初中北师大版第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定课后复习题

这是一份初中北师大版第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定课后复习题，共39页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是矩形B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线垂直D．每一条对角线平分一组对角
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角相等
4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为 B．对角线互相平分
C．对边平行且相等 D．每条对角线平分一组对角
5．如图，在矩形中，E、F为AC上一点，，，连接、，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．将矩形绕点旋转到如图位置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，点为矩形内一点，且满足，则的最小值是（ ）

A．B．C．16D．12
8．如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为，矩形BEFG的面积为，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
9．如图，在坐标系中，满足将O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣O所围成的面积平分的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
10．如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（ ）
A．四边形的面积是定值B．的值不变
C．的值不变D．
11．如图，矩形的对角线交于点O，以点O为原点建立平面直角坐标系，AC所在直线为y轴，，，则点C的坐标为（ ）

A．B．C．D．
12．依据图所标数据，则四边形一定是（ ）

A．正方形B．矩形C．菱形D．四个角均不为的平行四边形
13．关于原命题“矩形的两条对角线相等”和它的逆命题“对角线相等的四边形是矩形”，下列说法正确的是（ ）
A．原命题逆命题都正确B．原命题逆命题都错误
C．原命题错误逆命题正确D．原命题正确逆命题错误
14．下列命题中，（ ）
①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
②对角线相等的四边形是矩形
A．①正确②正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①错误②错误
15．数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（ ）

A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等
C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形
16．如图，中，，，是中位线，沿裁剪将分为两块后拼接成特殊的四边形，那么不能拼成的图形是（ ）

A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
17．如图，在平面直角坐标系中，已知线段在y轴上，点，原点O是线段的中点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，连接形成四边形，分别交x轴于E、F两点，则四边形的面积为（ ）

A．4B．C．D．
18．如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道( )

A．△ABE的面积B．△ACD的面积
C．△ABC的面积D．矩形的面积
二、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴与轴上，点的坐标为．

(1)当，时，若一次函数的图象平分矩形面积，求的值；
(2)若为矩形内部一点，且的面积与的面积相等，求证：点在上．
20．如图，长方形中，点、的坐标分别为、 ，点为中点；
(1)尺规作图：请作出的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在线段上是否存在一点P使最小，若存在求出此时的最小值；若不存在请说明理由．
21．如图，在矩形中，与交于点O，点E为上一点．

(1)与的周长之差为________；
(2)连接，若平分，则的面积为________；
(3)连接，当时，
①若，则的度数为________；
②求的长．
22．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．具体做法是：延长三角形某条边上的中线，使延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，借助于图形的关系和性质展开求解或证明．
请结合下图完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．

证明：延长至点，使，连结、．
23．如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形对角线的中点，过点F的直线分别与交于点D、E．

(1)求证：；
(2)设，△ADF的面积为S，
①求S与m的函数关系式；
②当时，求S的值；
(3)若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
24．在如图所示平面直角坐标系中，矩形ABCD，BC、AB分别平行于x轴和y轴，点A坐标（1，3），点C坐标（4，1）；函数的图像为G；
（1）点B坐标是 ，点D坐标是 ；
（2）当函数的图像G经过点D时，
①求m的值；
②此时图像G与直线y＝a有两个交点时，求a的取值范围；
（3）当函数的图像G与矩形ABCD只有一个交点时，直接写出M的取值范围．
25．综合与实践
在学习完特殊的平行四边形之后，老师在数学活动课上展示了下面一道与平行四边形有关的折叠题：

【问题情境】
如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点．
【独立思考】
（1）①与的关系为______；②是______三角形（按边分类）．
【实践探究】
（2）请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图2，在矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你求出线段的长．
26．一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
27．数学实验课上，老师让同学们准备了两张全等的等腰三角形纸片，△ABC和△DEF，，．

(1)如图1，将边与边重合，两个三角形在直线两侧，沿直线移动至图示位置，连接、，判断四边形的形状并说明理由．
(2)如图2，点C与点F重合，保持不动，绕着点C旋转，当时，保持不动，将沿射线方向平移，若，，设平移的距离为a．
①当时，连接、，判断四边形的形状并说明理由．
②在平移过程中，当四边形是正方形时，求出a的值．
28．如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由．

