2024年七年级数学下册专题5.2 平行线的性质【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

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专题5.2 平行线的性质【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc2182" 【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】  PAGEREF _Toc2182 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc23636" 【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】  PAGEREF _Toc23636 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15721" 【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】  PAGEREF _Toc15721 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc23203" 【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】  PAGEREF _Toc23203 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32696" 【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】  PAGEREF _Toc32696 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc8096" 【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】  PAGEREF _Toc8096 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc16928" 【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】  PAGEREF _Toc16928 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1257" 【题型8 平行线的性质（折叠问题）】  PAGEREF _Toc1257 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc27360" 【题型9 平行线的应用（转角问题）】  PAGEREF _Toc27360 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc26225" 【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】  PAGEREF _Toc26225 \h 15【知识点 平行线的性质】1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且DG∥BC，∠1＝∠2．(1)求证：DB∥EF；(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．(1)求证：AB∥CD；(2)求∠C的度数．【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且∠BDA+∠CEG=180°．(1)求证：AD∥EF；(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．(1)求证：EF∥AD；(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整）证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥FD（_____________）∴∠A=∠_____（______________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∴_____∥CD（__________________）∴∠B=∠C（____________）【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明过程：已知：如图，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，求证：BE⊥CE．证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC∠2=________=12∠BCD（角平分线定义）又∵∠1=∠2，∴∠1=∠ECD（                      ）∴EF∥CD（              ）又∵AB∥EF（已知）∴________________（         ）∴∠ABC+∠BCD=180°（               ）∴∠ABE+∠2=12∠ABC+∠BCD=90°，又∵AB∥EF，∴∠ABE=∠BEF（              ）∴∠BEF+∠1=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE（            ）【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据：已知：如图所示，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∴____________∥_____________（_____________________），∴∠BAP=∠APC（_____________________）．又∵∠1=∠2，∴∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∴____________∥_____________（_____________________），∴∠E=∠F（_____________________）．【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程. 如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∥BC证明：∵∠1+∠2=180°（ ）∠2=∠3（_______________________________）  ∴∠1+∠3=180°∴______∥______（_____________________________）∴∠B=______（________________________________）∵∠B=∠DEF（已知）∴∠DEF=_______ （_______________________） ∴DE∥BC（ ）【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有30°角的直角三角板的两个顶点E、F放在一个长方形的对边上，点E为直角顶点，∠EFG=30°，延长EG交CD于点P，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（    ）A．100° B．105° C．115° D．120°【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是(   )A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC=30°，A，B两点分别落在直线m、n上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n（    ）A．∠2=20° B．∠2=30° C．∠2=45° D．∠2=50°【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（    ）A．95° B．115° C．105° D．125°【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54'，则∠2的度数为（    ）A．103°6' B．104°6' C．103°54' D．104°54'【变式4-1】（2022·山西晋中·七年级期末）用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若∠1=50°，则∠2的度数为（    ）A．25° B．22.5° C．20° D．15°【变式4-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．【变式4-3】（2022·山东淄博·期末）如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：(1)图甲中，容易求得∠1+∠2=90°，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】【例5】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）如图①，AB∥CD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，AB∥CD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MN∥PQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．(1)若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；(2)若点F是直线AE上一动点(点F与点A不重合)，请写出∠P与∠AFB之间的数量关系并证明．【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】【例6】（2022·湖南·株洲二中七年级期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．