新高考数学考前冲刺练习卷13（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺练习卷13（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共45分）
一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．
1．已知全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．任意一个偶数都不是素数
3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，已 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的学生人数为（ ）
A．5B．10C．20D．30
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线与 SKIPIF 1 < 0 交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中：
① SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
④将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的函数是偶函数，
其中正确个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
①函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点；
②若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有1个解，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）有且仅有一个交点；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 无最值.
A．①②B．①③④C．②③D．①③
第Ⅱ卷（共105分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）
10．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 =________.
11．若 SKIPIF 1 < 0 展开式中所有项的系数和为 256 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为常数，则该展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数为________
12．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
13．已知等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1，射线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上分别有一动点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间），当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值为________；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
14．为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则 SKIPIF 1 < 0 ________
15．设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恰有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
三、解答题：（本大题5个题，共75分）
16．（14分）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，
（ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 的值.
17．（15分）已知正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，底面边长为2，D为AB的中点.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(3)求直线CA与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
18．（15分）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为2，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
19．（15分）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于P，Q两点.
(1)求椭圆方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴不垂直，在x轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.
20．（16分）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
新高考数学考前冲刺练习卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共45分）
一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．
1．已知全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．任意一个偶数都不是素数
【答案】D
【详解】由于存在量词命题 SKIPIF 1 < 0 ，否定为 SKIPIF 1 < 0 .所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：D
3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，已 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的学生人数为（ ）
A．5B．10C．20D．30
【答案】D
【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，所以期末考试数学成绩关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的学生人数为： SKIPIF 1 < 0 人.
故选：D.
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
5．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线与 SKIPIF 1 < 0 交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
方程两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
6．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是公差为4的等差数列，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中：
① SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
④将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的函数是偶函数，
其中正确个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
对于①， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对于②， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
对于③，由 SKIPIF 1 < 0 可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），故③正确；
对于④，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的函数为
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故④错误.
综上所述，①②③正确.
故选：C.
8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设正四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，侧面三角形底边上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
因此有
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 SKIPIF 1 < 0
故选：D.
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
①函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点；
②若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有1个解，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）有且仅有一个交点；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 无最值.
A．①②B．①③④C．②③D．①③
【答案】D
【详解】对于①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对于②，作出 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图1
由图1可知，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有1个解，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故②错误；
对于③，由①知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
又直线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）有且仅有一个交点，故③正确；
对于④，
由图2可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 有3个不同的交点.
则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据零点存在定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.
综上所述，①③正确.
故选：D.
第Ⅱ卷（共105分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）
10．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 =________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．若 SKIPIF 1 < 0 展开式中所有项的系数和为 256 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为常数，则该展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数为________
【答案】28
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式中所有项的系数和为 256 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数与 SKIPIF 1 < 0 展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项的系数相同.
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
12．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，则其渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
由两个渐近线关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则不妨只探究渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
13．已知等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1，射线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上分别有一动点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间），当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值为________；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
14．为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】设事件 SKIPIF 1 < 0 “抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件 SKIPIF 1 < 0 “抽取的3人中全是男志愿者”
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 SKIPIF 1 < 0 .
X可取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
15.设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恰有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，此时函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题：（本大题5个题，共75分）
16．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，
（ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）（i）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
及已知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为锐角，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）由（i）可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
17．已知正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，底面边长为2，D为AB的中点.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(3)求直线CA与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 为正三棱柱可知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示;
由侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，底面边长为2可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
由D为AB的中点可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ；
易得 SKIPIF 1 < 0 即为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，由图可知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
即二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（2）可知 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线CA与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线CA与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为2，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由题意，设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（3）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于P，Q两点.
(1)求椭圆方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴不垂直，在x轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，此时 SKIPIF 1 < 0 三点共线，不合要求，舍去；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 联立，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）在x轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，理由如下：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故在x轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
20．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）当a=1时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由点斜式可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时，则当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（3）由（2）可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，f（x）有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .