九年级数学下册专题27.5 相似三角形的应用【七大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

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专题27.5 相似三角形的应用【七大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc5000" 【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】  PAGEREF _Toc5000 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10329" 【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】  PAGEREF _Toc10329 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc19567" 【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】  PAGEREF _Toc19567 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26048" 【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】  PAGEREF _Toc26048 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc16771" 【题型5 相似三角形的应用（树高问题）】  PAGEREF _Toc16771 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc19910" 【题型6 相似三角形的应用（河宽问题）】  PAGEREF _Toc19910 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc17986" 【题型7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】  PAGEREF _Toc17986 \h 23【知识点 相似三角形的应用】在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】【例1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．【答案】20003步【分析】本题只需要证出△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质可以得到：CK100=10015，然后可以求出CK的值，得出答案．【详解】解：由题意可知：DE=DG=200，AH＝15∵H为GD的中点，K为DE的中点DH＝100，DK＝100∵AH∥DK∴∠CDK＝∠A而∠CKD＝∠AHD∴△CDK∽△DAH∴CKDH=DKAH即CK100=10015，∴CK=20003答：出南门20003步恰好看到位于A处的树木．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度．【变式1-1】（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为（    ）米．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【详解】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD=AECE，∴1CD=0.41.6-0.4，∴CD=3，经检验，CD=3是所列方程的解，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．【变式1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（     ）A．105步 B．200步 C．250步 D．305步【答案】C【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，相似三角形的对应边成比例．【详解】设小城的边长为x步，根据题意，Rt△CAF∽Rt△CDM，∴CACD=FAMD，即2020+14+x=0.5x1775，去分母并整理，得x2+34x-71000=0，解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去），∴小城的边长为250步．故选：C．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长．【变式1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础．《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到△A'B'C'，从A'处望山谷底部M处时，视线经过B'C'上的点F处，测得FC'长为8尺5寸．求山谷深CN为几丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）【答案】山谷深CN为41.9丈．【分析】根据题目中的条件，需要两次利用三角形相似的判定定理及性质，证明两个三角形相似，再利用对应边成比例建立等式，进行求解．【详解】：解：由题意知：AC=60寸，EC=91寸，FC'＝85寸，AA'＝300寸．∵∠EAC=∠MAN,∠ACE=∠ANM，∴△ACE∼△ANM．∴ACAN=ECMN．∴60AN=91MN．∴MN=9160AN．∵∠FA'C'=∠MA'N,∠A'C'F=∠ANM，∴△FA'C'∼△MA'N．∴A'C'A'N=FC'MN．即A'C'A'A+AN=FC'MN．∴60300+AN=859160AN，解得：AN=4250经检验：AN=4250符合题意，∴CN=AN-AC=4190寸＝41.9丈． 答：山谷深CN为41.9丈．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理及性质，根据对应边成比例建立等式，再通过等量代换进行求解．【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】【例2】（2022·浙江金华·九年级期末）如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（    ）A．10m B．8m C．6m D．4m【答案】B【分析】根据题意，画出示意图，证明△EDC∽△FDC，进而可得EDDC=DCFD，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m；∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠F，又∠CDE=∠FDC ∴△EDC∽△CDF，∴EDDC=DCFD，即DC2=ED•FD=4×16=64，解得CD=8m（负值舍去）．