(1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝　 　°，∠3＝　 　°．(2)请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．【变式6-1】（2022·河北保定·七年级阶段练习）如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB,CD上，H为直线CD下方一点．(1)如图1，MH和NH相交于点H，求证：∠MHN=∠AMH-∠CNH．（温馨提示：可过点H作AB的平行线）(2)延长HN至点G，∠BMH的平分线ME和∠GND的平分线NE相交于点E，HM与CD相交于点F．①如图2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度数；②如图2，当点F在点N左侧时，若∠BME的度数为x°，∠END的度数为y°，且x+y的值是一个定值，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出∠MHN的度数；若变化，请说明理由．③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出∠MHN的度数；若变化，请说明理由．【变式6-2】（2022·福建龙岩·七年级期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．(1)求证：AE⊥ED；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【变式6-3】（2022·天津河东·七年级期中）直线MN与直线AB、CD分别相交于点E、F，∠MEB与∠CFM互补(1)如图1，试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠BEF与∠EFD的平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求证：∠HPQ的大小是定值．【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】【例7】（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）如图，已知AB//CD，若按图中规律继续划分下去，则∠1+∠2+⋯+∠n等于（    ）A．n•1800 B．2n•1800 C．(n-1)•1800 D．(n-1)2•1800【变式7-1】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点Cn，则∠Cn的度数为（    ）A．90-902n B．180-902n-1 C．902n-1 D．1802n【变式7-2】（2022·山东·临沂第六中学七年级阶段练习）如图（1）（2）（3）中，都满足AB∥CD．试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为 【变式7-3】（2022·浙江·七年级阶段练习）阅读并探究下列问题.（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为 .（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中AB∥CD，则共剪出 个角.若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为 .（4）如图④，直线AB∥CD，∠EFA=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°2x+y-102+x+y-72=0由上述结论求∠GHM的度数.【题型8 平行线的性质（折叠问题）】【例8】（2022·江西赣州·七年级期末）综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH中，AB∥GH,AH∥BG，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90°，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝70°，则∠CDE＝　 　；类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．【变式8-1】（2022·河南周口·七年级期中）如图，已知四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，点E在AD边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕为CE．（1）试判定AB与EF的位置关系，并说明理由；（2）如果∠A=100°，求∠DEC的度数．【变式8-2】（2022·河北保定·七年级期末）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸片，其中AD//BC，先按如图2所示的方法折叠，折痕为MN； （MC'与AD相交于点P）然后按如图3的方法折叠，折痕为PQ（A'P与C'M落在一条直线上）．（1）在图2的折叠过程中，若∠1=130°，求∠2的度数（2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕MN与PQ平行，请把小明的思考步骤补充完整．由折叠可知，∠C'MN=∠CMN=12∠CMC'；∠A'PQ=∠APQ=12∠APA'；∵AB//BC∴∠APA'=∠CMC'；（   ①   ）∴ ② ＝ ③ （等量代换）∴PQ//MN．（内错角相等，两直线平行）【变式8-3】（2022·广东佛山·七年级期末）某公司技术人员用“沿直线AB折叠检验塑胶带两条边缘线a、b是否互相平行”．（1）如图1，测得∠1=∠2，可判定a∥b吗？请说明理由；（2）如图2，测得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b吗？请说明理由；（3）如图3，若要使a∥b，则∠1与∠2应该满足什么关系式？请说明理由．【题型9 平行线的应用（转角问题）】【例9】（2022·黑龙江·大庆市第五十一中学七年级期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向相反的方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（      ）A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°【变式9-1】（2022·河北唐山·七年级期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（　　）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°【变式9-2】（2022·广西防城港·七年级期末）如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则∠C度数为______．【变式9-3】（2022·广东·广州市第十六中学七年级期中）如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角∠C=__________时，道路CE才能恰好与AD平行．【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】【例10】（2022·上海市市西初级中学七年级期中）结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．（1）填空：∠ABP=______°；（2）若灯B射线先转动60秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【变式10-1】（2022·全国·九年级单元测试）（1）如图1，将一副直角三角板按照如图方式放置，其中点C、D、A、F在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为MN、PQ，∠BAC=30°，∠DEF=45°．AB与DE相交于点O，则∠BOE的度数是__________；（2）将图1中的三角板ABC和三角板DEF分别绕点B、F按各自的方向旋转至如图2所示位置，其中BA平分∠MBC，求∠PFA的度数；（3）将如图1位置的三角板ABC绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒10°，在此过程中，经过_________秒边AB与边DE互相平行．【变式10-2】（2022·河北·唐山市第十二中学七年级期中）嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究数学问题：一副三角尺分别有一个角为直角，其余角度如图1所示，AB=DE，经研究发现（1）如图2，当AB与DE重合时，∠CDF=　　　　°；（2）如图3，将图2中△ABC绕B点顺时针旋转一定度使得∠CEF=156°，则∠AED=　　　　°；拓展（3）如图4，继续旋转使得AC垂直DE于点G，此时AC与EF位置关系　　　　，此时∠AED=　　　　°；探究（4）如图5，图6继续旋转，使得AC∥DF图5中此时∠AED=　　　　°，图6中此时∠AED=　　　　°．【变式10-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM=2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度．（1）直接写出∠QBA的大小为_______；（2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？（3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD=120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系．