新高考数学一轮复习精品教案第09讲 导数的运算及切线方程（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精品教案第09讲 导数的运算及切线方程（含解析），共34页。教案主要包含了知识点总结，典型例题，技能提升训练等内容，欢迎下载使用。
一、基本概念
1、导数的概念
设函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 附近有定义，如果 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的比 SKIPIF 1 < 0 （也叫函数的平均变化率）有极限，即 SKIPIF 1 < 0 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数 SKIPIF 1 < 0 在处的导数，记作 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
2、导数的几何意义
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的导数 SKIPIF 1 < 0 ，表示曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为切线的倾斜角，如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
3、导数的物理意义:设 SKIPIF 1 < 0 时刻一车从某点出发，在 SKIPIF 1 < 0 时刻车走了一定的距离 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时刻，车走了 SKIPIF 1 < 0 这一段时间里车的平均速度为 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 很接近时，该平均速度近似于 SKIPIF 1 < 0 时刻的瞬时速度.若令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则可以认为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 时刻的瞬时速度.
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正整数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为有理数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
注： SKIPIF 1 < 0
三、导数的运算法则（和、差、积、商）
设 SKIPIF 1 < 0 均可导，则
（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 （4） SKIPIF 1 < 0
注： SKIPIF 1 < 0
四、复合函数的导数
复合函数 SKIPIF 1 < 0 的导数与函数 SKIPIF 1 < 0 的导数之间具有关系 SKIPIF 1 < 0 ，该关系用语言表述就是“ SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 的导数等于 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 的导数与 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 的导数的乘积”，也就是先把 SKIPIF 1 < 0 当作一个整体，把 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 求导，再把 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 求导，这两者的乘积就是复合函数 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 的导数，即 SKIPIF 1 < 0 .
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C． SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
例2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率是（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则对应导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即所求的切线斜率为2.
故选：B
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．10D．20
【答案】D
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为___________.
【答案】4x﹣2y﹣3=0
【详解】
解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当x=1时等号成立，
∴x=1满足题意，此时 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即4x﹣2y﹣3=0.
故答案为：4x﹣2y﹣3=0.
例5．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，则切点坐标为____．【答案】（ SKIPIF 1 < 0 ，e）
【详解】
设切点的坐标为（m，n），
y＝e2x的导数为y′＝2e2x，
由切线方程y＝kx，
可得2e2m＝k，n＝km＝e2m，k＞0，
解得m SKIPIF 1 < 0 ，n＝e，
即切点的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ，e）．
故答案为：（ SKIPIF 1 < 0 ，e）．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是_______________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别代入，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
例7．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（5）因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲线S在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）求过点 SKIPIF 1 < 0 并与曲线S相切的直线方程.
【详解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时： SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离 SKIPIF 1 < 0 （米）与时间 SKIPIF 1 < 0 （秒）的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，则该物体在运动前2秒的平均速度为（ ）A．18米/秒B．13米/秒C．9米/秒D． SKIPIF 1 < 0 米/秒
【答案】C
【分析】
利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前 SKIPIF 1 < 0 秒的平均速度为 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求得结果.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴该物体在运动前2秒的平均速度为 SKIPIF 1 < 0 （米/秒）．
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
利用导数几何意义和过两点的直线的斜率公式，结合图象即得结果.
【详解】
如图所示， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 （即点A）处切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 （即点B）处切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是割线 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
由图象知, SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选:B．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 SKIPIF 1 < 0 可导，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据导函数的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．36B．12C．4D．2
【答案】C
【分析】
根据函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的导数的定义将 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】
解：根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下所示， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，及其与0的大小关系.
【详解】
由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
6．（2022·浙江·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据导数的定义可直接化简求得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 .故选： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
求导，计算 SKIPIF 1 < 0 ，即得解
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，所求切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[ SKIPIF 1 < 0 )，则a=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】C
【分析】
先求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，列出方程，即可求解．
【详解】
由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线的倾斜角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
可得切线的斜率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】C
【分析】
求出函数 SKIPIF 1 < 0 的导数，利用导数的几何意义结合切线经过的两点列式求解即得.
【详解】
依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
利用 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 然后利用导数的几何意义求 SKIPIF 1 < 0 切线斜率即可.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．又曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为4．
故选：A.