三、填空
29．矩形中，相邻两边、长度分别为和，∠的平分线与相交于，则线段长度为 ．

30．在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是和，那么中间的矩形的面积是 ．
31．如图，已知等腰，，，为边上的高，将绕点A顺时针旋转90°得到（点D的对应点为点E，点C的对应点为点F）．连接，点M为的中点，点P为直线上一动点，将沿翻折，使点F的对应点G恰好落在直线上，则的长为 ．
32．如图，A点坐标为，为轴负半轴上一个动点，以为直角顶点，为腰作等腰按逆时针排列，若点在第四象限，过作轴于点，则的值为 ．

参考答案：
1．A
【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质和判定定理，判断即可．
【详解】解：A． 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意；
B． 菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；
C． 矩形的对角线相等，故不符合题意；
D． 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质可直接得出答案．
【详解】解：结合选项可知，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：B．
总结本题考查了菱形和矩形的性质，熟记相关图形的性质是解本题的关键．
3．B
【分析】根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．
【详解】解：矩形和菱形是平行四边形，
C、D是二者都具有的性质，A是菱形具有的性质，
对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．
故选B．
4．D
【分析】根据菱形和矩形的性质进行解答即可．
【详解】解：A、菱形和矩形的内角和都等于，故选项A不符合题意；
B、对角线互相平分是矩形、菱形都具有的性质，故选项B不符合题意；
C、菱形的对边平行且相等，矩形的对边平行且相等，故选项C不符合题意；
D、菱形每条对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，不一定每条对角线平分一组对角，故选项D符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】先证明，即可得出，再根据矩形的性质得出，最后根据等边对等角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】由旋转的性质有，根据同角的余角相等则可求出答案．
【详解】解：由旋转的性质有，
∴，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】过点P作交于点,先利用面积求出，再根据将军饮马问题作点关于的对称点，连接，则长即为的最小值，解勾股定理即可求出答案．
【详解】解：过点P作交于点,
∵，
∴，
即，
作点关于的对称点，连接，则长即为的最小值；
则,
∴，
故选A．

8．B
【分析】连接CE，根据矩形ABCD和矩形BEFG都与三角形CBE同底等高，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接CE，
∵矩形ABCD的面积为，矩形BEFG的面积为，
∴＝2S△CBE，＝2S△CBE，
则＝．
故选：B．
9．D
【分析】把图形利用割补法得到矩形，然后作矩形的对角线找出中心，然后作出直线即可得解．
【详解】解：如图：
平分直线可以如图，可做出无数条，
故选：D．
10．C
【分析】过点C作，交的延长线于点G，可得四边形是平行四边形，，推出，即可判断结论A；由，可判断结论B；利用勾股定理即可判断结论D；根据选择题有唯一选项即可得出答案．
【详解】解：过点C作，交的延长线于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形的面积是定值，故A正确；
∵，
∴的值不变，故B正确；
∵，
∴，故D正确；
∴的值不变不成立，
故选：C．
11．A
【分析】根据矩形的性质可证是等边三角形，得，进而可得点C的坐标．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴点C的坐标为，
故选：A．
12．B
【分析】根据已知得线段、相等且平分，即可判断出为矩形．
【详解】解： ∵线段、相等且平分，
∴四边形为矩形．
故选：B．
13．D
【分析】先判断原命题正确，再判断原命题的逆命题错误即可得出结论．
【详解】解：原命题“矩形的两条对角线相等”正确；
逆命题“对角线相等的四边形是矩形”，也有可能是等腰梯形，故错误；
所以，原命题正确逆命题错误，
故选：D
14．B
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形全等的判定定理判断①；根据矩形的判定定理判断②．
【详解】解：①当两个等腰三角形的顶角对应相等时，它们的底角也对应相等，
∴底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题说法错误；
故选：B．
15．D
【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴添加的条件可以根据对角线相等的平行四边形是矩形说明是矩形，故D正确．
故选：D．
16．A
【分析】首先拼出各种类型的图形，如图，再根据四边形的判定判断是否是正方形、菱形、等腰梯形，矩形即可．
【详解】解：A.不论如何放置都不能判断所得的四边形是正方形，故本选项错误；
B.如图（1）所得的四边形是矩形；故本选项正确；

