十二：动点引起的类比探究综合题

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2023学年二轮复习解答题专题四十二：
动点引起的类比探究综合题
方法点睛
解决动点引起的类比探究题的一般思路
通常需要先分析点在线段上运动的情况，运用相关知识，得到相关结论，再将问题进行升华，探究点在线段延长线上或反向延长线上的情况，抓住运动过程中不变的量和探究对象之间的关系，通过研究基本图形，分析运动过程，从特殊再到一般来解决问题．
典例分析
例． （2022鄂尔多斯中考）（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 　AE＝CF　，位置关系是 　AE⊥CF　；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．

【分析】（1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；
（2）①同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出结论；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DCF+∠DEA＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF．
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
（2）①（1）中的结论还成立，
理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠E＝∠F，
∵∠F+∠ECF＝90°，
∴∠E+∠ECF＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，

∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，
∴△DEG≌△DFH（AAS），
∴DG＝DH，
又∵DG⊥AE，DH⊥CF，
∴DM平分∠EMC，
又∵∠EMC＝90°，
∴∠EMD＝∠EMC＝45°；
③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，
∴∠DMG＝∠GDM，
∴DG＝GM，
又∵DM＝6，
∴DG＝GM＝6，
∵DE＝12，
∴EG＝＝＝6，
∴EM＝GM+EG＝6+6．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
专题过关
1.（2022威海中考） 回顾：用数学的思维思考

（1）如图1，△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）添加条件CD=BE，见解析
（3）能，0＜CF＜
【解析】
【分析】（1）①利用ASA证明△ABD≌△ACE．
②利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（2）添加条件CD=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，可证△CBF∽△BAF，运用相似性质，求得CF的长即可．
【小问1详解】
①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，

∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
【小问2详解】
添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，

∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
【小问3详解】
能
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，

当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴，
整理，得，
解得x=，x=（舍去），
故CF= x=，
∴0＜CF＜．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．
2. （2022牡丹江中考） 在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、．

（1）如图1，当点在边上时，写出与的数量关系 ．（不必证明）
（2）如图2，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）延长交于点，利用，得出，，得到，是的中垂线，在中，，利用正切函数即可求解；
（2）延长交于点，连接，，先证明，再证明，利用在中，，即可求解；
（3）延长到，使，连接，，，作FE∥DC，先证，再证，利用在中，，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，延长交于点，

∵是的中点，
∴PD=PF，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是正三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
，
是的中垂线，
在中，，
．
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图2，延长交于点，连接，，

，正三角形，
∴，
，
在和中，


，，
，，
在和中，


，，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：猜想： ．
证明：如图3，延长到，使，连接，，，作FEDC，

是线段的中点，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，，点、、又在一条直线上，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
即
，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形．
3. （2022扬州中考） 如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点．


（1）分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；
①点在线段的延长线上且；
②点在线段上且．
（2）若．
①当时，求的长；
②直接写出运动过程中线段长度的最小值．
【答案】（1）①②
（2）①②4
【解析】
【分析】（1）①算出各个内角，发现其是等腰三角形即可推出
②算出各内角发现其是30°的直角三角形即可推出
（2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即，设，，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出，，, ，列等式求解a即可
②当，AE最小，计算思路与（2）的①相同
【小问1详解】
①如图：


∵在中，，
∴
∵
∴

在中：

∴

∴
②如图：


∵
∴，
∴在中，
∴
∴
【小问2详解】
①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H


易知：（一线三垂直）
设，
则，，
在中，，AB=6
则，
在中，，
则
在中，，


由


解得：，（舍）
故
②当，AE最小，最小为4
【点睛】本题考查几何综合，涉及特殊直角三角形，相似，等腰三角形，本题突破点是作辅助线构造一线三垂直的相似.
4. （2022河南西平一模） 如图1，是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且cm．点D从O点出发，沿OM方向运动．当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．连接BE，DE．