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．【变式2-1】（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】(170+603)cm【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，则DF=12CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×32=903（cm），由题意得：DFEF=6090，即90EF=6090，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，则AB255+903=6090，解得：AB=170+603，答：立柱AB的高度为(170+603)cm．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．【变式2-2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF=4m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG=5m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．【答案】8m【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△ABF∽△CDF，△ABG∽△EFG，∴ABCD=BFDF，ABEF=BGFG，又∵CD=EF，∴BFDF=BGFG∵DF=4，FG=5，BF=BD+DF=BD+4，BG=BD+DF+FG=BD+9，∴4+BD4=9+BD5，∴BD=16,BF=16+4=20，∴AB1.6=204，解得AB=8．答：路灯杆AB的高度为8米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．【变式2-3】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期末）如图,小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部,当她向前再步行12m到Q点时，发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯 B的底部.已知小萌的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=x m.(1)求两路灯之间的距离.(2)当小萌在A，B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗?请说明理由.【答案】(1)18m(2)两个影子的长的和不会变，一直都是3.6m【分析】（1）连接AC，易证ΔAPD∽ΔABC，根据相似三角形对应边成比例即可求出x的值，两路灯间的距离等于PQ+2x；（2）根据题意作出图形，找出其中的相似三角形，根据三角形的相思笔即可求出影子的长度和．（1）如图，连接AC，∵DP⊥AB，CB⊥AB，∴DP∥CB，∴ΔAPD∽ΔABC，∴DPCB=APAB，即：1.69.6=x2x+12，解得：x=3，∴AB=2×3+12=18（m）（2）如图，当小萌在A，B之间走动时，在A路灯下的影子长度为ON，在B路灯下的影子长度为OM，∵AD⊥AB，BC⊥AB，OE⊥OB，∴AD∥OE∥BC，∴ΔAND∽ΔONE，ΔBMC∽ΔOME，∴OEAD=ONAN，OECB=OMBM，则1.69.6=ONAN，1.69.6=OMBM，整理得：ON=16AN，OM=16BM，ON+OM=16(AN+BM)MN=16(AB+MN)由（1）得：AB=18m，∴MN=16(18+MN)，解得：MN=3.6m，故：两个影子的长的和不会变，一直都是3.6m【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】【例3】（2022·山东临沂·二模）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力F动和阻力F阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F阻不变时，则杠杆向下运动时F动的大小变化情况是（    ） A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定【答案】B【分析】由图证明△MOE∽△NOF，从而得到MENF=MONO，即ME⋅NO=NF⋅MO，再根据题意得出答案．【详解】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF，∴△MOE∽△NOF，∴MENF=MONO，即ME⋅NO=NF⋅MO，∵阻力F阻不变，即ME不变，又∵OM，ON不变，∴由ME⋅NO=NF⋅MO得，NF不变，即F动的大小不变．故选：B．【点睛】本题以实际问题为背景，考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出数学图形，是解题的关键．【变式3-1】（2019·全国·九年级专题练习）如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆B端必须向上翘10cm，已知杠杆上的AC与BC长度之比为5:1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压多少厘米？【答案】50厘米【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【详解】解：解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；易知：△ACM∽△BCN；∴ACBC=AMBN∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，∴AMBN=51，即AM=5BN；∴当BN≥10cm时，AM≥50cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm．故答案为50【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．【变式3-2】一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（    ）A．5N B．10N C．15N D．20N【答案】A【分析】依据BD∥AC，B是AO的中点，即可得到D是OC的中点，再根据杠杆平衡原理，可得G×OD=F×OC，进而得出拉力F的大小．