新高考数学二轮复习核心考点培优讲与练重难点13六种双曲线解题方法(含解析）

这是一份新高考数学二轮复习核心考点培优讲与练重难点13六种双曲线解题方法(含解析），共55页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）

题型一：待定系数法求双曲线方程
一、单选题
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和 的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，
所以，
所以，得，
所以双曲线方程为 ，
故选：C
2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（       ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】用坐标法求解，求出等轴双曲线的标准方程，得到顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】不妨设等轴双曲线的标准方程为，则，解得：.
所以等轴双曲线的标准方程为.
此时，顶点坐标，其中一条渐近线方程为：.
所以顶点到一条渐近线的距离为.
故选：A
3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a、b、c即可求其标准方程．
【详解】双曲线与椭圆焦点相同，则焦点坐标为，
椭圆的离心率为，∴双曲线的离心率为，
设双曲线实半轴长为，虚半轴长为，焦距为2c，则c=2，
，∴，
∴所求双曲线方程为：．
故选：C．
4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知，是双曲线的两个焦点，R是C上的一点，且，，C经过点，则C的实轴长为（       ）
A． B． C．6 D．3
【答案】B
【分析】由双曲线定义及分别求出，再由余弦定理得，进而结合C经过点解出即可求解.
【详解】

由双曲线定义可得，又可得，由余弦定理可得，即，化简得，又，可得；又C经过点，故，即，
解得，故C的实轴长为.
故选：B.
二、多选题
5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，两条渐近线的夹角正切值为，直线：与双曲线的右支交于，两点，设的内心为，则（       ）
A．双曲线的标准方程为 B．满足的直线有2条
C． D．与的面积的比值的取值范围是
【答案】ACD
【分析】A:设其中一条渐近线的倾斜角为，，由题干条件可知，从而解出，即，又有焦点坐标，联立可解出，从而求出双曲线方程；B：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B；C：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到，由的范围可求出比值的范围.
【详解】A选项，设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，因为，所以，从而，解得或（舍去），所以，又，所以，，所以双曲线的标准方程为，故A正确；B选项，直线的方程，即，则直线恒过右焦点，又过焦点的弦最短为，所以满足的直线只有1条，B错误；
C选项，由双曲线的定义可知，，即，因此是的内切圆在边上的切点，因此，C正确；
D选项，由题知
，因为，所以，D正确.
【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为；异支的弦中最短的为实轴，其长度为.（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（       ）
A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】由题意知双曲线的焦点在轴上，设双曲线，根据焦点到渐近线的距离为，可求得，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.
【详解】解：由题意知双曲线的焦点在轴上，设双曲线，
双曲线的渐近线方程为，取，
即焦点到渐近线的距离为．
所以，所以，所以双曲线的方程为，故选项A正确；
双曲线的渐近线方程为故选项B错误；
离心率，故选项C正确；
双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故选项D正确.
故选：ACD．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：（）的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于（），两点，则下列叙述正确的是（       ）
A．双曲线的离心率为2
B．双曲线的实轴长为
C．点的横坐标的取值范围为
D．点的横坐标的取值范围为
【答案】AD
【分析】通过计算求出双曲线的离心率和实轴长，即可判断选项A和B的正误；联立直线和椭圆的方程求出，即得点的横坐标的取值范围，即可判断选项C和D的正误.
【详解】双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，
则设双曲线的方程为（），
由双曲线且过点，得，得，
∴双曲线的方程为，即，
∴双曲线的离心率，实轴的长为1，
故选项A正确，选项B错误；
易知椭圆的两焦点为，，
将（）代入（）得，
∴，∴直线的方程为，
联立整理得，，根据根与系数的关系得，
则．
由得，则，
∴，故选项C错误，选项D正确，
故选：AD．
三、填空题
8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方程是___________.
【答案】
【分析】由题设双曲线方程为，进而待定系数求解即可.
【详解】解：因为双曲线的渐近线为，
故设其方程为，
因为点在双曲线上，
所以，，即所求方程为.
故答案为：
四、解答题
9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ，点在双曲线E上.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若动直线l与双曲线E相切，过点作直线l的垂线，垂足为H，试判断是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)是定值，定值为
【分析】（1）利用已知条件求出a，b的值即可求解；
（2）由题意得出直线l的斜率不为0，当切线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立直线与双曲线E的方程得到m，k的关系式，联立直线PH与l表示出点H坐标，再利用两点间的距离公式即可求解；当切线l的斜率不存在时，结合双曲线的几何性质即可求解.
(1)设双曲线E的渐近线方程为，因为一条渐近线的倾斜角为，所以;
又双曲线E经过点，所以，
而，故解得，，
所以双曲线E的标准方程为.
(2)由题意可得直线l的斜率不为0，当切线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，联立直线l和双曲线E的方程得 ，
消去y并整理得，
因为直线l与双曲线E相切，即方程有两个相等的实数根，
所以且，
化简并整理得，
又因为直线PH与l垂直，，所以直线PH的方程为，
联立 ，解得 ，
即点，
所以
，
所以；
当切线l的斜率不存在时，直线，过点作直线l的垂线为，
此时或，则，
综上所述，恒为定值.
【点睛】本题以双曲线为背景，考查双曲线的标准方程､直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理､数学运算核心素养.，解得的关键是明确解题的思路，计算要准确.
10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线：（a＞0，b＞0） 经过点，且渐近线方程为．
(1)求，的值；
(2)点，，是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点．求证：点与点的纵坐标互为倒数；
(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在定圆与直线相切
【分析】（1）运用代入法,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可;（2）设出直线的方程,与双曲线方程联立,根据一元二次方程根与系数的关系,结合圆的性质进行求解即可（3）易求原点到直线的距离为定值，故存在定圆与直线相切
(1),解得,
则
(2)证明:易知直线一定不为水平直线,
设为,设,,
联立,整理得,
则,
由于外接圆过原点且关于轴对称,设为,
则



