九年级数学下册专题27.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷）

这是一份九年级数学下册专题27.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版+解析卷），文件包含九年级数学下册专题278相似三角形的常见模型八大题型举一反三人教版原卷版docx、九年级数学下册专题278相似三角形的常见模型八大题型举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
专题27.8 相似三角形的常见模型【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc28027" 【题型1 A字型】  PAGEREF _Toc28027 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc27968" 【题型2 “8”字形】  PAGEREF _Toc27968 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc13487" 【题型3 AX字型】  PAGEREF _Toc13487 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc31320" 【题型4 子母型】  PAGEREF _Toc31320 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc17647" 【题型5 三角形内接矩形型】  PAGEREF _Toc17647 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc1063" 【题型6 双垂直型】  PAGEREF _Toc1063 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc21621" 【题型7 手拉手型】  PAGEREF _Toc21621 \h 35 HYPERLINK \l "_Toc14553" 【题型8 一线三角型】  PAGEREF _Toc14553 \h 44【基本模型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．【题型1 A字型】【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________．【答案】4.5【详解】如图，设之间的距离为x米，根据题意可得，，∴∴，，∴，，即，，∴，解得，经检验是所列方程的解，∴，解得，经检验是所列方程的解，故路灯的高为4.5米．故答案为：4.5．【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有，即，解得t＝，答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．【答案】甲同学【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴即∴x＝ 图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．由勾股定理得：AC＝∵，∴设乙同学加工的桌面边长为ym，∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴即∴y＝∵＞，即x＞y，x2＞y2∴甲同学的加工方法更好．【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AF=4，BE=DG=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△CAF，∴CF=BE=3，∴AC==5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，即，解得：CD=，∴BD==．故选：A．【基本模型】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【题型2 “8”字形】【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【详解】∵平行四边形ABCD∴，AD=BC∵E为边AD的中点∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，则，∴， ∵△AEF的面积为2∴故选C．【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（　　）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故选：C．【变式2-2】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．【答案】【详解】解：如解图，补成矩形，延长交于点，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴设，则，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．【变式2-3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．【答案】【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．因为．所以，所以．因为D为BC的中点，所以．因为，所以，所以．因为M为AD的中点，所以．所以，所以．解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．因为，所以，所以．因为D为BC的中点，所以．因为M为AD的中点，所以，所以．因为，所以，所以．解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．因为，所以，所以．因为M为AD的中点，所以，所以．因为，所以，所以．因为D为BC的中点，且，所以．解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．在中，因为M为AD的中点，，所以N为AH的中点，即．在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，所以．所以．【基本模型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3 AX字型】【例3】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．【变式3-1】（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．【详解】（1）∵是等边三角形∴，在中，∴∵点是线段的中点∴∴是等边三角形∴，∴∴∴∴四边形为平行四边形；（2）①如图，连接，交于点∵∴∴∵，∴∵∴；②如图，作，垂足为∵，，∴∴，∴，∴∴．【变式3-2】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．【答案】； ．【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案为：或．【变式3-3】（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【详解】解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线， 因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1， ∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°， AD＝B1D， 综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，线段AD为其内角角平分线 ∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB， 又∵BE＝AB．∴，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD为△ABC的内角角平分线，∴ ∵DE∥AC， ∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF， ∴ 【基本模型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．【题型4 子母型】【例4】（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在中，，，，，，则CD的长为______．【答案】5【详解】解：在CD上取点F，使，，，由，，，，且，，，∽，， ，，又， ， ∽，，又，，或舍去，经检验：符合题意，．故答案为：5．【变式4-1】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1，中，是的角平分线，．求证：与互为母子三角形．（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2，故选：C （2）是的角平分线，，，． 又，与互为母子三角形．            （3）如图，当分别在线段上时，与互为母子三角形，，，是中线，，又，．，，． 如图，当分别在射线上时，与互为母子三角形，，，是中线，，又，．，，．综上所述，或3 【变式4-2】（2022·辽宁鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如图，取CE的中点M，连接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【变式4-3】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，中，点分别是的中点，与点．（1）求证：；（2）求的大小；（3）若，求的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2．【详解】（1），，在和中，，，，；，是等腰直角三角形，，由（1）可知，，，点E是AC的中点，，，在和中，，，，又，，；（3）设，是等腰直角三角形，，点分别是的中点，，在中，，，由（1）知，，，即，解得，在中，，，在和中，，，，即，解得，又，，解得，，则的面积为．