C.如图（3）所得的四边形是平行四边形，

垂直平分，
，又，
是等边三角形，
，
即平行四边形是菱形，
故本选项正确；
D.如图（2），所得的四边形是等腰梯形，

故本选项正确；
故选：A．
17．B
【分析】先证明四边形是矩形，是等边三角形，作于点G，求得，再根据四边形的面积为即可求解．
【详解】解：由旋转的性质知，，，
∴四边形是矩形，是等边三角形，
∴，
作于点G，

∴，
∵点，
∴，
∴，，
∴，
∵经过点，
∴四边形的面积为，
故选：B．
18．C
【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，

∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴只需要知道的面积即可求出的值；
故选C．
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，，交于点，则点为矩形的对称中心，依题意，一次函数的图象经过点，，则，代入解析式，即可求解；
（2）设，则点到轴的距离为，到轴的距离为，根据点的坐标为，得出，，根据的面积与的面积相等，得出，根据解析式为：，将代入，得出，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，连接，，交于点，则点为矩形的对称中心，

一次函数的图象平分矩形面积，
一次函数的图象经过点，
点的坐标为，
当，时，，
，
把，代入，可得，
解得；
（2）设，则点到轴的距离为，到轴的距离为，
点的坐标为，
，，
又的面积与的面积相等，
，即，
由题可得，解析式为：，
把代入，得，
点在上．
20．(1)见解析
(2)
(3)存在；
【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可；
（2）先求出点、点的坐标，然后用待定系数法求函数的表达式即可；
（3）作点关于直线的对称点；连接，交于点；此时三点共线，的值最小；
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：如图，作直线；
∵平分
∴
在矩形中，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵点的坐标为
∴
∴
∵点为中点
∴
设直线的函数表达式为：
将、代入得：

解得：
∴直线的函数表达式为：
（3）解：存在；
如图，作点关于直线的对称点；连接，交于点；
则
∴
故当三点共线时，的值最小
此时
∵平分，点的坐标为
∴点的坐标为
∵
∴
即：的最小值为
21．(1)2
(2)6
(3)①10°；②
【分析】（1）由矩形的性质得，，进而即可求解；
（2）先推出是等腰直角三角形，从而得，进而即可求解；
（3）①先求出，再利用三角形外角的性质求解即可；②连接，设的长为x．利用勾股定理列出方程求解即可.
【详解】（1）解：∵在矩形中，与交于点O，
∴，
∴与的周长之差=，
故答案为2；
（2）解：若平分，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴的面积=，
故答案为：6；

（3）当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：10°

解：连接，设的长为x．

∵矩形中，，又，
∴．
又∵，
∴在中，根据勾股定理得
解得
∴的长为．
22．见解析
【分析】延长至点，使，连结、，得出，根据是斜边上的中线，得出，进而推出四边形是平行四边形，由，得出四边形是矩形，进而得出，即可得出结论．
【详解】证明：延长至点，使，连结、，
则，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴.
23．(1)见解析
(2)①；②5．
(3)点Q坐标为或或．
【分析】（1）根据证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（2）①先证四边形是平行四边形，所以的面积是平行四边形AECD面积的，而，从而可求的面积，可得到S与m的函数关系式；②当时，四边形是菱形，所以，从而可列方程解出m的值，再代入S与m的关系式即可解答；
（3）点P在x轴或y轴或原点时三种情况讨论，可设点P坐标为或，根据勾股定理列方程求出p的值，得到点P坐标，再根据点平移坐标变化规律得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，
∵F是中点，
∴，
在和中，
∴，
∴．

（2）解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴S与m的函数关系式为；
②当时，则四边形是菱形
∴，
∵
∴，解得：，
∴．
（3）解：①如图：点P在x轴上，
设点P标为，则
∵四边形是矩形
∴
∴
∴ ，解得：
∴
∵平移得到
∴平移规律是横坐标减10，纵坐标减4，
∴点平移得到；

