新高考数学三轮冲刺精品专题十 解析几何（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺精品专题十 解析几何（含解析），共42页。试卷主要包含了圆锥曲线的考查主要为两种，圆锥曲线及其性质，圆锥曲线的综合问题，已知圆等内容，欢迎下载使用。

命题趋势
解析几何的考查主要为直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的考查．
1．直线与圆的考查常与导数结合，考查直线方程，考查点到直线的距离公式，主要以选择题、填空题的形式出现，难度相对简单，也与圆锥曲线结合，主要考查的问题为圆方程、圆弦长、面积等，难度中等．
2．圆锥曲线的考查主要为两种：一是对其概念及性质的考查，主要以选择题或填空题的形式出现；二是圆锥曲线综合问题的考查，比如范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题，常以大题的形式出现，难度较难，计算量较大．
考点清单
1．直线方程与圆的方程
（1）直线方程的五种形式
（2）两条直线平行与垂直的判定
①两条直线平行：
对于两条不重合的直线，，若其斜率分别为，，则有 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线，不重合且斜率都不存在时， SKIPIF 1 < 0 ．
②两条直线垂直：
如果两条直线，的斜率存在，设为，，则有；
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为时，．
（3）两条直线的交点的求法
直线：，：，
则与的交点坐标就是方程组 SKIPIF 1 < 0 的解．
（4）三种距离公式
①，两点之间的距离：．
②点到直线：的距离： SKIPIF 1 < 0 ．
③平行线与间距离： SKIPIF 1 < 0 ．
（5）圆的定义及方程
（6）点与圆的位置关系
点与圆的位置关系：
①若在圆外，则．
②若在圆上，则．
③若在圆内，则．
2．直线、圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系(半径为，圆心到直线的距离为)
（2）圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，则
3．圆锥曲线及其性质
（1）椭圆的标准方程及几何性质
（2）双曲线的标准方程及几何性质
（3）抛物线的标准方程及其几何性质
4．圆锥曲线的综合问题
（1）直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程 (，不同时为)代入圆锥曲线的方程，消去 (也可以消去)得到一个关于变量 (或变量)的一元方程．
即联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去，得．
①当时，设一元二次方程的判别式为，
则直线与圆锥曲线相交；
直线与圆锥曲线相切；
直线与圆锥曲线相离．
②当，时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，
若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
（2）圆锥曲线的弦长
设斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，，
则 SKIPIF 1 < 0 或
SKIPIF 1 < 0 ．
精题集训
（70分钟）
经典训练题
一、选择题．
1．已知直线和互相平行，则实数等于（ ）
A．或3B．C．D．1或
【答案】A
【解析】∵两条直线和互相平行，
∴，解得或．
若，则与平行，满足题意；
若，则与平行，满足题意，
故选A．
【点评】本题主要考查了直线平行的条件，属于基础题．
2．直线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】，即，
该圆圆心为，半径为，
直线截圆所得的弦长为，
则圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．优先采用几何法．
3．已知点的坐标 SKIPIF 1 < 0 满足不等式组 SKIPIF 1 < 0 ，为直线上任一点，则的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】点的坐标满足不等式组 SKIPIF 1 < 0 的可行域如图：
点的坐标满足不等式组 SKIPIF 1 < 0 ，为直线上任一点，
则的最小值，
就是两条平行线与之间的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力，解决本题的关键是作出不等式组所表示的平面区域与的位置关系，难度一般；画出约束条件的可行域，利用已知条件，把的最小值转化求解平行线间的距离即可．
4．若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．10
【答案】B
【解析】由直线始终平分圆的周长，则直线必过圆的圆心，
由圆的方程可得圆的圆心坐标，
代入直线的方程可得，
又由表示点到直线的距离的平方，
由点到直线的距离公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以的最小值为，故选B．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式应用，把转化为点到直线的距离的平方是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
5．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为直线是圆的对称轴，
所以直线过圆心，即，，
所以点，，
因为圆C的半径，所以切线长，
且在直角三角形中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，，
所以三角形PAB的面积 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
6．若分别过，，，四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如果过点，，，作四条直线构成一个正方形，
过点的必须和过，，的其中一条直线平行和另外两条垂直，
假设过点和点的直线相互平行时，如图，
设直线与轴正方向的夹角为，再过作它的平行线，
过、作它们的垂线、，过点作轴的平行线分别角、于点、，
则，，
因为，所以，则，
所以正方形的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可求，当直线和过的直线平行时正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线和过点的直线平行时正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系与解析几何直线方程的交会，考查坐标法思想的应用，考查基本运算求解能力．
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线C的左右焦点，且．过点作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积取最大值时，双曲线C的离心率为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【解析】设其中一条渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
是直角三角形，且，，，
SKIPIF 1 < 0 ，
，，即， SKIPIF 1 < 0 ，当时等号成立，
的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，
即的面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，此时，双曲线是等轴双曲线，离心率，
故选D．
【点评】本题的一个关键公式是，焦点到渐近线的距离，小题时，可以直接用这个条件．
二、填空题．
8．已知点P在直线上，点Q在直线，的中点为，且，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设，则，
两式相加可得，
由于的中点为，所以．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，
故填 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题主要考查代数式的取值范围的求法，把多个变量化归为一个变量是主要途径．
9．已知圆：，（）与圆：，（ SKIPIF 1 < 0 ）只有一条公切线，则的最小值为______．
【答案】
【解析】圆：的圆心坐标，半径，
圆的圆心，半径，
由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距，
所以可得，
设，，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查由两个圆的公切线的条数判断两个圆的位置关系，及由三角函数的范围求代数式的最小值，属于中档题．
10．已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示的曲线为，任取、，则曲线表示焦距等于的椭圆的概率等于________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】所有可能的的组数为，
又因为焦距，所以，所以，
则满足条件的有：、、、、、、、，共组，
所以概率为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】计算古典概型概率的方法如下：
（1）列举法；
（2）数状图法；
（3）列表法；
（4）排列、组合数的应用．
11．已知是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值
为________．
【答案】
【解析】对于双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，则， SKIPIF 1 < 0 ，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立．
