新高考数学模拟测试卷12（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学模拟测试卷12（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，若向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知两条不同的直线 SKIPIF 1 < 0 和不重合的两个平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，有下面四个命题：①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．其中真命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①④
4．若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（ ）
A．5000元B．5500元C．6000元D．6500元
5．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位： SKIPIF 1 < 0 ）和燃料质量M（单位： SKIPIF 1 < 0 ），火箭质量m（单位： SKIPIF 1 < 0 ）的函数关系是： SKIPIF 1 < 0 ，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A．13.8B．9240C．9.24D．1380
6．如图所示，扇形 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是扇形弧上的动点，四边形 SKIPIF 1 < 0 是扇形的内接矩形，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，就称 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的整数部分， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的小数部分.已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．M有最小值，最小值为1B．M有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．N没有最小值D．N有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0
10．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 无公共点，则双曲线离心率可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数B．函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数D．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
12．在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，如图， SKIPIF 1 < 0 分别是正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中心.则下列结论正确的是（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是 SKIPIF 1 < 0 的中点
B．平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是 SKIPIF 1 < 0 的三点分点
C．平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点
D．平面 SKIPIF 1 < 0 将正方体分成两部分的体积比为1∶1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在直角边长为3的等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中，E、F为斜边 SKIPIF 1 < 0 上的两个不同的三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
14．习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列 SKIPIF 1 < 0 （单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金 SKIPIF 1 < 0 （万元）的3倍，已知 SKIPIF 1 < 0 ．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）
15．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 过的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点( SKIPIF 1 < 0 在第二象限， SKIPIF 1 < 0 在第一象限)， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为___________.
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为实数)有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 SKIPIF 1 < 0 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，它的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，___________？
18．已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ___________，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.
19．某电器企业统计了近 SKIPIF 1 < 0 年的年利润额 SKIPIF 1 < 0 （千万元）与投入的年广告费用 SKIPIF 1 < 0 （十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到相关数据如表所示：
（1）从① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 三个函数中选择一个作为年广告费用 SKIPIF 1 < 0 和年利润额 SKIPIF 1 < 0 的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破 SKIPIF 1 < 0 亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）
参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
参考公式：回归方程 SKIPIF 1 < 0 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
20．如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 （不过坐标原点）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
22．过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别过 SKIPIF 1 < 0 点作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线，设两切线交于 SKIPIF 1 < 0 点.
（1）求证：点 SKIPIF 1 < 0 在一定直线 SKIPIF 1 < 0 上；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）设 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
新高考数学模拟测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，若向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3．已知两条不同的直线 SKIPIF 1 < 0 和不重合的两个平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，有下面四个命题：①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．其中真命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①④
【答案】A
【解析】解：因为两条不同的直线 SKIPIF 1 < 0 和不重合的两个平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
对于①，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对于②，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
对于③，若 SKIPIF 1 < 0 ，则有可能 SKIPIF 1 < 0 ，故③错误；
对于④，当 SKIPIF 1 < 0 时，则有可能 SKIPIF 1 < 0 ，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故选：A．
4．若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（ ）
A．5000元B．5500元C．6000元D．6500元
【答案】A
【解析】刚退休时就医费用为 SKIPIF 1 < 0 元，现在的就医费用为 SKIPIF 1 < 0 元，占退休金的 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，目前该教师的月退休金为 SKIPIF 1 < 0 元.
故选：A
5．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位： SKIPIF 1 < 0 ）和燃料质量M（单位： SKIPIF 1 < 0 ），火箭质量m（单位： SKIPIF 1 < 0 ）的函数关系是： SKIPIF 1 < 0 ，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A．13.8B．9240C．9.24D．1380
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
6．如图所示，扇形 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是扇形弧上的动点，四边形 SKIPIF 1 < 0 是扇形的内接矩形，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
如图，记 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：A.