又，所以
(3)因为, 所以
则原点到直线的距离,
故存在定圆与直线相切
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线：（）的右焦点，点分别在的两条渐近线上，轴，∥（为坐标原点）.


(1)求双曲线的方程；
(2)过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值.
【答案】(1)(2)证明见解析，定值为
【分析】（1）表达出直线OB方程，直线BF的方程，联立后得到B点坐标，得到直线AB的斜率，根据垂直关系得到方程，求出，从而求出双曲线方程；
（2）求出M点坐标，N点坐标，表达出，结合得到，从而得到恒为定值，并求此定值.
(1)设，
因为，
所以，直线OB方程为，
直线BF的方程为，解得：，
又直线OA的方程为，则
又因为ABOB，
所以，解得：，
故双曲线C的方程为
(2)由（1）知，则直线的方程为，即，
因为直线AF的方程为，
所以直线与AF的交点
直线与直线的交点为，则
因为是C上一点，则，
代入上式得，
所求定值为.
12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.

(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b,即得答案;
（2）根据O，A，N，M四点共圆结合几何性质可推出，设，，，从而可以用点的坐标表示出t,再设直线，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t的表达式中化简，可得答案.
(1)因为实轴长为4，即，，
又，所以，，
故C的方程为.
(2)由O，A，N，M四点共圆可知，，
又，即，
故，
即，所以,
设，，，
由题意可知，则直线，直线，
因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，
故M坐标为，所以，
又，由，则，
整理可得，
当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线，代入双曲线方程：中，
可得，所以，，
又
，
所以,
故，即，所以点P坐标为.
【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.
13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于､两点，若双曲线过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的左顶点作直线､，分别与直线交于､两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；
（2）假设存在实数，使得以为直径的圆恒过，则，结合韦达定理可得的值.
(1)由已知设双曲线方程为，又，，成等差数列，且双曲线过点，
则，解得，，，
故所求方程为，
(2)由（1）得，设､方程分别为､，
则，，
因为以为直径的圆经过，所以即，
即，
设方程为，与联立得，
设，，则，，
所以，
即，
所以，
，解得或.
题型二：相同渐近线双曲线方程求法
一、单选题
1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据共渐近线的双曲线的设法，结合题意分析求解．
【详解】渐近线方程为的双曲线为，即，故，故，
故选：C．
2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的离心率为（       ）．
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【解析】双曲线与双曲线有公共的渐近线，设双曲线C的方程，其中λ≠0，又因为点在双曲线上，再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程，然后求解焦距即可．
【详解】双曲线与双曲线有公共的渐近线，
设双曲线C的方程，其中λ≠0，
∵点在双曲线上，
∴，解之得，
因此双曲线方程为,