因此，的最小值为，故答案为．
【点评】利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解．
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （，）的右焦点为，直线 SKIPIF 1 < 0 （）与交于，两点（在第一象限），直线与的另一个交点为，以为直径的圆经过点，且，则的渐近线方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，设的左焦点为，，连接，， SKIPIF 1 < 0 ，
利用双曲线定义得，
因为以为直径的圆经过点，所以，依题意，得四边形为矩形，
则，，，则．
在中，，
即①，
在中，，即，
所以②，
由①②，得，所以，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】求双曲线的渐近线的方法：
（1）定义法：直接利用a，b，求得比值，则焦点在x轴时渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在y轴时渐近线 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）构造齐次式，利用已知条件，结合，构建 SKIPIF 1 < 0 的关系式（或先构建 SKIPIF 1 < 0 的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可．
13．已知点，直线，直线，则点关于直线的对称点的坐标为__________，直线关于直线的对称直线方程是__________．
【答案】
【解析】（1）设则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设，由（1）得上的点关于直线的对称点，
因此所求对称直线过，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题主要考查了一个点关于某直线的对称点坐标的求法，直线关于直线对称的直线的求法，属于基础题．
三、解答题．
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于C，D两点，判断点 SKIPIF 1 < 0 与以线段CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）详见解析．
【解析】（1）由已知，点在椭圆上．
因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得，，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，，CD中点为．
椭圆的右焦点为，当直线CD斜率为零时，点P显然在圆外；
当直线CD斜率不为零时，设直线CD的方程为，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当时，点 SKIPIF 1 < 0 在以CD为直径的圆的外部；
当或时，点 SKIPIF 1 < 0 在以CD为直径的圆上；
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 在以CD为直径的圆的内部．
【点评】本题考查了椭圆的方程、点和圆的位置关系，关键点是求出圆心和半径，利用P点到圆心的距离和半径比较大小，考查了学生分析问题、解决问题及转化的能力．
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N
两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又，．
因为，所以，，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解法一：设直线，，，
SKIPIF 1 < 0 ，可得，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
直线AM的方程： SKIPIF 1 < 0 ①，直线BN的方程： SKIPIF 1 < 0 ②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点Q在直线上．
解法二：设，，，两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得：．
又A，M，Q三点共线，有 SKIPIF 1 < 0 ①，
又B，N，Q三点共线，有 SKIPIF 1 < 0 ②，
将①与②两式相除得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
将即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入得 SKIPIF 1 < 0 ，解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）
所以Q在定直线上．
【点评】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题．
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为、，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，过的直线l交C于点A、B，且的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求面积S的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因为的周长为8，
由椭圆的定义知，故，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以，
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意可设直线l的方程为，，，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
显然且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
易知S在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）证明见解析，．
【解析】（1）由题意，因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点，可得，
设焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，
可得，即，
又因为，解得，
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由直线的方程为，可得而，
设，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得，
从而，
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）显然直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，，
可得，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得，
所以，从而 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得，
则，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
③代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，∴，(满足②)
故直线的方程为，所以直线恒过定点．
【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
18．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点．设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，
可得，化简得．
（2）设，的方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ，，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由，可得，
所以直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得，所以直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1．参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2．由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
19．已知抛物线的焦点为点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 是上一点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得，即，
所以抛物线的标准方程为．
（2）由题意知，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立．
因为，得，即，
因为，即，故或，
经检验，当时，不满足题意，
所以点B的横坐标的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围．
20．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右两个顶点是， SKIPIF 1 < 0 ，曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由已知，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相乘得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即动点的轨迹的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）过的直线若斜率不存在则 SKIPIF 1 < 0 或3，