11．（2022·全国·高三专题练习）曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D【分析】
可求得切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得解
【详解】
切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴切点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
12．（2022·全国·高三专题练习）若点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
求出平行于直线 SKIPIF 1 < 0 且与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切直线的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
设平行于直线 SKIPIF 1 < 0 且与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切的直线切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又由点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离公式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习（文））曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
求出切线方程，利用导数的几何意义求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用切线方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
设曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
将切点坐标代入切线方程可求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；将切点坐标代入 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；由此可求得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 为切点， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条切线，则实数k的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A
【分析】
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据切线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出切线的斜率；
【详解】
解：设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则曲线在切点处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得，切线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
代入切线方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
16．（2022·全国·高三专题练习）动点P，Q分别在函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据题意，当过P点的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行时，切线与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离即为所求，再根据导数的几何意义求解即可.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设动点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在P点处切线与 SKIPIF 1 < 0 平行，
过点P作直线垂线，垂足为点Q时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
17．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条切线，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义可求得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 点处的切线方程，设其与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，由切线斜率可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用两点连线斜率公式构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此切线方程的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又切点在切线上，可得切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将切点代入 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
19．（2022·全国·高三专题练习）设曲线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 在它们的公共点 SKIPIF 1 < 0 处有相同的切线，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
利用导数的几何意义可知 SKIPIF 1 < 0 ，可求得 SKIPIF 1 < 0 ；根据 SKIPIF 1 < 0 为两曲线公共点可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入可得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 公共点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在区间 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（ ）
A．2B．5C．1D．0
【答案】C
【分析】
设两曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 公共点为 SKIPIF 1 < 0 ，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】根据题意，设两曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 公共点为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
又由 SKIPIF 1 < 0 ，即公共点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
21．（2022·全国·高三专题练习（理））设 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点，且曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的倾斜角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 横坐标的取值范围为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
因为,又因为曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的倾斜角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线的斜率，所以,解得，故选A.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
求出导数后，把 x=e代入，即可求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
23．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
分别求解 SKIPIF 1 < 0 ，归纳可得 SKIPIF 1 < 0 ，即得解
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
24．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则常数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】B
【分析】
求出函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，再根据给定等式列式即可求得常数 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
依题意得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以常数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）随时间 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在 SKIPIF 1 < 0 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在 SKIPIF 1 < 0 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C．在 SKIPIF 1 < 0 这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D．在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
【答案】ACD
【分析】
根据已知血管中的药物浓度 SKIPIF 1 < 0 随时间 SKIPIF 1 < 0 变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.
【详解】
A：在 SKIPIF 1 < 0 时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；
B：两条曲线在 SKIPIF 1 < 0 时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；
C：根据平均变化率公式，可知在 SKIPIF 1 < 0 这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：在 SKIPIF 1 < 0 时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是 SKIPIF 1 < 0 ，显然不相等，正确．
故选：ACD．
26．（2022·全国·高三专题练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图像的一条切线，则函数 SKIPIF 1 < 0 可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】求得已知直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，对选项中的函数分别求导，可令导数为 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可判断结论
【详解】
解：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 有解，故C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：BCD
【点睛】
此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题
27．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数求导运算错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】
直接利用常见函数的求导公式和导数的四则运算即可计算.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选ACD．
三、填空题
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的平均变化率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的平均变化率为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据函数平均变化率公式进行化简并计算得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中得到函数 SKIPIF 1 < 0 表达式，再根据函数平均变化率公式求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的平均变化率.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的平均变化率为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的平均变化率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的瞬时变化率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】9
【分析】
利用导数的定义求导函数，结合已知求参数 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由题知， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：9
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求得函数导数，由基本不等关系求得导数的最小值，即函数 SKIPIF 1 < 0 所有切线中斜率最小值，进而求得切线方程.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
则函数 SKIPIF 1 < 0 所有切线中斜率最小为3，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
31．（2022·全国·高三专题练习）曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则该切线的斜率为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入 SKIPIF 1 < 0 ，求切点坐标，切线的斜率．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，设切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，切点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
32．（2022·浙江·高三专题练习）曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求出导数，可得导函数的值域即为倾斜角的正切值取值范围，即可得出倾斜角范围.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点P处切线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
33．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．对 SKIPIF 1 < 0 求导，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
34．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为__________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
首先判断 SKIPIF 1 < 0 不在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，设出切点坐标，利用导数求得斜率，由此列方程求得切点的横坐标，进而求得切线的斜率，由此求得切线方程.