【详解】解：∵BD⊥OC，AC⊥OC，∴BD∥AC，∴OBBA=ODDC，又∵B是AO的中点，即OB=BA，∴OD=DC，∴OD=12OC，根据杠杆平衡原理，可得G×OD=F×OC，∴10×12OC=F×OC，解得F=5(N)，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及杠杆平衡原理，熟练掌握平行线分线段成比例定理并准确识图是解题的关键.【变式3-3】（2021·甘肃白银·九年级期末）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．在下列结论中：①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1，正确的是（    ）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判断出①正确；根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式判断出③正确；求出F的大小不变，判断出④正确．【详解】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD=OB1OA1，由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA•OC=OB•OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确；∴F1G=OCOD=OB1OA1=OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F=F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键．【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】【例4】（2019·四川·成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A、C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A，E，G三点也成一线，试计算山峰的高度AH及BH的长（这里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，结果用步来表示）．【答案】AH为1255步，HB为30750步【分析】根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．【详解】解：由题意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，∴∠AHF＝∠CBF，∵∠AFB＝∠CFB，∴△CBF∽△AHF，∴BCAH=BFHF同理可得DEHA=DGHG∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，BC＝DE＝3丈＝3×53＝5步，∴5HA=123HB+123,5HA=127HB+1127解得HB＝30750，HA＝1255步，答：AH为1255步，HB为30750步．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．【变式4-1】（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模）千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔为中国现存铁塔中最高的一座．某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高度．如图，在点C处有一建筑物，小丽同学站在建筑物上，眼睛位于点D处，她手拿一支长0.5米的竹竿EF，边观察边移动竹竿（竹竿EF始终与地面垂直），当移动到如图所示的位置时，眼睛D与竹竿、塔的顶端E、A共线，同时眼睛D与它们的底端F、B也恰好共线，此时测得∠BDC=63°，小丽的眼睛距竹竿的距离为0.5米，小丽的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．请你根据以上测量结果计算该塔的高度AB．【参考数据：tan63°≈2】【答案】该塔的高度AB为34米【分析】过点D作DG⊥AB于点G，交EF于点H，再根据EF∥AB可得出△DAB∽△DEF，由相似三角形的对应边成比例即可求出AB的长．【详解】过点D作DG⊥AB于点G，交EF于点H，如图．易得DG=BC，DH⊥EF，DH=0.5米．∵CD=17米，∠BDC=63°，∠C=90°，tan63°≈2，∴BCCD=2，∴BC=34米，即DG=34米．  ∵EF∥AB，∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，∴△DAB∽△DEF，  ∴ABEF=DGDH，即AB0.5=340.5，解得AB=34米，即该塔的高度AB为34米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测）延安宝塔，是历史名城延安的标志，是革命圣地的象征，坐落在陕西省延安市主城东南的宝塔山景区内．周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量延安宝塔的高度．测量方案如下：首先，在A处竖立一根高4m的标杆AB，发现地面上的点D、标杆顶端B与宝塔顶端M在一条直线上，测得AD=4.3m；然后，移开标杆，在A处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高AC为1m时，恰好测得点M的仰角为45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，点D、A、N在一条直线上，点A，C、B在一条直线上，求延安宝塔的高MN．【答案】延安宝塔的高MN为44m．【分析】根据已知条件推出ΔMND∼ΔBAD，得到MNAB=DNDA，即可求得．【详解】解：过点C作CE⊥MN于点E，则CE=AN，EN=AC=1，∵∠MCE=45°，∴ME=CE．∴ME=CE=AN=MN-1，∠MND=∠BAD，∠MDN=∠BDA，∴ΔMND∼ΔBAD，∴MNAB=DNDA，即MN4=MN-1+4.34.3，∴MN=44∴延安宝塔的高MN为44m．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明ΔMND∼ΔBAD是解决本题的关键．【变式4-3】（2022·陕西西安·一模）“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的标志性建筑，阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度．揽月阁前面有个高1米的平台，身高1.8米的小强在台上走动，当小强走到点C处，小红蹲在台下点N处，其视线通过边缘点M和小强头顶点D正好看到塔顶A点，测得CM=0.9米，然后小强从正前方跳下后，往前走到点E处，此时发现小强头顶F在太阳下的影子恰好和塔顶A在地面上的影子重合于点P处，测得NE=5米，EP=1米．