（1）如图1，当点D在线段OA上运动时，线段BD、BE、BC之间的数量关系是______，直线AD和直线BE所夹锐角的度数是______；
（2）如图2，当点D运动到线段AB（不与A点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
（3）如图3，将改为等腰直角三角形，其中斜边，其它条件不变，以CD为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）（1）中结论不成立，应为；直线AD与直线BE所夹锐角的度数为60°成立．理由见解析
（3）存在，BE的最小值为
【解析】
【分析】（1）结论为：BD= BE+BC；直线AD和直线BE所夹锐角的度数是60°；根据旋转得出CD=CE，∠DCE=60°，再证．然后证明△DCA≌△ECB（SAS）即可
（2）先根据旋转得出，．再证．然后证明△DCA≌△ECB（SAS）即可；
（3）如图，作于点F，连结EF，根据，∠DFC=90°，得出C，D，E，F四点共圆．CD为直径，根据等腰直角三角形三线合一性质得出AF=BF=CF=3，根据勾股定理AC=BC=，根据△DEC为等腰直角三角形，得出∠CDE=∠CFE=45°进而得出点E运动轨迹是∠CFB的平分线所在的直线的一部分，当点E在BC上时，BE最短，然后求出BE即可．
【小问1详解】
解：结论为：BD= BE+BC；直线AD和直线BE所夹锐角的度数是60°；
∵线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠DCA+∠ACE=60°，
∵△ABC等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=∠CAB=60°，
∴∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠DCA=∠ECB，
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴DA=EB，∠DAC=∠EBC=180°-∠CAB=120°，
∴BD=DA+AB=BE+BC，
∴BD= BE+BC，
∠DBE=∠EBC-∠ABC=120°-60°=60°，
故答案为BD= BE+BC；60°；
【小问2详解】
解：（1）中结论不成立，
应为；直线AD与直线BE所夹锐角的度数为60°成立．
理由如下：
∵线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，
∴，．
∵在等边三角形中，，
，
∴．
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴，．
∴，
．
【小问3详解】
解：存在，BE的最小值为．
如图，作于点F，连结EF，
∵，∠DFC=90°，
∴C，D，E，F四点共圆．CD为直径，

∵AB=6，CF⊥AB，AC=BC，
∴AF=BF=CF=3，AC=BC=，
∵△DEC为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CFE=45°，
∴点E运动轨迹是∠CFB的平分线所在的直线的一部分，
当点E在BC上时．BE最短，
∵DE平分∠CDB，CF=BF，
∴BE=CE=．

【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，动点问题，掌握图形旋转，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，动点问题是解题关键．
5. （2022平顶山二模）（1）如图1，已知△ABC是等边三角形，D，E分别为边AB，AC的中点，连接BE，CD，BE与CD交于点P．试判断：①∠BPD的度数为______；②线段PB，PD，PE之间的数量关系：PB______PD+PE．（填写“>”或“<”或“=”）

（2）若点E是边AC所在射线AC上一动点（）．
按下列步骤画图：
（ⅰ）连接BE，作点A关于BE所在直线的对称点D，连接BD；
（ⅱ）作射线DC，交BE所在直线于点P．
小明所做的图形如图2所示，他猜想：．下面是小明的思考过程：
如图2，延长PD到F，使得，连接BF．发现，从而得到，又因为所以可得，进而得到为等边三角形，从而得到线段PB，PC，PD之间关系是．
小华同学画图时，把点E标在了边AC的延长线上，请就图3按要求画出图形，猜想线段PB，PC，PD之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，在中，若，，点E是射线AC上一动点（），连接BE，作点A关于直线BE的对称点D，连接DC，射线DC与射线BE交于点P，若，，请直接用m，n表示PD的长．

【答案】（1）①60°；②=；（2）PD=PC+PB．理由见解析；（3）PD的长为 (m+n)或 (m–n) ．
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质即可得到答案；
（2）在线段PD上取点G，使得DG=PC，证明△BPC≌△BGD，推出△PBG为等边三角形，即可证得PD=PC+PB；
（3）分点E是线段AC上一点时，点E是射线AC上一点时两种情况讨论，仿照上述方法即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，D，E分别为边AB，AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，CD、BE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE=∠BCD=∠ACD=30°，
在Rt△BDP中，∠PBD=30°，
∴∠BPD=90°-30°=60°，PD=PB，
同理，PE=PC，
∵∠CBE=∠BCD =30°，
∴PB=PC，
∴PD+PE=PB+PC=PB+PB=PB，即PB=PD+PE．
故答案为：①60°；②=；
（2）PD=PC+PB．理由如下：
在线段PD上取点G，使得DG=PC，连接BG．如图：

