新高考数学一轮复习精品教案第22讲 解三角形（含解析）

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第22讲 解三角形
【知识点总结】
1.角的关系


2.正弦定理
为的外接圆的直径）.
　正弦定理的应用：
① 已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
② 已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4.三角形面积公式

【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为这个三角形有两解，故满足，
即，解得.
故选：B
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【详解】
因为，
由正弦定理可得：，
所以，
所以，
所以或，
即(舍去)或，
故为直角三角形，
故选：C
例3．（2022·全国·模拟预测）已知的内角所对的边分别为.且， 在①的周长为6；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.
（1）求；
（2）求的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.
【解析】
（1）由正弦定理及
得，即，
由余弦定理得，
由于，所以
（2）选①:由的周长为，得，
由（1）得
所以，
所以的面积为.
选②:由正弦定理及得，
由余弦定理得，，即，解得
所以，
所以的面积为.
选③:由正弦定理及，得，
因为，所以，
所以，即，整理可得，
因为，则，所以为等边三角形，
所以的面积为.
例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【详解】
（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以当时，即时，．
例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在中，，点D在BC边上，且，，

（1）求AC的长；
（2）求的值.
【详解】
（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由题意可得，

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
【详解】
解：（Ⅰ）



，
由，有，所以
函数的值域为．
（Ⅱ）由，有，
为锐角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
当，即为正三角形时，的面积有最大值．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
由已知条件，结合正弦定理得，有或，即可知正确选项.
【详解】
由知：，即，
∴，即或，
∴或，
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据面积公式及余弦定理求出，以及根据正弦定理变形，进一步求出答案.
【详解】

∴
∴，
∴
∴.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的内角所对的边分别为满足且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.
【详解】
由题，,
又，，，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，则等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【详解】
由正弦定理知，
∴，
∵，，∴或.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别在，及应用正弦定理求解.
【详解】
在中，则
在中，因为，
所以
因为，所以，故.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b=，B=60°，则A=（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【答案】A
【分析】
根据正弦定理的式子，代入题中数据算出，结合△ABC中A