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
8．如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，就称 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的整数部分， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的小数部分.已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
同理可得： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以当n为奇数时 SKIPIF 1 < 0 ，当n为偶数时 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故选D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．M有最小值，最小值为1B．M有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．N没有最小值D．N有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 ，
故M有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，
SKIPIF 1 < 0 没有最大值，故M没有最小值，故A错误；
同理 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误， SKIPIF 1 < 0 没有最小值，故C正确.
故选：BC.
10．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 无公共点，则双曲线离心率可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】解析：双曲线的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线无公共点，故有 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BC.
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数B．函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数D．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以A正确，B错误；
由函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确，D正确.
故选：AD.
12．在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，如图， SKIPIF 1 < 0 分别是正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中心.则下列结论正确的是（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是 SKIPIF 1 < 0 的中点
B．平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是 SKIPIF 1 < 0 的三点分点
C．平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点
D．平面 SKIPIF 1 < 0 将正方体分成两部分的体积比为1∶1
【答案】BC
【解析】如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则平面四边形 SKIPIF 1 < 0 就是平面 SKIPIF 1 < 0 与正方体的截面，如图所示.

SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，连 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点共线，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 分别是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点.
做出线段 SKIPIF 1 < 0 的另一个三等分点 SKIPIF 1 < 0 ，
做出线段 SKIPIF 1 < 0 靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
从而平面 SKIPIF 1 < 0 将正方体分成两部分体积比为2∶1.
故选:BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在直角边长为3的等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中，E、F为斜边 SKIPIF 1 < 0 上的两个不同的三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】4
【解析】解：设 SKIPIF 1 < 0 是接近 SKIPIF 1 < 0 的一个三等分点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列 SKIPIF 1 < 0 （单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金 SKIPIF 1 < 0 （万元）的3倍，已知 SKIPIF 1 < 0 ．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）
【答案】100
【解析】由题意知，五年累计总投入资金为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.
15．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 过的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点( SKIPIF 1 < 0 在第二象限， SKIPIF 1 < 0 在第一象限)， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，即点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由点 SKIPIF 1 < 0 在渐近线 SKIPIF 1 < 0 上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为实数)有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，求导 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点，等价于方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，
则问题转化为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，由零点存在性定理知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 SKIPIF 1 < 0 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，它的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，___________？
【答案】答案见解析
【解析】解：选择条件①：
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ；
选择条件②：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦二倍角公式可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以不存在满足条件的 SKIPIF 1 < 0 ；
选择条件③：
由余弦二倍角公式可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ；
18．已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ___________，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案见解析.
【解析】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为各项均为正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）选择①：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
选择②：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
选择③：
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
19．某电器企业统计了近 SKIPIF 1 < 0 年的年利润额 SKIPIF 1 < 0 （千万元）与投入的年广告费用 SKIPIF 1 < 0 （十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到相关数据如表所示：
（1）从① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 三个函数中选择一个作为年广告费用 SKIPIF 1 < 0 和年利润额 SKIPIF 1 < 0 的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破 SKIPIF 1 < 0 亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）
参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
参考公式：回归方程 SKIPIF 1 < 0 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）选择回归类型 SKIPIF 1 < 0 更好；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）下一年应至少投入 SKIPIF 1 < 0 万元广告费用．
【解析】解：（1）由散点图知，年广告费用 SKIPIF 1 < 0 和年利润额 SKIPIF 1 < 0 的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 呈正相关.
所以选择回归类型 SKIPIF 1 < 0 更好；
（2）对 SKIPIF 1 < 0 两边取自然对数，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由表中数据得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以年广告费用 SKIPIF 1 < 0 和年利润额 SKIPIF 1 < 0 的回归方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（2），知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 （十万元）．
故下一年应至少投入 SKIPIF 1 < 0 万元广告费用．
20．如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）证明：因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，同理，可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
解：分别以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
则由得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 （不过坐标原点）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由条件知 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
因此椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
22．过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别过 SKIPIF 1 < 0 点作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线，设两切线交于 SKIPIF 1 < 0 点.
（1）求证：点 SKIPIF 1 < 0 在一定直线 SKIPIF 1 < 0 上；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）设 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立得：点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∴点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
（2）（i）联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴，同理 SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 得证.
（ii）由（1）得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0