∵△ABC是等边三角形，点A、点D关于BE所在直线的对称，
∴AB=BC=BD，
∴∠D=∠BCP，
∴△BPC≌△BGD，
∴BP=BG，∠CBP=∠DBG，
∵点A、点D关于BE所在直线的对称，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠ABC=60°，
∴∠PBG=60°，
∴△PBG为等边三角形，
∴PD=PG+DG=PC+PB．
（3）当点E线段AC上一点时，延长PD到H，使得DH=PC，连接BH．

∵∠ABC=90°，AB=BC，点A、点D关于BE所在直线的对称，
∴AB=BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，则∠BCP=∠BDH，
∴△BPC≌△BHD，
∴BP=BH，∠CBP=∠DBH，
∵点A、点D关于BE所在直线的对称，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠ABC=90°，
∴∠PBH=90°，
∴△PBH为等腰直角三角形，
∴PH=PB，
∴PD=PH-DH=PB-PC，
∵PC=m，PB=n，
∴PD=m–n，
当点E是射线AC上一点时，在线段PD上取点I，使得DI=PC，连接BI．如图：

同理可证△BPC≌△BID，△PBI为等腰直角三角形，
∴PI=PB，
∴PD=PI+DH=PB+PC，
∵PC=m，PB=n，
∴PD=m+n，
综上，PD的长为 (m+n)或 (m–n) ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
6. （2022郑州外国语三模）在△ABC中，，，点M，N分别是AC，BC的中点，点P是直线MN上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ，连接AQ，CQ．

（1）【问题发现】如图1，当点P与点M重合时，线段CQ与PN的数量关系是 ，∠ACQ= °．
（2）【探究证明】当点P在射线MN上运动时（不与点N重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图2中的情形给出证明．
（3）连接PC，当△PCQ是等边三角形时，请直接写出的值．
【答案】（1）,45°
（2）结论成立，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质解决即可；（2）结论成立，连接AN，证出△CQA∽△NPA，推出,∠ACQ=∠ANP=45°,即可得出结论；（3）过点P作PE⊥BC交于点E，设PE=EN=m,则EC=，PN=,进一步表示出AB的长，即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
M，N是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴PN= AB，
∵由旋转得PA=PQ，∠QPA=90°,
∴QM是线段AC的中垂线，∠QAM=45°，
∴QA=CQ，∠QCA=∠QAM=45°，
∴∠CQA=90°，
∴CQ=CA，
∴,∠ACQ=45°;
【小问2详解】
解：连接AN，

∵AB=AC，BN=CN，
∴AN平分∠CAB，AN⊥BC，
∴∠CAN=∠CAB=45°，
∴
∵由旋转得，PA=PQ，∠APQ=90°，
∴∠PAQ =45°，
∵∠CAN=∠PAQ，
∴∠CAN-∠CAP=∠PAQ-∠CAP，
∴∠PAN=∠CAQ，
又∵
∴△CQA∽△NPA,
∴,∠ACQ=∠ANP,
∵MN∥AB,
∴∠ANP=∠NBA=45°，
∴∠ACQ=∠ANP=45°，
即，∠ACQ=45°；
【小问3详解】
解：当点P在N的左侧时，如图所示，过点P作PE⊥BC交于点E，

∵△PCQ为等边三角形，
∴∠QCP=60°，
∵∠QCB=∠QCA+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠PCN=90°-60°=30°，
设PE=EN=m,则EC=，PN=,
∴CN=，
∴BC=2CN=,
∴AB=BC=m，
∴；
当点P在N的右侧时，同理可得，
，
综上所述，满足条件的值为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确找出相似三角形解决，学会利用参数解决问题．
7.（2022信阳三模） 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，点P是直线DE上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，连接AM，CM．