故离心率为.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解出a，b，c即可求得离心率，属于中等题.
3．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.
【详解】∵双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，
∴可设双曲线的方程为，一个焦点为，
∴，∴，故的标准方程为.
故选：B
【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.
二、多选题
4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（       ）
A．的方程为 B．的离心率为2
C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点
【答案】BC
【解析】设所求双曲线方程为，将点代入可判断A；由A求出，即可求出离心率，判断B；求出双曲线的右焦点的坐标为，代入曲线方程即可判断C；联立方程组可判断D.
【详解】对于选项A，由可得，
从而可设所求双曲线方程为.
又由双曲线过点，代入得，即，故选项A错误；
对于选项B，由双曲线的方程可知，，，
所以的离心率，故选项B正确；
对于选项C，双曲线的右焦点的坐标为，
满足，故选项C正确；
对于选项D，联立，解得，，
所以直线与双曲线只有一个交点，故选项D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质､直线与双曲线的位置关系，考查运算求解､推理论证能力，考查直观想象､数学运算､逻辑推理核心素养，属于基础题.
5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线过点，则下列结论正确的是（       ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线与双曲线有相同的渐近线
C．若到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为
D．若直线与渐近线围成的三角形面积为则焦距为
【答案】BCD
【解析】根据渐近线所过的点可求的关系，从而可求渐近线的方程和离心率，故可判断A、B的正误，利用已知的条件和的关系可求基本量，从而可判断C、D的正误.
【详解】渐近线的方程为，因为一条渐近线过点，
故即，故离心率为，故A错误.
又渐近线的方程为，而双曲线的渐近线的方程为，
故B正确.
若到渐近线的距离为2，则，故，
所以双曲线的方程为，故C正确.
直线与渐近线的两个交点的坐标分别为：及，
故即，
而，故，，所以，
所以，故焦距为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：（1）求双曲线的渐近线的方程，一般是将等号右边的常数变为零；
（2）双曲线的焦点到渐近线的距离为.
三、填空题
6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在轴上的双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为______．
【答案】
【分析】由共渐近线的双曲线系方程可设，根据焦点到渐近线距离为可构造方程求得，由此可得双曲线方程.
【详解】由题意可设双曲线的方程为：，即；
则，，
双曲线焦点到渐近线距离为，，解得：，
双曲线的方程为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则的实轴长为_________
【答案】
【分析】根据给定条件求出a，b的关系，再由双曲线过的点即可计算作答.
【详解】双曲线的渐近线为，而双曲线的渐近线为，
依题意，，又双曲线经过点，则，解得：，
所以双曲线的实轴长为.
故答案为：
四、解答题
8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根据的渐近线方程求出，然后再根据焦点坐标求出的值，从而求双曲线的标准方程；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线斜率，根据韦达定理求的值，从而求出的值.
【详解】（1）的渐近线为，，
，，
所以双曲线的标准方程.
（2）由已知，，
过点与右支交于两点，则斜率不为零，
设，由，消元得，
因为与双曲线右支交于两点，所以，解得
，
，
，
，
，，
，
存在使得.
题型三：直接法解决离心率问题
一、单选题
1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程，则该双曲线的离心率为 （       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线方程可求得，由此可求得离心率.
【详解】由可得： ，
故离心率为 ，
故选：D
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和．且，，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，由双曲线的定义可得，，在直角三角形中，在中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
【详解】解：设，，

由双曲线的定义可得，，
由，可得，
在直角三角形中，，①
，②
在中，可得③
由①②可得，，
代入③可得，
即为，
则，
故选：D．
3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C：，为坐标原点，为双曲线的左焦点，若的右支上存在一点，使得外接圆的半径为，且四边形为菱形，则双曲线的离心率是（          ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设双曲线的右焦点为，连接，易证为直角三角形，解出与
代离心率的计算公式即可求解
【详解】

如图所示，设双曲线的右焦点为，连接
因为外接圆的半径为，则
又四边形为菱形，所以
则为正三角形，所以，
因为，所以，又
所以为正三角形，所以，所以
在中，，，
所以
所以
故选：B
4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，
以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.
【详解】设 ，则 ，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，
连接 ，则有 ，

由于 在以AD为直径的圆周上， ，
∵ABCD为平行四边形， ， ，
在直角三角形 中，， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，
故选：D.
5．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线，直线与C交于A、B两点（A在B的上方），，点E在y轴上，且轴．若的内心到y轴的距离为，则C的离心率为（       ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到关系后即可求出离心率.
【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，
则．因为，所以A是线段的中点，又轴，所以，，
所以的内心G在线段上．因为G到y轴的距离为，
所以，所以，因此，

