新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.3 7.3.2 第2课时　正弦、余弦函数的图象与性质 课件

第2课时　正弦、余弦函数的图象与性质

知识点　正弦函数、余弦函数的图象与性质

1．正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？

[提示]　不正确．正弦函数在每个闭区间(k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．

2．y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0<m<n<2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？

[提示]　由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝sin是奇函数．  (　　)

(2)函数y＝3sin 2x是周期为π的奇函数． (　　)

(3)y＝sin x在上是减函数． (　　)

(4)y＝cos x的值域为(－1,1)．  (　　)

[提示]　(1)∵y＝sin＝cos x，∴是偶函数．

(2)T＝＝π．f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin 2x，故为奇函数．

(3)y＝sin x在上是增函数．

(4)y＝cos x的值域为[－1,1]．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．函数y＝sin x＋1的值域是________．

　[由sin x∈[－1,1]，得sin x∈，

所以sin x＋1∈．]

3．函数y＝sin(2x＋π)的对称中心是________．

，k∈Z　[y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，

由2x＝kπ得x＝(k∈Z)，

∴y＝sin(2x＋π)的对称中心为，k∈Z．]

类型1　求正弦、余弦函数的单调区间

【例1】　求函数y＝2sin 的单调区间．

[解]　令z＝x－，则y＝2sin z．

∵z＝x－是增函数，

∴y＝2sin z是增(减)函数时，

函数y＝2sin 也是增(减)函数．

由z∈(k∈Z)，

得x－∈(k∈Z)，

即x∈(k∈Z)，

故函数y＝2sin 的增区间为(k∈Z)．

同理可求函数y＝2sin 的减区间为(k∈Z)．

[母题探究]

求函数y＝2sin 的减区间．

[解]　y＝2sin ＝－2sin ，

令z＝x－，而函数y＝－2sin z的减区间是(k∈Z)．

∴原函数递减时，得－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

∴原函数的减区间是(k∈Z)．

求正、余弦函数的单调区间的策略

1结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.

2在求形如y＝Asinωx＋φA>0，ω>0的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acosωx＋φA>0，ω>0的函数的单调区间同上.

1．求下列函数的增区间：

(1)y＝cos 2x；(2)y＝sin，x∈．

[解]　(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，

所以kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，

所以函数y＝cos 2x的增区间为(k∈Z)．

(2)因为y＝sin ＝－sin ，

所以函数y＝sin 的增区间就是函数y＝sin 的减区间，

由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得

2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z．

因为x∈，

所以所求函数的增区间为．

类型2　比较三角函数值的大小

【例2】　用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

(1)sin 194°与cos 160°；

(2)cos ，sin ，－cos ；

(3)sin与sin．

[解]　(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，

cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°．

∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在区间(0°，90°)内是增函数，

∴sin 14°<sin 70°，∴－sin 14°>－sin 70°，

∴sin 194°>cos 160°．

(2)sin ＝cos，－cos ＝cos，

∵0<π－<－<<π，

函数y＝cos x在(0，π)上是减函数，

∴cos>cos>cos ，

即－cos >sin >cos ．

(3)cos ＝cos＝sin ．

∵0<<<，函数y＝sin x在内是增函数，

∴sin <sin ，∴cos <sin ．

而0<cos <sin <1，

函数y＝sin x在(0,1)内是增函数，

∴sin<sin．

比较三角函数值大小的步骤

1异名函数化为同名函数；

2利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；

3利用函数的单调性比较大小.

2．比较大小：(1)cos 与cos ；

(2)sin 与cos ．

[解]　(1)cos ＝cos ＝cos ＝

－cos ，而cos ＝－cos ，

∵0<<<，∴cos >cos ．

∴－cos <－cos ，∴cos <cos ．

(2)∵cos ＝sin ，

<<＋<π，

又y＝sin x在上是减函数，

∴sin >sin ＝cos ，即sin >cos ．

类型3　与三角函数有关的值域问题

【例3】　(1)求函数y＝2sin的最大值和最小值；

(2)求函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈的值域．

[解]　(1)∵－≤x≤，

∴0≤2x＋≤，

∴0≤sin≤1，

∴当sin＝1时，取得最大值2；

当sin＝0时，取得最小值0．

(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3

＝2sin2x＋2sin x＋1

＝2＋．

∵x∈，

∴≤sin x≤1．

当sin x＝1时，取得最大值5；

当sin x＝时，取得最小值．

∴函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3的值域为．

[母题探究]

1．(变条件)将本例(1)中“－≤x≤”改为“－≤x≤”，求y＝2sin的最值．

[解]　∵－≤x≤，

∴－≤2x＋≤，

∴－≤sin≤1，

∴当sin＝1时，取得最大值2，

当sin＝－时，取得最小值－．

2．(变条件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sin x＋3”改为“y＝－2cos2x＋2cos x＋3”，其它条件不变，求值域．

[解]　y＝－2＋，

∵x∈，

∴－≤cos x≤．

当cos x＝时，取得最大值．

当cos x＝－时，取得最小值－．

1．求形如y＝Asin x＋B或y＝Acos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．

2．求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．

3．求下列函数的值域．

(1)y＝cos ，x∈；

(2)y＝cos2 x－4cos x＋5．

[解]　(1)由y＝cos ，x∈可得x＋∈，

因为函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为．

(2)y＝cos2 x－4cos x＋5，令t＝cos x，则－1≤t≤1．

y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，

当t＝－1，函数取得最大值10；

t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2,10]．

1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)

A．增函数　　　　　　　 B．减函数

C．先减后增函数     D．先增后减函数

C　[因为y＝cos x在区间上先增后减，

所以y＝－cos x在区间上先减后增．]

2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)

A．y轴     B．x轴

C．直线x＝     D．直线x＝π

C　[当x＝时，y取最大值，∴x＝是一条对称轴．]

3．函数y＝sin的增区间是________．

(k∈Z)　[令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤＋kπ(k∈Z)．]

4．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．

cos 150°＜cos 760°＜sin 470°　[cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，

cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，

所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°．]

5．函数y＝2cos ，x∈，函数的最小正周期为________，值域为________．

π　[－1,2]　[由T＝知T＝＝π即函数最小正周期为π．

∵x∈，∴2x＋∈，

∴cos∈，∴函数的值域为．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．如何求函数y＝sin x，x∈上的值域？

[提示]　借助函数y＝sin x在上的单调性求解．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，x∈R的最大值为A＋B吗？

[提示]　不一定．A>0时最大值为A＋B，A<0时最大值应为B－A．

3．如何比较三角函数值的大小？

[提示]　若函数名称相同，直接利用诱导公式化到同一个单调区间上利用函数单调性比较．若函数名称不同，应先化为同名三角函数再化到同一单调区间最后比较大小．

4．求函数单调区间时若x的系数为负，应怎样处理？

[提示]　利用诱导公式将x的系数化为正再求单调区间．