②如图：点P在y轴上，设点P标为，则
∵
∴ ，解得：
∵平移后得到
∴平移规律是横坐标减8，纵坐标减16.
∴平移后得到；

③当点P原点重合时，则点Q点B重合，此时点Q坐标为．
综上所述，点Q坐标为或或．
24．（1）（1，1）；（4，3）；（2）①m＝－1；②；（3）或
【分析】（1）根据矩形的性质可以得到AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，再根据A、C的坐标即可求解；
（2）①根据图像G经过D（4，3），把D点坐标代入函数解析式求解即可；
②利用①求得的结果画出函数G的图像，利用数形结合的思想求解即可；
（3）当m的值在变化的时候，我们可以看作把函数图像G进行上下平移，利用数形结合的思想求解即可.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
又∵A（1，3），C（4，1），
∴B（1，1），D（4，3）；
（2）①∵函数经过点D（4，3），
∴，
解得；
②由①得，
∴函数的解析式为，
∵函数的图像G与有两个交点，
∴由函数图像可知；
（3）∵函数的解析式为
∴当m的值在变化的时候，我们可以看作把函数图像G进行上下平移，
如图所示的函数图像，
当m减小时，函数向下平移，的图像向上平移，
由函数图像可知，当函数刚好经过C点时，此时其与矩形ABCD有唯一交点，与矩形也有唯一交点，此时有解得；当m的值继续变小时，此时函数与矩形没有交点，函数与矩形有唯一交点，当m减小到使得函数刚好没交点时，此时的临界点坐标为（2，3）即，解得，
∴当m在减小的时，时此时函数的图像G与矩形有唯一交点；
同理当m增大时，函数向上平移，的图像向下平移，
∴时此时函数的图像G与矩形有唯一交点；
∴综上所述：当或函数的图像G与矩形有唯一交点；
25．（1）①全等；②等腰；（2）四边形是菱形，理由见解析；（3）
【分析】（1）①根据矩形，折叠的性质可证即可求解；②根据矩形的性质可证即可求解；
（2）根据矩形，折叠的性质，菱形的判定方法即可求证；
（3）根据矩形、折叠的性质可得是等腰三角形，设，在中，，，，根据勾股定理可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：（1）①全等；②等腰，理由如下，
①∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，点与点重合，
∴，，且，
∴，
故答案为：全等；
②∵四边形是矩形，
∴，，
∵是折痕，点与点重合，
∴，即，，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：等腰．
（2）四边形AFCE是菱形，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
矩形沿折叠，点与点重合，
垂直平分，
，，
在和中，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
，
∴平行四边形是菱形．
（3）四边形是矩形，
，，且，
∴，
由翻折的性质可知，，，
，
，
，
，即是等腰三角形，
设，
在中，，，，
∴，即，解得，
，
．
26．能．理由见解析
【分析】根据这一个角为直角的平行四边形，即矩形判断即可．
【详解】能，如图，
依题意,,，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
27．(1)平行四边形，理由见解析
(2)①矩形，理由见解析；②或
【分析】（1）证明，即可求解；
（2）①证明四边形是平行四边形和，即可求解；②由，得到，则，，进而求解．
【详解】（1）解：由题意得：，，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）①且，
四边形是平行四边形，
，
且，，
，即，
四边形是矩形；
②如图，过点作，过点作于点，于点，

，
，
，
，
则，，
四边形是正方形，
平移后，
则或．
28．先测量，，，，，的长度，若，，，则门的四个角都是直角，理由见解析
【分析】利用对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形为矩形，
这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形．
29．10
【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义进行解答即可；
【详解】∵矩形
的角平分线与相交于点E
故答案为 10.
30．/
【分析】由题意可知，，，从而由勾股定理可求出．再根据等腰直角三角形的性质可求出，进而可求出，，最后根据矩形的面积公式即可求出中间矩形的面积．
【详解】如图，
由题意可知，，,
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴
∴，，
∴中间的矩形的面积是．
故答案为：．
31．2或4
【分析】由旋转的性质可得，，，，由三角形中位线定理可得，，，由折叠的性质可得，由勾股定理求解．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，并延长交直线于N，
∵，，，
∴，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转90°得到，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵点M为的中点，点H为直线的中点，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵点M为的中点，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将沿翻折，
∴，
∴，
当点G在线段上时，，
当点G在线段上时，，
故答案为：2或4．
32．
【分析】如图：作于，先证可得，再说明，然后证明四边形是矩形得到，最后根据即可解答．
【详解】解：如图：作于，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
的坐标是，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
故答案为：．