即．故．
故选：B
二、多选题
6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C：，，为C的左、右焦点，则（       ）
A．双曲线和C的离心率相等
B．若P为C上一点，且，则的周长为
C．若直线与C没有公共点，则或
D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得
【答案】BC
【分析】求得双曲线和C的离心率判断选项A；求得的周长判断选项B；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C；求解满足题意条件的直线MN判断选项D.
【详解】选项A：双曲线C：的离心率
双曲线的离心率
则双曲线和C的离心率不一定相等.判断错误；
选项B：P为C：上一点，且
则有，整理得
则的周长为.判断正确；
选项C：由，可得
由题意可知，方程无解
当时，方程有解；
当时，则有，解之得或
故若直线与C没有公共点，则或.判断正确；
选项D：根据题意，过双曲线C的左焦点的直线方程可设为
令，由，可得
由，可得
则有，则有，
整理得，显然不成立.
当过双曲线C的左焦点的直线为水平直线时，方程为
则，，即.
综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得.判断错误.
故选：BC
三、填空题
7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C：（），以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是________________．
【答案】
【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得的范围，进而可得离心率范围.
【详解】双曲线C的渐近线方程为，右焦点，
∵渐近线与圆相交，
∴，即，
∴，可得，
∴双曲线C的离心率为：，且．
∴．
故答案为：
8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为___________.

【答案】
【分析】连接，，设，则，根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，，再根据锐角三角函数得到、，从而得到方程求出，再在利用勾股定理计算可得；
【详解】解：如图，连接，，则，，和，，都三点共线，

设，则.
由，
所以
所以，
又，所以，即，
，即，
又，
因此，即，
在中，即.
故.
故答案为：
9．（2022·浙江·三模）已知双曲线的两个焦点分别为，点是双曲线第一象限上一点，在点P处作双曲线C的切线l，若点到切线l的距离之积为3，则双曲线C的离心率为_______．
【答案】
【分析】设，根据直线与双曲线的位置关系可求得在点P处的切线方程，再根据点到直线的距离公式分别求出点到切线l的距离，列出方程，求出，即可求出离心率．
【详解】设点，有．
设在点P处的切线方程为，联立双曲线方程，由可解得，所以切线方程为，
到切线l距离，
到切线l距离，
所以，即
，
所以，故．
故答案为：．
四、解答题
10．（2022·河北张家口·三模）已知，点，，动点P满足，点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C相切，与曲线交于M､N两点，且（O为坐标原点），求曲线E的离心率.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；
（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.
(1)设，由得，整理得即为曲线C；
(2)与曲线C相切，，即.
设，，
将代入曲线E整理得：，
，，
，.
，，即.
，
，整理得，
，即，，.
故曲线E的离心率为.
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围
一、单选题
1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距，根据椭圆及双曲线的定义可以用表示出,在中根据余弦定理可得到的值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成.
故选：C.
2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（       ）
A． B．2
C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义得到，，利用余弦定理表达出，进而表达出正弦，求出与面积相加，得到的面积，得到方程，解出离心率的平方.
【详解】如图，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
代入中，可得：，
因为，
所以在三角形中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
则，
取的中点M，连接BM，
因为，所以，，
所以，
，
又因为，
所以，
化简得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）

故选：D
3．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由切线长定理及双曲线的定义求得点横坐标为，再由直线的方程求出，再借助求得，进而求得，在，由双曲线的定义及余弦定理即可求出.
【详解】

如图，设内切圆Q与的三边分别切于三点，过作轴于点，易得，
又由双曲线定义得，即，又，
故，即点横坐标为，又，则，故直线的方程为，代入，
解得，即，又，则，故，
又，则，，在中，由余弦定理得，
即，化简得，即，解得或，又离心率大于1，故离心率为.
故选：A.
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，是的一条渐近线，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，则（       ）
A．过点且与圆相切的直线与双曲线没有公共点
B．的离心率的最大值是
C．若，则的离心率的取值范围是
D．若，则的离心率为
【答案】ACD
【分析】选项A.   双曲线的渐近线与圆交于，两点，所以过点且与圆相切的直线与没有公共点从而可判断；选项B. 过点作,则，故可得，从而可得离心率的范围，从而可判断；选项C. 由条件可得，即，从而，从而可得离心率的范围，从而可判断；选项D. 由条件可得为线段的中点，由勾股定理得出的关系，从而可得离心率的范围，从而可判断.
【详解】对于A，因为双曲线的渐近线与圆交于，两点，所以过点且与圆相切的直线与没有公共点（如图），故选项A正确．
对于B，过点作，垂足为，易知，
因为圆与直线相交，所以，又，
所以，即，所以的离心率的取值范围是，故选项B错误．
对于C，若，则，故，故，
所以，即，，，
得，又由B知，所以，故选项C正确．
对于D，因为，所以为线段的中点，
设，则，，
在和中，由勾股定理得，
，消去得，，
即，所以，故选项D正确．
故选：ACD