【详解】
点P(－1，0)不在f(x)＝x2上，设切点坐标为(x0， SKIPIF 1 < 0 )，由f(x)＝x2可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 .切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
∵切线过点P(－1，0)，∴k＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2x0，解得x0＝0或x0＝－2，
∴k＝0或－4，故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
35．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，并且与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线l的方程为______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设出切点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据切线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出结果．【详解】
∵点 SKIPIF 1 < 0 不在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵切线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点 SKIPIF 1 < 0 及斜率，其求法为：设 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则以 SKIPIF 1 < 0 的切点的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ．若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的切线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行．则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】0
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 图象上， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
37．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象均相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值为________.【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像相切的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
求得 SKIPIF 1 < 0 的导数，可得切线的斜率，进而得到切点和切线方程，联立 SKIPIF 1 < 0 ，利用判别式为0即可解出a.
【详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像相切的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
38．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点P处的切线方程是： SKIPIF 1 < 0 ，若点P的横坐标为5，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用切线的斜率求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用切点求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由于切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于切点在切线上， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则a的值为___________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据点Ｐ在函数的图象上，求得ｂ的值，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数的几何意义和直线垂直的条件求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，因为切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据导数的几何意义可知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在切线上，可解得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
41．（2022·全国·高三专题练习（理））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正 SKIPIF 1 < 0 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 SKIPIF 1 < 0 的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________，其在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用复合函数的求导法则可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数的几何意义可求得曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
42．（2022·全国·高三专题练习）设f(x)＝aex+blnx，且f′（1）＝e，f′（﹣1）＝ SKIPIF 1 < 0 ，则a+b＝__．
【答案】1
【分析】
可求出导函数 SKIPIF 1 < 0 ,然后根据条件可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可．
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ae+b＝e①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
联合①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴a+b＝1．
故答案为：1．
四、解答题
43．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：
（1）y=x（x2 SKIPIF 1 < 0 ）；
（2）y=（ SKIPIF 1 < 0 1）（ SKIPIF 1 < 0 1）；
（3）y=xtanx；
（4）y=x﹣sin SKIPIF 1 < 0 cs SKIPIF 1 < 0 ；（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.
【答案】（1）y′=3x2 SKIPIF 1 < 0 ；（2）y′ SKIPIF 1 < 0 ；（3）y′ SKIPIF 1 < 0 ；
（4）y′=1 SKIPIF 1 < 0 csx；（5）y′ SKIPIF 1 < 0 axlna.
【分析】
根据导数的公式，分别进行求解即可.
【详解】
根据导数的公式，分别进行求解即可.
解：（1）y=x（x2 SKIPIF 1 < 0 ）=x3+1 SKIPIF 1 < 0 ；则函数的导数y′=3x2 SKIPIF 1 < 0 .
（2）y=（ SKIPIF 1 < 0 1）（ SKIPIF 1 < 0 1）=1 SKIPIF 1 < 0 ，则y′ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）y=xtanx SKIPIF 1 < 0 ，
则y′ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（4）y=x﹣sin SKIPIF 1 < 0 sinx；
则y′=1 SKIPIF 1 < 0 csx.
（5）y′ SKIPIF 1 < 0 axlna.
故答案为：（1）y′=3x2 SKIPIF 1 < 0 ；（2）y′ SKIPIF 1 < 0 ；（3）y′ SKIPIF 1 < 0 ；
（4）y′=1 SKIPIF 1 < 0 csx；（5）y′ SKIPIF 1 < 0 axlna.
44．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简（2）中的函数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.
【详解】
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
45．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
根据初等函数的导数公式及导数运算法则逐个求导.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查导数的计算，涉及基本初等函数的导数公式及导数运算法则，属于基础题.
46．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；
（2）求出切点坐标与切线斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）所求切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
47．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．求实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
利用导数的几何意义进行求解即可.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由题知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
48．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 存在垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的切线，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
曲线 SKIPIF 1 < 0 存在垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的切线等价于 SKIPIF 1 < 0 有根，用根的判别式求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵曲线 SKIPIF 1 < 0 存在垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的切线
∴ SKIPIF 1 < 0 有根，即 SKIPIF 1 < 0 有解，只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
49．（2021·福建晋江·高三阶段练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切且以 SKIPIF 1 < 0 为切点的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切且切点异于点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）利用导数的定义求 SKIPIF 1 < 0 的导函数，进而求出 SKIPIF 1 < 0 点处的斜率，写出切线方程.
（2）设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）所得导函数求斜率，写出含参的切线方程，由点在切线上求参数，即可写出切线方程.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切且以 SKIPIF 1 < 0 为切点的直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
∴所求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则由（1）知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ．
∴所求直线的斜率的 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．