（1）问题发现
如图（1），当点P与点D重合时，线段CM与PE的数量关系是　　，∠ACM＝　　°．
（2）探究证明
当点P在射线ED上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．
（3）问题解决
连接PC，当△PCM是等边三角形时，请直接写出的值．
【答案】（1），45
（2）一定成立；证明见解析
（3）的值为或
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质解决问题即可；
（2）结论不变．连接AE．证明，推出，
，可得结论；
（3）如图（3）中，过点P作PQ⊥BC于Q．设PQ＝EQ＝m，则，，想办法用m表示AC，即可解决问题．
【小问1详解】
，45
解法提示：∵点，分别是，的中点，
∴．
由旋转知，，即．
易知，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
一定成立.
证明：在中，，，点是的中点，连接，如图，则．
∵点，分别是，的中点，
∴．
∴.
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【小问3详解】
的值为或．
解法提示：当是等边三角形时，分两种情况讨论．
①当点在上方时，如图，过点作于点，延长交直线于点．

由（2）知，易得和均为等腰直角三角形．
设，则，，∴，
又由（2）知，
∴，
∵，，
∴，
∴．
②当点在下方时，如图，连接，

同（2）易得，
∴，，
∴，．
过点作于点，延长交直线于点．
易得和均为等腰直角三角形．
设，则，，∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
综上可知，的值为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
8.（2022河南天一大联考） 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），以CD为边作正方形CDEF，连接AE，AF．


（1）观察猜想
当点D在线段AB上时，线段BD与AF的数量关系是______，∠CAE的度数是______．
（2）探究证明
当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
（3）解决问题
当BD时，请直接写出线段AE的长．
【答案】（1）BD=AF，90°
（2）当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论仍然成立，证明见解析
（3）线段AE的长为1
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出，得到；过作，，根据得到，确定四边形是矩形，通过在和中角度关系得出，进而得到，确定四边形是正方形，根据正方形对角线性质得出；
（2）根据等腰直角三角形的性质与正方形的性质，得出，得到；过作，，根据得到，确定四边形是矩形，再根据正方形内角为直角可以得出，进而得到，确定四边形是正方形，根据正方形对角线性质得出；
（3）在等腰直角△ABC中，利用勾股定理得到斜边长为，可知在边上，根据（1）中求解过程即可利用全等性质及勾股定理求出线段长．
【小问1详解】
解：四边形CDEF是正方形，
，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
，，
，
在和中，
，
，
；
过作，，如图所示：


由得，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
，
，
，
四边形是矩形，
令与交于，在和中，，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，
，
；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论仍然成立．
证明如下：
四边形CDEF是正方形，
，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
，，
，
在和中，
，
，
；
过作，，如图所示：


由得，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，
，
；
故答案为：；；
【小问3详解】
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），
，
，
根据可知点D在线段AB上，
由（1）知，，，
过作于，如图所示：


由等面积法可得，
在中，，，
正方形边长，
在中，，设，则，，，根据勾股定理可得，解得或（舍弃），
在正方形中，是其对角线，则．
【点睛】本题考查几何综合，涉及到全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理求线段长等知识点，综合性强、难度较大，根据题意构造出恰当的辅助线是解决问题的关键．
9.（2022河南社旗一模） 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD中点，连接FG．

【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是　　，FG与直线BC的位置关系是　　；
【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？
①请在图2中补全图形；
②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若AB＝AC=，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．
【答案】（1）FG=BD，FG⊥BC；（2）①补全图形见解析；②结论仍然成立，理由见解析；（3）△BDF的面积为或．
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质以及中位线定理可得结果；
（2）①根据题意画出图形即可；
②根据旋转的性质证明△ABD≌△ACE，结合中位线定理证明结论；
（3）分两种情况进行讨论：当点D在点B的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别画出图形结合等边三角形的性质解答．
【详解】（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FGAD，FG∥AD，
∴FGBD，FG⊥BC，
故答案为：FGBD，FG⊥BC；
（2）①补全图形如图所示；