三、双空题
5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.
【答案】          2
【分析】根据题意，利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义可得双曲线焦点三角形内切圆圆心的横坐标为；利用三角形相似及两个内切圆半径的比值，构造的齐次方程，即可求解离心率.
【详解】

如图，在中，圆为内切圆，切点分别为，
故，
又是双曲线上的一点，故，即，
又，故，则.
故的内切圆的圆心横坐标为，
同理可得，的内切圆的圆心横坐标为，即；
又，则，
即，解得.
故答案为：；2.
四、填空题
6．（2022·河北·模拟预测）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率是__________．
【答案】
【分析】在中，由正弦定理可得，再根据双曲线的定义可求得，设的中点为，根据题意可得,再根据双曲线的定义可求得，在中，利用余弦定理求得的关系，即可得出答案.
【详解】解：在中，
由，得，
因为，所以，
又，
设的中点为，则，
所以，所以，
所以,
设，
则，又，
则，解得，
所以，
所以是正三角形，从而,
在中，由，
得，
所以．
故答案为：.

7．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为､，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】利用双曲线的定义，结合，且，由是矩形，且 ，利用勾股定理求解.
【详解】解：如图所示：

由双曲线的定义得：，
又，且，
所以是矩形，且 ，
又因为，
即，
解得，
故答案为：
8．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，F为E的右焦点，过点F作直线与E的左右两支分别交于A，B两点，过点F作直线与E的右支交于C，D两点，若点B恰为的重心，且为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为___________.
【答案】
【分析】设双曲线方程为，由重心可知为的一条中线，即可判断点为的中点，则为，分别讨论的两腰，并检验点为重心，即可求解.
【详解】由题，设双曲线方程为，
因为点B恰为的重心，则为的一条中线，
所以点为的中点，则为，
因为为等腰直角三角形，若，则点为左支的顶点，且，
所以设，则，即，
所以，因为，解得，即，
此时，，，所以重心为，
即为，是点，符合题意；
若，则设点为点关于轴的对称点，所以可设，
则，即，所以，解得，即，
此时，，则重心为，即，
又，即重心不在双曲线上，不符合条件，
综上，，
故答案为：2
【点睛】易错点点睛：（1）双曲线的离心率大于1；
（2）对于等腰直角三角形，需讨论哪两条边为腰。
五、解答题
9．（2022·全国·高三专题练习）设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）2；（2）以为直径的圆过定点，.
【分析】（1）由已知得，由此可求得双曲线的离心率.
（2）由（1）得双曲线，设直线，，，与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，得到以为直径的圆的方程，可得定点.
【详解】（1）由轴时， 为等腰直角三角形，可得，所以，
即，故，结合，解得.
故双曲线的离心率为2.
（2）因为，所以双曲线，
显然直线l的斜率不为0，设直线，，，
联立直线与双曲线的方程得，化简得，
根据根与系数的关系，得，①
所以，②
，③
设直线，直线，
令，可得，
设是以为直径的圆上的任意一点，则，
则以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，
即，
将①②③代入，可得，即，
解得或，
所以以为直径的圆过定点，.
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.
10．（2021·全国·高三专题练习）设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点.

（1）求点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围.
【答案】（1）（除点外）；（2）.
【解析】（1）根据题意，设，根据椭圆的几何性质得出、的坐标，由，，由直线的斜率公式得出点的坐标间的关系式，从而得出点的轨迹方程；
（2）由（1）得的方程为：，利用椭圆的几何性质求出，最后根据，即可求出的取值范围.
【详解】解：（1）根据题意，设，
，
由①②得：，
，
代入③得，即，
即，经检验点不合题意，
因此Q点的轨迹方程为（除点外）.