请你根据以上数据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度．【答案】99米【分析】过点M作MQ⊥AB于点Q，则四边形QBNM为矩形，设AB的长为x，则AQ=x-1，根据DC⊥MQ,AQ⊥MQ，可得△AQM∽△DCM，进而求得MQ的长度，即BN的长度，根据AB∥EF，可得△PEF∽△PBA，进而根据相似三角形的性质列出比例式，解方程求解即可求出揽月阁的高度．【详解】解：如图，过点M作MQ⊥AB于点Q，∵AB⊥BN,MN⊥BN∴四边形QBNM为矩形，设AB的长为x，则AQ=x-1，∵ DC⊥MQ,AQ⊥MQ∴AQ∥DC∴ △AQM∽△DCM∴ AQDC=QMCM∵AQ=x-1,DC=1.8,CM=0.9∴QM=AQ⋅CMDC=x-1×0.91.8=x-12∴BN=QM=x-12∵ AB∥EF∴ △PEF∽△PBA∴ABEF=PBPE∵EF=1.9,PB=PE+NE+BN=1+5+x-12=x+112∴x1.8=x+1121解得x=99∴揽月阁的高度为99米【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．【题型5 相似三角形的应用（树高问题）】【例5】（2011·辽宁大连·中考真题）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7m，观测者目高CD＝1.6m，则树高AB约是____．（精确到0.1m）【答案】5.2【详解】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．解：由题意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CED∽△AEB．∴CDDE=ABBE，∴1.62.7=AB8.7，∴AB≈5.2米．故答案为5.2m．【变式5-1】（2021·全国·九年级专题练习）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”大意如下：如图，今有山AB位于树CD的西面.山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，问山AB的高约为多少丈？(1丈=10尺，结果精确到个位)【答案】由AB的高约为165丈.【分析】由题意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过点E作EG⊥AB于点G，交CD于点H，得 BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出.【详解】解：由题意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里.如图，过点E作EG⊥AB于点G，交CD于点H.则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，∵CD//AB，∴ △ ECH∽ △ EAG，∴CHAG=EHEG，∴95-7AG=33+53∴AG≈164.3丈，AB=AG+0.7≈165丈.答：由AB的高约为165丈.【点睛】此题主要考查了相似三角形在实际生活中的应用，能够将实际问题转化成相似三角形是解题的关键.【变式5-2】（2022·全国·九年级单元测试）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．请你求出松树的高．【答案】这棵古松的高约为10.2米.【分析】根据反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠DGH，所以可得△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，再根据相似三角形的性质解答．【详解】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDF，设AB＝x，BC＝y∴1.70x=1.8y1.70x=3.8y+12，解得x=10.2y=10.8．答；这棵古松的高约为10.2米【变式5-3】（2021·陕西宝鸡·一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度．【答案】8米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵CD∥EF∥AB，∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴CDAB=DFBF，EFAB=FGBG，又∵CD＝EF，CD=DF∴EFAB=GFAB+GF∵DF＝1.6m，FG＝2m，∴1.6AB=2AB+2解得，AB＝8．答：这棵大树的高度是8m．【点睛】本题考查了相似三角形的有关知识，能够借助两组三角形相似求解是解决问题的关键．【题型6 相似三角形的应用（河宽问题）】【例6】（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，CE⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD=120m，DC=40m，EC=30m，那么这条河的大致宽度是（    ）A．60m B．90m C．100m D．120m【答案】B【分析】证明△DEC∽△DAB即可．【详解】∵AB⊥BC，CE⊥BC，∴∠DBA=∠DCE，∵∠BDA=∠CDE，∴△DEC∽△DAB,∴DC：DB=EC：AB，∵BD=120m，DC=40m，EC=30m，∴40：120=30：AB，∴AB=90（m）,故选B．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质是解题的关键．【变式6-1】（2019·全国·九年级单元测试）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，则河的宽度AB约为(       )A．20m B．18m C．28m D．30m【答案】B【分析】证明△ABC∽△ADE，利用相似比得到BCDE=ABAB+BD，然后根据比例的性质求AB的长度．【详解】∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE=ABAB+BD，即2440=ABAB+12，∴AB=18m．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．【变式6-2】（2022·贵州毕节·二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为_______m．【答案】108【分析】根据题意画出示意图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，证明△PAB∽△PCD，再借助相似三角形的性质计算PF的长，再由题意计算河宽即可．