②结论仍然成立，理由如下：如图2，连接CE，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FGCEBD，FG∥CE，
∴FG⊥BC；
（3）当点D在点B的左侧时，
如图3﹣1中，作AM⊥BC于M，连接FG，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2，BM＝CM＝AMBC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，
∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF＝AC＝FC，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，
∴∠CAE＝15°＝∠BAD，
∴∠ADM＝∠ABC﹣∠BAD＝30°，
∴DMAM，
∴BD＝DM﹣BM，
由（2）的结论可得：FG⊥BC，FGBD，
∴△BDF的面积；
当点D在点C的右侧时，
如图3﹣2中，作AM⊥BC于M，连接FG，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2，BM＝CM＝AMBC＝1，∠BAM＝∠CAM＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是DE中点，
∴∠EAF＝∠CAM＝45°，AF＝FD＝EF，∠DAF＝45°，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF＝AC＝FC，∠FAC＝∠AFC＝∠ACF＝60°，
∴∠CAD＝∠CAF﹣∠DAF＝15°，
∴∠ADM＝∠ACB﹣∠CAD＝30°，
∴DMAM，∴BD＝DM+BM1，
由（2）的结论可得：FG⊥BC，FGBD，
∴△BDF的面积．
综上所述：△BDF的面积为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上性质定理是解本题的关键．
10.（2022三门峡一模） 问题情境：
如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD，取AB中点E，CD中点F，连接EF．

（1）观察猜想：如图2，当点M与点E重合时，EF与CD之间的数量关系为______；
（2）延伸探究：如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）应用提升：如图3，若，线段EF是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（或）
（2）成立，证明见解析
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）延长交的延长线于点，连接GM，GE．先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和直角三角形斜边中线是斜边的一半即可解决问题；
（3）根据（1）、（2）的结论可知，要求EF最小即是求CD最小值，设AM=a，则BM=2-a，根据和都是等腰直角三角形，利用勾股定理可，即可求出CD最小值，则EF最小值可求；方法二：由（2）可知，CD=GM≥EG=AB，得CD≥AB，即有CD≥1，则EF最小值可求．
【小问1详解】
．
理由如下：
∵M点与E点重合，
∴则有AM=BM，
∵和都是等腰直角三角形，且斜边相等，
∴AC=CM=MD=DB，且∠CED=90°，
∴在等腰Rt△CED中，F是斜边CD的中点，
∴．
故答案是：.
【小问2详解】
如图，延长交的延长线于点，连接GM，GE．

∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，．
∴，．
∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，
∴．
是的中点，
∴，
∴．
∵F是的中点，
∴是的中点．
在中，是的中点，
∴，
∴，即．
【小问3详解】
EF最小值为；理由如下：
法一：设AM=a，则BM=2-a，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，



即：当时，取最小值1，即CD取最小值1，
又∵EF=，
∴EF存在最小值为．
法二：由（2）可知，CD=GM≥EG=AB，
∴CD≥AB，
∵AB=2，
∴CD≥1，
由（2）知：EF=CD，
∴EF≥．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边的中线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造矩形解决问题．
11. （2022苏州中学三模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8，点E是边AD的中点.连结EC，P、Q分别是射线AD、EC上的动点，且EQ=AP，连结BP，PQ，过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．

（1）当点P在线段AE上（不包含端点）时，
①求证：四边形BFQP是正方形；
②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长；
（2）如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△BFC的面积（直接写出答案）
【答案】（1）①见解析；②2
（2）
【解析】
【分析】（1）①易证四边形PBFQ是平行四边形，过点Q作QH⊥AD于H，设AP=x，则EQ=AP=x，证△EHQ是等腰直角三角形，得EH=HQ=AP=x，由证△ABP≌△HPQ，得∠ABP=∠HPQ，BP=QP，推出∠BPQ=90°，即可得出结论；
②过点F、Q作BC的垂线段，垂足分别为点M、N，则四边形ABNH是矩形，得HN=AB=4，由面积证得FK=QK，由AAS证得△KMF≌△KNQ，得MF=QN，由AAS证得△BMF≌△BAP，得MF=AP=QN=x，则HN=HQ+QN=2x=4，解得x=2，即可得出结果．
（2）过点F作FK⊥BC于K，过点Q作QH⊥AP于H，易证△BKF≌△BAP≌△QHP，得出AB=PH=4，HQ=KF，设DP=x，则EH=ED+PH+DP=8+x，证△CDE是等腰直角三角形，得CE=CD=4，由轴对称可得BC=CQ=8，则EQ=EC+CQ=4+8，证△EHQ是等腰直角三角形，得EQ=EH，则4+8=（8+x），解得x=4-4，求出，由S△BFC=BC•KF，即可得出结果．
【小问1详解】
①证明：过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F，
，，
∴四边形PBFQ是平行四边形，
过点Q作QH⊥AD于H，如图1-1所示：

设AP=x，则EQ=AP=x，
在矩形ABCD中，AD=BC=2AB=2CD=8，∠A=∠ADC=90°，
∵点E是AD的中点，
∴ED=AD=CD=4，
∴∠DEC=45°，
∵∠EHQ=90°，
∴△EHQ是等腰直角三角形，
∴EH=HQ=AP=x，
∵PE=AE-AP=4-x，
∴PH=PE+EH═PE+AP=AE=4，
∴AB=PH，
在△ABP和△HPQ中，
，
∴△ABP≌△HPQ（SAS），
∴∠ABP=∠HPQ，BP=QP，
∴∠ABP+∠APB=∠HPQ+∠APB=90°，
∴∠BPQ=90°，
∴平行四边形PBFQ是矩形，
∵BP=QP，
∴矩形PBFQ是正方形；
②解：过点F、Q作BC的垂线段，垂足分别为点M、N，如图1-2所示：

则四边形ABNH是矩形，
∴HN=AB=4，
∵四边形BFQP是正方形，
∴S△BPK=S正方形BFQP，
∵BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，
∴S△BFK=S正方形BFQP，
∴S△PQK=S正方形BFQP，
∴FK=QK，
在△KMF和△KNQ中，
，
∴△KMF≌△KNQ（AAS），
∴MF=QN，
∵四边形BFPQ是正方形，
∴BP=BF，∠PBF=∠BFK=90°，
∵∠ABP+∠PBK=∠FBM+∠PBK=90°，
∴∠ABP=∠FBM，
在△BAP和△BMF中，
，
∴△BAP≌△BMF（AAS），
∴MF=AP=QN=x，
∴HN=HQ+QN=2x=4，
解得：x=2，
∴AP=2．
【小问2详解】
解：过点F作FK⊥BC于K，过点Q作QH⊥AP于H，如图2所示：

∵四边形PBFQ是正方形，
∴∠BPQ=∠PBF=90°，BP=PQ=FB，
∴∠APB+∠HPQ=90°，
∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠HPQ，
在△ABP和△PHQ中，
，
∴△ABP≌△PHQ（AAS），
∵∠ABP+∠CBP=∠KBF+∠CBP=90°，
∴∠ABP=∠KBF，
在△ABP和△KBF中，
，
∴△ABP≌△KBF（AAS），
∴△ABP≌△KBF≌△HPQ，
∴AB=PH=4，HQ=KF，
设DP=x，则EH=ED+PH+DP=8+x，
∵DE=CD，∠EDC=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=CD=4，
∵四边形BFQP是正方形，
∴由轴对称可得：BC=CQ=8，
∴EQ=EC+CQ=4+8，
∵∠EHQ=90°，∠DEC=45°，
∴△EHQ是等腰直角三角形，
∴EQ=EH，
∴4+8=（8+x），
解得：x=4-4，
∴KF=HQ=EH=8+x=4+4，
∴S△BFC=BC•KF=×8×（4+4）=16+16．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12. （2022南阳淅川一模）【问题发现】（1）如图1，在矩形ABCD中，，，E为边DC上的一个点，连接BE，过点C作BE的垂线交AD于点F，试猜想BE与CF的数量关系．
【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，，，G为边AB上的一个点，E为边CD延长线上的一个点，连接GE交AD于点H，过点C作GE的垂线交AD于点F，试猜想GE与CF的数量关系并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E从点B出发沿射线BC运动，连接AE，过点B作AE的垂线交射线CD于点F，过点E作BF的平行线，过点F作BC的平行线，两平行线交于点H．当点E运动的路程为8时，请直接写出点H运动的路径长度．