（2）由（1）得Q点的轨迹方程为（除点外），
所以的方程为：，
，
，，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的简单几何性质、直线垂直的条件、不等式的运算，以及点的轨迹方程的求法，解题的关键在于求解点的轨迹方程，考查数形结合思想和数学运算的能力.
题型五：渐近线综合问题
一、单选题
1．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，离心率，过的直线与的两条渐近线的交点分别为为直角三角形，，则的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率可得渐近线方程以及渐近线的夹角，结合Rt△求．
【详解】双曲线的离心率
的渐近线方程为：，两渐近线的夹角为，
不妨设与直线垂直，垂足为，
则．
故选: B．

2．（2022·山西吕梁·三模（文））已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的2倍，则（       ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据双曲线的几何性质列式可求出结果.
【详解】由题意得,解得，即.
故选：A.
3．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线渐近线的性质即可求解．
【详解】斜率为，
过点A的直线与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．
故选：D．
4．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））设双曲线C：（，）的左、右焦点是，，为原点，若以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且，则C的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设其中一条渐近线为 ，P在上，设的倾斜角为，由余弦定理求得，即可求得渐近线方程.
【详解】由题意可知 ，不妨设其中一条渐近线为 ，P在上，
设的倾斜角为 ，则 ,
故在中， ，
即 ，则 ，故 ，
故C的渐近线方程为，
故选：A
5．（2022·海南·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的焦点坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得双曲线的渐近线方程为 ，根据一条渐近线与直线垂直，求得，继而求得，可得答案.
【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为 ，
因为双曲线的其中一条渐近线与直线垂直，故 ，
而 ，故 ，故双曲线的焦点坐标为，
故选：B
二、多选题
6．（2022·福建南平·三模）已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（       ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方
C．双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列
D．双曲线上存在点，满足
【答案】AB
【分析】先由求得，即可求出渐近线判断A选项，由点到直线的距离公式即可判断B选项，由实轴长､虚轴长､焦距结合等比中项即可判断C选项，由双曲线定义结合的范围即可判断D选项.
【详解】易知双曲线的方程为，令得，故，解得，双曲线的渐近线方程为，即，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取右顶点，右焦点，则顶点到两渐近线距离的积为，
焦点到渐近线距离的平方为，又，，故，B正确；
，，显然，C错误；
若，又由双曲线定义，解得，
故不存在点，满足，D错误.
故选：AB.
7．（2022·湖南·一模）已知双曲线的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若，则下列说法正确的是（       ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为
C．点A到两渐近线的距离的乘积为 D．O为坐标原点，则
【答案】BCD
【分析】根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式逐一判断即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
不妨设过点F的直线与直线平行，交于C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，
过点F与直线平行的直线的方程为，与联立，解得
，由，设，所以，
可得，依题：
，得，故渐近线方程为，A错误；
对于B：由可得，B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积，C正确
对于D：
故，
故，所以D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：求出两点坐标是解题的关键.
8．（2022·全国·高三专题练习）下列双曲线的渐近线方程为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】的渐近线方程为：，的渐近线方程为：.
【详解】A选项，的渐近线方程为，A正确；
B选项，的渐近线方程为：，B错误；
C选项，的渐近线方程为：，C错误；
D选项，的渐近线方程为：，D正确.
故选：AD
三、填空题
9．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左､右焦点，则下列说法正确的序号是___________.
①；
②若，则双曲线C的离心率为；
③若点P在双曲线C的右支上，与y轴交于M，，则；
④若双曲线C的离心率为，则两条渐近线夹角余弦值为.
【答案】②③④
【分析】根据双曲线的定义知，得到①错误；由，求得离心率为，得到②正确；由与y轴交于M，且，得到轴，将代入曲线，求得，得到③正确；设渐近线的倾斜角为，得到，结合，求得，进而求得的值，得到④正确.
【详解】对于①中，根据双曲线的定义知，故①错误；
对于②中，若，则双曲线C为等轴双曲线，其离心率为，故②正确；
对于③中，由与y轴交于M，且，所以M是的中点，所以轴，将代入，得，所以，故③正确；
对于④，设渐近线的倾斜角为，则，所以，
因为双曲线C的离心率为，所以，所以，
根据渐近线的对称性得，渐近线的夹角的余弦值等于，故④正确.故说法正确的序号是②③④.
故答案为：②③④.
四、解答题
10．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，且右焦点到的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点为直线上一点，倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，且为等边三角形，求直线在轴上的截距．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可确定的关系式，由到的距离为1，可求解的大小，结合双曲线中，即可求解.
（2）设直线截距式方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求解两交点纵坐标之间的关系式，并求解线段中点坐标，利用等边三角形的性质及点到直线的距离即可求解直线在轴上的截距.
(1)解：设右焦点，因为点到直线的距离为1，
所以，所以，
由渐近线方程知，所以，
又，所以，，所以，
故双曲线的标准方程为．
(2)解：设直线，易知，
与双曲线方程联立，化简可得，
由，得．
设，，则，，
所以，
故的中点的坐标为，设，
易知，所以，解得，
故．
因为为等边三角形，所以