设直线斜率存在，，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （2）
由（2）（4）解得，代入（3）式得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1），解得 SKIPIF 1 < 0 代入上式右端得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上实数的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题考查了动点的轨迹方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
21．如图，已知圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、．
（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；
（2）若，且，求实数的值；
（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意圆方程为，令，得，
∴，即，∴， SKIPIF 1 < 0 ，
∴渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）圆方程为， SKIPIF 1 < 0 ，
设，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 (*)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
，
所以，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得，
方程(*)为，即， SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵在第一、四象限，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
，
，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴轴上不存在点，使得．
【点评】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．
高频易错题
一、选择题．
1．已知是曲线：上的点，是直线上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由，得，
∴曲线是圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径的左半圆，曲线上的点到直线的最小距离为原点到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，属于中档题．
2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】易知斜率不存在时，不满足；
设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则截距和为 SKIPIF 1 < 0 ，解得或，
故直线方程为和，故选D．
【点评】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力．
3．若，是双曲线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 中，
设点P为两曲线在第一象限的交点，
由于在椭圆中，为等腰三角形，所以，
所以，
在双曲线中，，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入，得，
所以该双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由为等腰三角形和椭圆的定义求出的值，属于中档题．
精准预测题
一、选择题．
1．已知点， SKIPIF 1 < 0 与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】已知点， SKIPIF 1 < 0 与直线，且直线与线段相交，
直线，即直线，它经过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线的斜率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题主要考查直线的斜率，考查数形结合思想，属于基础题．
2．点P在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．若满足到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值
为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【解析】过函数y＝ex的图象上点 SKIPIF 1 < 0 作切线，使得此切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，
SKIPIF 1 < 0 ，于是，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
于是当点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为时，
则满足到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为的点P有且仅有3个，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足，
故a＝3，故选C．
【点评】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大．
3．设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数k的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设，则，
整理可得，故，
在中， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设原点到直线的距离为，则需满足， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选C．
【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出，利用原点到直线的距离小于等于4求解．
4．设分别是中所对边的边长，则直线与位置关系是（ ）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】分别是中所对边的边长，
则直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴两条直线垂直，故选C．
【点评】本题考查直线的斜率，正弦定理的应用，基本知识的考查．
5．如图，双曲线 SKIPIF 1 < 0 以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，，则的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】连接CA，BD，
不妨设，则，，．
在中，①
在中，②
②-①，得，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算．
二、填空题．
6．已知椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的
中点，则该椭圆的离心率________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设切点为，右焦点为，
由题意可知，则，
因为分别是的中点，所以，
由椭圆的定义可知，即，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】解决本题的关键是由椭圆的定义得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出离心率．
7．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为，是双曲线的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 的一个交点，过作圆的切线交轴于，若的斜率为，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】不妨设是圆与渐近线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令，得，即，
∵的斜率为，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即离心率为，
故答案为．
【点评】本题结合直线与圆的位置关系，考查了双曲线的离心率，属于基础题．
8．已知圆与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相切，则的离心率
为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由得，
所以圆心，半径，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得圆心到渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题的关键点是正确求出双曲线的渐近线方程，直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径，
可得之间的关系，即可求离心率．
三、解答题．
9．已知点F是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）已知，，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点．设直线，的斜率分别为，，若，求椭圆E的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题可得，，
