2023学年二轮复习解答题专题四十四：图形平移引起的综合探究

2023学年二轮复习解答题专题四十四：

图形平移引起的综合探究

典例分析

例.   （2022河北中考） 如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求证：△PQM≌△CHD；

（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．

①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；

②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；

③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．

专题过关

1. （2022山西侯马二模）综合与实践

问题背景：

如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，连接AC，AC⊥BC，过点C作CE⊥AB于点E，且CE＝CD．

（1）求证：AD＝AE．

操作探究：

如图2，将△ACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A，C，D的对应点分别为点，，，且点与点E重合．

（2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由；

②求出△ACD平移的距离．

（3）若将△ACD继续沿直线AB方向向右平移，当点恰好落在BC边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。

拓展创新：

如图3，在（2）的条件下，将绕点E按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边AB，BC交于点N，M．

（4）当时，请直接写出BN的长．

2. （2022山西百校联考）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题．如图1，在正方形中，，分别以，为边在正方形内部作等边三角形与等边三角形，线段与交于点，线段与交于点．猜想与的数量关系，并加以证明．

（1）数学思考：请解答老师出示的问题．

（2）深入探究：试判断四边形的形状，并加以证明．

（3）问题拓展：将从图1的位置开始沿射线的方向平移得到，连接，．当四边形是矩形时，得到图2．请直接写出平移的距离．

3. （2022大同二模）数学活动—三角形平移中的数学问题．

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片和的斜边放在同一直线上，其中，顶点C与顶点E重合．

（1）独立思考：将向左平移使得AC的中点G恰好落在DE上，连接AE，CD，AD，如图2，试判断四边形AECD的形状并证明．

（2）合作交流：①“希望”小组受此问题的启发，将沿CB方向平移，使得DE与AB交于点M，DF交AC于点N，DF交AB于点H，如图3，求证：．

②“希望”小组还发现图3中还有其它相等的线段，在不添加字母的前提下，请你再写出一组相等的线段．

（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，在图3的基础上继续探索．

“爱心”小组提出的问题是：如图3，若M恰好是DE的中点，请直接写出线段HM的长度，请解答“爱心”小组提出的问题．