【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【题型5 三角形内接矩形型】【例5】（2022秋•南岗区校级月考）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的边长；（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．【答案】（1）；（2）．【详解】解：过点作AM⊥BC于点M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，在Rt△ABM中，AM==4，∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN=DE，设MN=DE=x，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DG：BC=AN：AM，∴，解得：DG=﹣x+6，∵四边形DEFG为正方形，∴DE=DG，即x=﹣x+6，解得x=，∴正方形DEFG的边长为；（2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，∴DE=．故答案为．【变式5-1】（2022秋•道里区期末）如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．【答案】【详解】解： ∵四边形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴ ，即解得：EH=∴四边形EFGH的边长为【变式5-2】（2022秋•八步区期中）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得设正方形的边长为x米，如图乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．【变式5-3】（2022秋•渭滨区期末）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证MN2=DM·EN．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴，同理在△ACQ和△APE中，，∴；（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得，∴，∴，∵GF2=CF•BG∴MN2=DM•EN．【基本模型】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【题型6 双垂直型】【例6】（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq \f(EF,CF)＝eq \f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq \r(15).故选A.【变式6-1】（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．故选：A．【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证 △ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【变式6-3】（2022秋•汝州市校级月考）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【详解】证明：（1），，，，在和中，，；（2）点为的中点，，由（1）已证：，，设，则，，，（等腰三角形的三线合一），，又，，即；（3）由（2）已证：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，设，则，，解得或（不符题意，舍去），，则在中，．【基本模型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．【题型7 手拉手型】【例7】（2022春•江阴市期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（　　）A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3【解答】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB=AEAD，∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵ACAB=AEAD，∴△ACE∽△ABD，∴BDCE=ABAC，∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，故选：A．【变式7-1】（2022秋•岳阳县期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC∴△ABC为等边三角形，∴，由旋转的性质可得：，∴△PBD为等边三角形，∴，∴在和中，∴，∴（2）过点作，如下图：∵当α＝120°时，，∴，，∴由勾股定理得∴，∴由旋转的性质可得：，∴，又∵，∴又∵，∴，∴，∴∴（3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度当在线段上时，如下图：由题意可得：，∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋转的性质可得：设，则由勾股定理可得：即，解得，则当在线段延长线上，如下图：则，由（2）得，，设，则由勾股定理可得：即，解得，则综上所述：点D到CP的距离为或【变式7-2】（2022秋•炎陵县期末）如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．【答案】（1）见解析；（2）60°，12；（3）【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ADC与△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADC≌△ABE；∴∠ADP=∠ABP，设AB，PD交于O，∵∠AOD=∠POB，∴∠DPB=∠DAB=60°；如图①，在PE上取点F，使∠PCF=60°，同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，∴AQ=2x，AG=x，AB=x，∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，∴QR：BE=AQ：AB，∴．【变式7-3】（2022春•栖霞市期末）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为．【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P，∴∠PQB=90°．∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，∴∠DPQ=∠DBC=45°，∴△QPN∽△QBM，∴，∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP=DC，∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；（2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H，∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°，∵∠COB=90°，∴QH∥OC，∵Q是OB的中点，∴BH=CH=BC，∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，∴，∴HM=ND，∵BM-HM=HB，∴BM−DN=BC．故答案为：BM−DN=BC；（3）MB：MC=3：1，设CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．∵HM=ND，∴ND=3x，∴CN=7x，∵四边形ABCD是正方形，∴ED∥BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，∴，∴，∴DE=x，∴，∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，设EF=a，则FM=7a，∴，∴．∴EF的长为．【基本模型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　补充：其他常见的一线三等角图形 【题型8 一线三角型】【例8】（2022秋•灌云县期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．【变式8-1】（2022•雨城区校级开学）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD ；∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD ，设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3．【变式8-2】（2022秋•渝中区期末）如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（　　）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3，在Rt△ABE中，AE，∵E是BC的中点，∴AD＝6，由折叠可知，PD＝PD'，设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，当△APD'是直角三角形时，①当∠AD'P＝90°时，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②当∠APD'＝90°时，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或；故选：B．【变式8-3】（2022秋•椒江区校级月考）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【详解】（1）如图，由折叠得到，，．又四边形ABCD是正方形，，，，又 正方形 ，．（2）如图，连接，由（1）得，，由折叠得，，．四边形是正方形，，，又，，．，，，．，，（舍去）．（3）如图，连结HE，由已知可设，，可令，①当点H在D点左边时，如图，同（2）可得，，，由折叠得，，又，，，又，，，，，，．，，，（舍去）．②当点在点右边时，如图，同理得，，同理可得，可得，，，，（舍去）．．