【答案】（1）
（2）
（3）

【解析】
【分析】（1）通过证明△BCE∽△CDF，得到线段BE和CF的数量关系；
（2）过点G作CD的垂线交CD于点M，通过证明△GME∽△CDF，得到线段GE和CF的数量关系；
（3）过点H作射线BC的垂线交于点N，连接CH，通过证明△ABE≌△BCF和△ABE≌△ENH，推出NH=CN，得到∠HCN为定角45°，推出点H的运动轨迹为直线，即可求得点H运动的路径长度．
【详解】解：（1）
∵矩形ABCD
∴∠D=∠BCD=90°
∵BE⊥CF
∴∠FCE+∠BEC=90°
∵∠FCE+∠CFD=90°
∴∠BEC=∠CFD
∴△BCE∽△CDF
∴
∴
（2）
过点G作CD的垂线交CD于点M，如图所示：

∵GM⊥CD
∴∠EGM+∠E=90°
∵CF⊥GE
∴∠E+∠ECF=90°
∴ ∠EGM=∠ECF
又∵∠GME=∠CDF=90°
∴△GME∽△CDF
∴
∴
（3）过点H作射线BC的垂线交于点N，连接CH，如图所示：

∵正方形ABCD
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
∵AE⊥BF
∴∠BAE+∠ABG=90°
又∵∠ABG+∠CBF=90°
∴∠BAE=∠CBF
在△ABE和△BCF中

∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴AE=BF
∵，
∴四边形BEHF是平行四边形
∴BF=EH，FH=BE
∴AE=EH
∵
∴∠AEH=∠BGE=90°
∴∠AEB+∠HEN=90°
又∵∠AEB+∠BAE=90°
∴∠HEN=∠BAE
在△ABE和△ENH中

∴△ABE≌△ENH（AAS）
∴BE=NH
∵FH=BE，FH=CN
∴NH=CN
∴△CHN是等腰直角三角形，∠HCN为定角45°．
∴点H的运动轨迹为直线
∴当点E运动的路程为8时，点H运动的路径长度为．
【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及到相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
13. （2022平顶山一模）点E是矩形ABCD边AB延长线上一动点（不与点B重合），在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接 DF交CG于点H．

（1）发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是______

（2）探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展
在（2）的基础上，若FC的延长线经过AD的三等分点，且AD＝3，AB＝4，请直接写出线段EF的值

【答案】（1）；
（2）仍然成立，见解析；
（3）或
【解析】
【分析】（1）证明，得，则，则证，得出即可；
（2）证，则，由矩形的性质得出，证，即可得出；
（3）根据矩形的性质和已知得，则，分两种情况，根据勾股定理和平行线的性质进行解答即可．
【小问1详解】
，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，，
∴四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，

∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为，
【小问2详解】
仍然成立，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
【小问3详解】
如图所示，延长FC交AD于R，

∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
分两种情况：
①当时，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得：EF＝；
②当时，同理可得：，
，，
，
由勾股定理得：
，
综上所说，若射线FC过AD的三等分点，，，
则线段EF的长为或．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14.（2022驻马店六校联考二模） 已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．

（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．
【答案】（1）见解析 （2）EA+EC＝DE，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）猜想：，证明，推出．即可；
（3）连接，取的中点，连接，．证、、、四点共圆，得，则，再由（2）可知，．然后证，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
【小问2详解】
解：猜想：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝DF，
∴EF＝DE，
∵AE+EC＝EC+CF＝EF，
∴EA+EC＝DE．
【小问3详解】
解：如图3中，连接AC，取AC中点O，连接OE，OD．

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EC，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴OD＝OA＝OC＝OE，
∴A，E，C，D四点共圆，
∴∠AED＝∠ACD＝45°，
∴∠AED＝∠DEC＝45°，
由（2）可知，AE+EC＝DE，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF＝，
∴EF＝AE＝2，
∵DF＝3，
∴DE＝5，
∴+EC＝5，
∴EC＝4．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用建模的思想思考问题，属于中考压轴题．
15.（2022河南新野一模） 在中，，D是BC所在直线上的一个动点（点D不与点B、点C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．


