新高考数学二轮复习课件专题十10.1 计数原理、排列与组合（含解析）

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考点　计数原理、排列、组合1.两个计数原理的联系与区别
2.排列与排列数1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序
排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作 .
【注意】 易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件 事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数.3.组合与组合数1)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合.2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作 .
【注意】 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺 序有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.4.排列数、组合数的公式及性质
考法一　排列问题的解决方法 
例1 在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数 学式,结果用数字作答)(1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法?(2)四名男生相邻,有多少种不同的站法?(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的站法?(4)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的站法?(甲、乙、丙三 位同学身高互不相等)(5)现有7个座位连成一排,仅安排4名男生就座,恰好有两个空座位相邻的 不同坐法共有多少种?
解析 (1)根据题意,分2步进行分析:①将4名男生全排列,有 =24种情况,排好后有5个空位.②在5个空位中任选3个,安排3名女生,有 =60种情况.则三名女生不能相邻的排法有24×60=1 440种.(2)根据题意,分2步进行分析:①将4名男生看成一个整体,考虑4人间的顺序,有 =24种情况.②将这个整体与三名女生全排列,有 =24种情况.则四名男生相邻的排法有24×24=576种.(3)根据题意,分2种情况讨论:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有 =720种站法.②女生甲不站在右端,有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,
有 =120种站法,则此时有5×5×120=3 000种站法.则一共有720+3 000=3 720种站法.(4)根据题意,首先把7名同学全排列,共有 种结果,甲、乙、丙三人内部的排列共有 =6种结果,要使甲、乙、丙三个人按照高矮顺序排列,则有 =840种结果.(5)7个座位连成一排,仅安排4名男生就座,还有3个空座位,分2步进行分 析:①将4名男生全排列,有 种情况,排好后有5个空位.②将3个空座位分成2、1的2组,在5个空位中任选2个,安排2组空座位,有 种情况,则有  =480种排法.
考法二　组合问题的常见解法 
例2 (2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普 通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有　　　     种不同的选法.(用数字作答)
解析 从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为 - =55.从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为 =12种.故总共有55×12=660种选法.
考法三　分组与分配问题的解题方法 
例3 (2020北京八中10月月考,10)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部 分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分 法种数是　　　    .
例4 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
解析 (1)无序不均匀分组问题.先选1本,有 种选法;再从余下的5本中选2本,有 种选法;最后余下3本全选,有 种选法.故共有   =60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)问基础上,还应考虑再分配,共有    =360(种).(3)无序均匀分组问题.先选2本,再从余下的4本中选2本,最后余下2本全选,有   种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二 步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则   种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有