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新高考数学二轮复习课件专题六6.2 平面向量的数量积及其应用（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习课件专题六6.2 平面向量的数量积及其应用（含解析），共22页。
3.投影向量1)如图1,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,称上述变换为向量a向向量b投影, 叫做向量a在向量b上的投影向量.
1)e·a=a·e=|a|cs θ.2)a⊥b⇔a·b=0.3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2.4)cs θ= .5)|a·b|≤|a|·|b|.
考法一 求平面向量模的方法1.求向量模的方法1)|a|= ;2)|a±b|= ;3)若a=(x,y),则|a|= ;4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;5)通过解方程(组)求解.
例1 (1)已知|a|=5,|b|=3,e是与b方向相同的单位向量.若a在b方向上的投影 向量为-3e,则|2a+3b|= .(2)已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,AB∥CD,∠ADC=90°,若点M 在线段AC上,则| + |的取值范围为 .
答案 (1)C (2)D
应用 向量在平面几何中的应用1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平 面几何问题转化为向量问题;2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题;3)把运算结果转化成几何关系.2.三角形的四心与向量之间的关系在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.1)在 =λ 的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a +b +c =0⇔P为△ABC的内心.2)| |=| |=| |⇔P为△ABC的外心.
3) + + =0⇔G为△ABC的重心.4) · = · = · ⇔P为△ABC的垂心.
解析 解法一:过D作DF∥EC,交AB于F.∵D为BC的中点,∴F为BE的中点, 又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO= AD,∴ = = ( + ).∴ · = ( + )· = .∵ · =6 · ,∴ · = - + · ,∴ =3 ,∴| |= | |,∴ = .解法二:由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC= b,建立如图所示的平面直角坐标系.
创新 利用解析几何思维解决向量问题向量具有代数与几何的双重特性,而解析几何内容最为有效的方法是数 形结合,合理使用数形结合不仅可以转化解析几何中的向量问题,还可以 借用解析几何思想来转化向量中的相关问题.解决此类问题常从两个方 面入手:一是把握图形的直观性,从形的角度揭示问题中的几何本质;二是 把握数的准确性,从数的角度来严谨推理问题结论.可以利用向量运算来 转化其中的几何关系,也可以利用向量的几何意义来转化问题中的几何 条件.
3.投影向量1)如图1,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,称上述变换为向量a向向量b投影, 叫做向量a在向量b上的投影向量.
1)e·a=a·e=|a|cs θ.2)a⊥b⇔a·b=0.3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2.4)cs θ= .5)|a·b|≤|a|·|b|.
考法一 求平面向量模的方法1.求向量模的方法1)|a|= ;2)|a±b|= ;3)若a=(x,y),则|a|= ;4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;5)通过解方程(组)求解.
例1 (1)已知|a|=5,|b|=3,e是与b方向相同的单位向量.若a在b方向上的投影 向量为-3e,则|2a+3b|= .(2)已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,AB∥CD,∠ADC=90°,若点M 在线段AC上,则| + |的取值范围为 .
答案 (1)C (2)D
应用 向量在平面几何中的应用1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平 面几何问题转化为向量问题;2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题;3)把运算结果转化成几何关系.2.三角形的四心与向量之间的关系在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.1)在 =λ 的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a +b +c =0⇔P为△ABC的内心.2)| |=| |=| |⇔P为△ABC的外心.
3) + + =0⇔G为△ABC的重心.4) · = · = · ⇔P为△ABC的垂心.
解析 解法一:过D作DF∥EC,交AB于F.∵D为BC的中点,∴F为BE的中点, 又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO= AD,∴ = = ( + ).∴ · = ( + )· = .∵ · =6 · ,∴ · = - + · ,∴ =3 ,∴| |= | |,∴ = .解法二:由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC= b,建立如图所示的平面直角坐标系.
创新 利用解析几何思维解决向量问题向量具有代数与几何的双重特性,而解析几何内容最为有效的方法是数 形结合,合理使用数形结合不仅可以转化解析几何中的向量问题,还可以 借用解析几何思想来转化向量中的相关问题.解决此类问题常从两个方 面入手:一是把握图形的直观性,从形的角度揭示问题中的几何本质;二是 把握数的准确性,从数的角度来严谨推理问题结论.可以利用向量运算来 转化其中的几何关系,也可以利用向量的几何意义来转化问题中的几何 条件.
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