SKIPIF 1 < 0 ，即，
， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可得椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线l的斜率存在时，设l：，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，得，
则，即，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即对任意成立，即，
则椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线斜率不存在时，则直线方程为，则，且，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意，
综上，椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解．
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点．
（1）求的方程；
（2）点在上，且，证明：直线过定点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设点，，
，，
整理可得…①
当直线斜率不存在时，显然不成立，
则可设，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由，得，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入①式化简可得，
即，或 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线方程为或 SKIPIF 1 < 0 ，
直线过定点或 SKIPIF 1 < 0 ，
又和点重合，故舍去，
直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为4，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．
①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证： SKIPIF 1 < 0 为定值；
②若直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形APBQ的面积的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）①证明见解析；② SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，)．
设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为点P在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，为定值．
②由题意，A(2，0)，B(0，)，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由点A(2，0)，B(0，)位于直线l的两侧，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去y并整理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
由判别式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然，判别式 SKIPIF 1 < 0 ．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
点A(2，0)到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
点B(0，)到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，四边形APBQ的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，显然，当t＝0时， SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出直线 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 以及弦长 SKIPIF 1 < 0 ，考查了弦长公式、数学运算．
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值．
【答案】（1）椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的方程为；（2）最大值为1．
【解析】（1）因为，所以不妨设的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，∴，，
∴椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的方程为．
（2）由（1）可知：的坐标为，
设直线的方程为：，到的距离为，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为1．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式的使用，以及点到直线的距离公式，属于中档题．
13．已知双曲线C经过点(2，3)，它的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．椭圆C1与双曲线C有相同的焦点，椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等．
（1）求双曲线C和椭圆C1的方程；
（2）经过椭圆C1左焦点F的直线l与椭圆C1交于A、B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF =∠BDF？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在点 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆的短轴长与双曲线的实轴长相等，
椭圆的短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆与双曲线有相同的焦点，
即，，椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）直线垂直轴时，、两点关于轴对称，
SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 ，则点必在轴上，
设，直线不垂直轴时，的方程设为，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，直线、的斜率互为相反数，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
时，恒成立；
时， SKIPIF 1 < 0 ，
存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得无论怎样运动，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题考查了双曲线的方程，及存在性问题，转化思想是解题关键，属于中档题．
名称
方程形式
适用条件
点斜式
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
两点式
SKIPIF 1 < 0
不能表示平行于坐标轴的直线
截距式
SKIPIF 1 < 0
不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线
一般式
不同时为零
可以表示所有类型的直线
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
圆心：，半径：
一般方程
，
圆心： SKIPIF 1 < 0 ，
半径： SKIPIF 1 < 0
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
几何观点
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
，，的关系
公切线条数
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图形
焦点坐标
，
，
顶点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
长轴
长轴，是长半轴的长
短轴
短轴，是短半轴的长
焦距
焦距，是半焦距
范围
，
，
离心率
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 越接近，椭圆越扁；越接近，椭圆越圆
标准方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图形
一般方程
几何性质
范围
，
，
焦点
，
，
顶点
，
，
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
实、虚轴长
线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长 (叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长)
焦距
焦距，是半焦距
离心率
SKIPIF 1 < 0
渐近线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
方程标准
的几何意义：焦点到准线的距离
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
离心率
准线方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
范围
，
，
，
，
焦半径(其中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0