新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.2 7.2.3 第2课时　三角函数的诱导公式(五～六) 课件

第2课时　三角函数的诱导公式(五～六)

知识点1　诱导公式(五)

终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：

sin＝cos α；

cos＝sin α．

1．角与角的三角函数值有什么关系？

[提示]　sin ＝cos ＝，cos ＝sin ＝．

2．角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？

[提示]　关于直线y＝x对称．

1．若cos(α＋π)＝－，则sin＝________．

　[由条件知，cos α＝，所以sin＝－sin＝－sin＝sin＝cos α＝．]

知识点2　诱导公式(六)

＋α型诱导公式(公式六)：

sin＝cos α；

cos＝－sin α．

3．如何由公式三及公式五推导公式六？

[提示]　sin＝sin

＝sin＝cos α．

cos＝cos＝－cos＝－sin α．

2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)诱导公式中角α是任意角． (　　)

(2)sin(90°＋α)＝－cos α． (　　)

(3)cos＝－sin α． (　　)

[提示]　(1)如tan(π＋α)＝tan α中，α＝不成立．

(2)sin(90°＋α)＝cos α．

(3)cos＝cos＝cos＝－sin α．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

类型1　利用诱导公式给值求值

【例1】　(1)已知sin＝，则cos的值是________．

(2)已知sin＝，则cos的值是________．

(3)已知sin(π＋A)＝－，则cos的值是______．

(1)　(2)－　(3)－　[(1)∵＋＝，

∴＋α＝－，

∴cos＝cos

＝sin＝．

(2)∵sin＝，

∴sin＝－．

又∵＋＝，

∴cos＝cos＝sin＝－．

(3)∵sin(π＋A)＝－sin A＝－，

∴cos＝cos＝－cos＝－sin A＝－．]

[母题探究]

1．(变条件)本例(1)中条件变为sin＝，问题不变．

[解]　∵＋＝，

∴cos＝cos＝－sin＝－．

2．(变结论)本例(1)条件不变，求cos的值．

[解]　cos＝cos

＝－sin＝－．

1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．

2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．

1．已知cos＝，求sin的值．

[解]　∵α＋＝＋，

∴sin＝sin＝cos＝．

类型2　利用诱导公式化简求值

【例2】　已知α是第三象限角，且

f(α)＝．

(1)化简f(α)；

(2)若cos＝，求f(α)．

[解]　(1)f(α)＝

＝＝－cos α．

(2)因为cos＝，

所以sin α＝－，又α是第三象限角，

所以cos α＝－＝－，

所以f(α)＝－cos α＝．

用诱导公式化简求值的方法

1对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.

2对于kπ±αk∈Z和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.

2．已知cos＝，求＋的值．

[解]　原式＝＋

＝－sin α－sin α＝－2sin α．

又cos＝，

所以－sin α＝．

所以原式＝－2sin α＝．

类型3　诱导公式在三角形中的应用

【例3】　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．

[思路点拨]　―→

[解]　∵A＋B＋C＝π，

∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．

又∵sin＝sin，

∴sin＝sin，

∴sin＝sin，

∴cos C＝cos B．

又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，

∴△ABC为等腰三角形．

1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．

2．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos；cos＝sin．

3．已知f(α)＝．

(1)化简f(α)；

(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．

[解]　(1)f(α)＝＝cos α．

(2)因为f(A)＝cos A＝，

又A为△ABC的内角，

所以得sin A＝＝，

所以tan A＝＝，

所以tan A－sin A＝－＝．

1．若sin＝，则cos α＝(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C．     D．

C　[sin＝sin＝sin＝cos α＝．]

2．已知tan θ＝2，则等于(　　)

A．2     B．－2

C．0     D．

B　[＝＝＝＝－2．]

3．若cos(π＋α)＝，则sin＝________．

－　[∵cos(π＋α)＝－cos α＝，

∴cos α＝－，

∴sin＝cos α＝－．]

4．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________．

　[因为cos α＝，且α为第四象限角，

所以sin α＝－＝－，

所以cos＝－sin α＝．]

5．化简：sinsin－sinsin＝________．

－1　[sinsin－sinsin＝－sin2α－cos2α＝－1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？

[提示]　P2(y，x)．

2．用诱导公式化简求值的方法是什么？

[提示]　一般遵循诱导公式先行的原则．即：先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，保证三角函数名最少．

3．你认为本节课常见的变化技巧有哪些？

[提示]　＋α＝－⇔＋＝；

＋α＝－⇔＋＝；

－＝等．