【详解】解：根据题意画出示意图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，由题意可知，两树之间的距离AB=5m，龙舟的长CD=18.5m，点P到南岸的距离PE=20m，∵AB//CD，∴△PAB∽△PCD，∴PEPF=ABCD，即20PF=518.5，∴PF=74m，∴EF=PF-PE=74-20=54m，∵龙舟行驶在河的中心，∴河宽为54×2=108m．故答案为：108．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形解决实际问题，解题关键是根据题意作出示意图，构建相似三角形．【变式6-3】（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．【答案】桥AF的长度为80米．【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出ACEC=43，依据△ACF∽△ECG，即可得到AFEG=ACEC，进而得出AF的长．【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴ACAE＝BCDE =120210=47，∴ACEC=43，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△ACF∽△ECG，∴AFEG=ACEC，即AF60=43，解得AF=80，∴桥AF的长度为80米．【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．【题型7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】【例7】（2020·江苏无锡·九年级期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是(　　)A．① B．② C．一样大 D．无法判断【答案】A【分析】分别利用平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质求出两个正方形的边长，然后利用正方形的面积公式求出面积，然后进行比较即可．【详解】解：由AC长为1cm，△ABC的面积为1cm2，可得BC=2cm，如图①，设加工桌面的边长为xc m，∵DE//CB，∴ DEBC=ADAC，即x2=1-x1，解得：x=23(cm)；如图②，设加工桌面的边长为y cm，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC=1cm，BC=2cm，∴AB=AC2+BC2=5，∵△ABC的面积为1cm2，∴CM=255cm，∵DE//AB，∴△CDE∽△CAB，∴ DEAB=CNCM，即y5=255-y255，解得：y=257cm，∵x2=49=2045，y2=2049，∴x2>y2，即S1>S2，故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质是解题的关键．【变式7-1】（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）A．67 B．3037 C．127 D．6037【答案】D【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【详解】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝12•AB•BC＝12•AC•BP，∴BP＝AB⋅BCAC＝3×45＝125．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC＝BQBP．设DE＝x，则有：x5＝125-x125，解得x＝6037，故选：D．【点睛】本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．【变式7-2】（2019·浙江宁波·九年级期末）如图，已知在RtΔABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，在RtΔABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则第二层最多能叠放___个正方形小纸片.【答案】7【分析】求出AB的长后，根据相似三角形的性质求出EF的长度，从而判定可放置的正方形的个数.【详解】解：由勾股定理得：AB=52+122=13．由三角形的面积计算公式可知：△ABC的AB边上的高=5×1213=6013．如图所示：根据题意有：△CAB∽△CEF∴EFAB=6013-26013=1730∴EF=13×1730=71130∴第二层可放置7个小正方形纸片．故答案为7.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质等问题，解题的关键是在掌握所学知识点的同时，要具有综合分析问题、解决问题的能力．【变式7-3】（2021·浙江台州·九年级期末）一块材料的形状是等腰△ABC，底边 BC=120 cm，高 AD=120 cm．(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在AB，AC 上（如图 1），则这个正方形的边长为多少？(2)若把这块材料加工成正方体零件（如图 2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？【答案】(1)这个正方形的边长为60cm；(2)正方体的表面积为3456cm2【分析】（1）设正方形的边长为xcm，证明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质得到AKAD=EHBC，然后代值求出x值即可；（2）设正方体的棱长为acm，同样证明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性质得到APAD=MNBC，然后代值求出a值即可．(1)解：设正方形的边长为xcm，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，∴△AEH∽△ABC，∴AKAD=EHBC，∵BC=120 cm， AD=120 cm，∴120-x120=x120，解得：x=60，答：方形的边长为60cm；(2)解：设正方体的棱长为acm，由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，∴△AMN∽△ABC，∴APAD=MNBC，即120-4a120=a120，解得：a=24∴正方体的表面积为6×242=3456cm2．【点睛】本题考查相似三角形的应用举例，涉及正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、正方体的展开图和表面积等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．