，所以，
得，满足，
故直线在轴上的截距为．
题型六：利用自变量范围求离心率范围
一、单选题
1．（2022·山西太原·二模（理））已知双曲线的右焦点为，点Q为双曲线左支上一动点，圆与y轴的一个交点为P，若，则双曲线离心率的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将条件转化为三角形两边之和大于第三边，得到实半轴长的取值范围，进而得到离心率的最大值.
【详解】

设双曲线的左焦点为,则，所以，由题意可得
所以，，，所以.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：（，）的右焦点F（，0），点Q是双曲线C的左支上一动点，圆E：与y轴的一个交点为P，若，则双曲线C的离心率的最大值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义进行焦半径的转化，由此求出的最小值即可求出a的范围，再根据离心率计算公式可求离心率最大值.
【详解】设双曲线C的左焦点为，则，即，
故．
由题意可得，
∵，∴，
则双曲线C的离心率．
故选：A．

3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】不妨设在第一象限，根据，可设.把点的坐标代入双曲线方程可得出，利用求根公式即可解出.结合，可求出，从而可求出答案.
【详解】不妨设在第一象限，因为，所以设，为锐角，
代入双曲线方程可得：，即，
化简可得，即，
因为，所以解得，
因为直线，，所以，即，
所以，所以，所以．
故选：．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，若双曲线不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部；若存在(2a，a)为中点的弦，根据点差法可得弦的斜率为，要使弦不存在，则弦与双曲线无交点，则弦的斜率大于渐近线斜率，如此即可得到的取值范围，进而求出离心率的范围﹒
【详解】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部，则，得；
假设以(2a，a)为中点存在弦，设弦与双曲线交于，
则，两式作差得，
即，
∵不存在该中点弦，∴直线AB与双曲线无交点，则，得；
综上，可得；
又∵离心率e＝，∴≤e≤，即，
故选：B
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则曲线为椭圆
B．若，则曲线为焦点在轴上的双曲线
C．若曲线为双曲线，则其焦距是定值
D．若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
【答案】BD
【分析】取判断A；根据双曲线的定义以及性质判断BCD.
【详解】对于A，当时，表示圆，不是椭圆，故A错误；
对于B，当曲线为焦点在轴上的双曲线时，，解得，故B正确；
对于C，当时，，此时曲线为焦点在轴上的双曲线，，则焦距不是定值，故C错误；
对于D，由C选项可知，，，令，则，故D正确；
故选：BD
三、填空题
6．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，则双曲线：的离心率的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意可得，用a表示，解不等式可得答案.
【详解】因为上存在点使得，所以,椭圆中，，因此，.
故答案为：.
7．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【分析】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，先求出，，由条件可得，再根据，根据建立不等式从而可得答案.
【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则
则

同理可得
由，可得
，又
所以，即，即
所以，即，即，即
所以，即
故答案为：
四、解答题
8．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，点P在双曲线的右支上（点P不在x轴上），且.
(1)用a表示；
(2)若是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接利用双曲线的定义结合条件求得；
（2）由余弦定理得到，利用是钝角，则，解得离心率e的取值范围.
(1)因为点P在双曲线的右支上，所以，
又，联立解得.
(2)在中，由余弦定理得，
因为，所以，所以.
9．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围.

【答案】
【分析】如图建立直角坐标系，设E，C，C点坐标代入，求出，由定比分点性质可求出E点坐标，将点C、E的坐标和代入双曲线方程化简可得，即可求出的取值范围.
【详解】以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，如图，

则CD⊥轴，双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 ，                                                                                     
依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，
是梯形的高，由定比分点坐标公式得：
             
，
设双曲线的方程为，则离心率
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得：
，                    ①
       ②                    
由①式得   ， ③   ，将③式代入②式，整理得：       
，
故                                    
由题设得，，
解得，
所以双曲线的离心率的取值范围为.