（1）观察发现：
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC、CF的位置关系为___________；
②BC、CD、CF之间的数量关系为___________．
（2）探究证明：
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）问题解决：
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若，时，直接写出GE的长．
【答案】（1）①，②；
（2）（1）中结论①成立，②不成立，理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，根据线段的和与差即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；
（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示，由△ADH≌△DEM（AAS），推出EM=DH，DM=AH，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG=BC，推出GN=CG-CN，再由勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
①在正方形ADEF中，AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DAF=90°
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABD=180°-∠BAC=90°，
∴BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②由①知，△DAB≌△FAC，
∴BD=CF，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
【小问2详解】
（1）中结论①成立．②不成立．理由如下：
∵四边形ADEF是正方形：
∴，．
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴（1）中结论①成立．②不成立．
【小问3详解】
如图，作于点，于点，于点．

易证，，
∴，∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
由（2）得，．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16. （2022河南方城一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为 ．（直接写出结果，不说明理由）

（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．

思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°
∴①∠ABE+ =∠CBF+ ；
∴∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF
∴∠BAE=∠BCF=60°
又∠ABC=60°
∴∠BCF=∠ABC
∴②______∥______；
当点E在点A处时，点F与点C重合．
当点E在点C处时，CF=CA．
∴③点F所经过的路径长为 ．
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．

（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由）

【答案】（1）1 （2）①∠CBE； ∠CBE； ②CF；AB；③3
（3）点N所经过的路径长为
（4）
【解析】
【分析】（1）证明△ABE≌△CBF，则CF=AE=1，问题即解决；
（2）读懂每步推理的依据，即可完成；
（3）取BC的中点H，连结DH，NH，证明△BDM≌△BHN，则当点M在点C处时，NH⊥BC，且NH=CD，此时在直角△ACD 中即可求得CD的长，从而求得结果；
（4）当E、B不重合时，取BC的中点M，连结MH，CH，可证△BFA≌△BHC，可得H、G、C三点共线，可得；当点E在C处时， MH⊥BC，所以可确定点H所经过的路径，从而求得路径长．
【小问1详解】
∵△ABC、△BEF都是等边三角形
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°
∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC
∴∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF
∴CF=AE=1
故答案为：1
【小问2详解】
当点E不与点A重合时，如图，连结CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°
∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC
∴∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF
∴∠BAE=∠BCF=60°
又∠ABC=60°
∴∠BCF=∠ABC
∴CF∥AB
当点E在点A处时，点F与点C重合．
当点E在点C处时，CF=CA．
∴点F所经过的路径长为3．
故答案为：①∠EBC，∠ EBC；②CF，AB； ③3
【小问3详解】
如图（3），取BC的中点H，连结DH，NH，则


∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∴BD=BH
∴△BDH是等边三角形
∵△BMN是等边三角形
由（2）知△BDM≌△BHN
∴∠BHN=∠BDM=90°
即NH⊥BC
当点M在点D处时，点N与点H重合，
当点M在点C处时，NH⊥BC，且NH=CD
在Rt△ACD中，∠A=60°，AC=3
∴CD=AC●sinA=3×sin60°=3×=
所以点N所经过的路径长为.
【小问4详解】
如图①，当点E不与点B重合时，取BC的中点M，连结MH，CH


由四边形ABCD和四边形BFGH都是正方形
∴AB=BC，BF=BH，∠ABC=∠FBH=∠BHG= 90°
∴∠ABF=∠CBH
∴△BFA≌△BHC
∴∠BFA=∠BHC=90°
∵∠BHG=90°
∴H、G、C三点共线
∵MH是直角△BCH斜边上的中线
∴
当点E在C处时，如图②，MH⊥BC，


所以点H所经过的路径长为：以点M为圆心，半径为，圆心角为90°的弧
此时弧长为：
故答案为：
【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算等知识；关键是正确寻找到点的运动路径，这是属于几何压轴题．