2024恩施鄂西南三校联盟高二上学期9月月考试题数学含解析

这是一份2024恩施鄂西南三校联盟高二上学期9月月考试题数学含解析，共29页。试卷主要包含了选择题的作答，考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
命题人：徐小华 审题人：郑 伟
本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷、草稿纸上无效．
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（ ）

A. 点AB. 点B
C. 点C但不过点MD. 点C和点M
4. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数
B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变
C. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
D. 数据的方差为，则数据的方差为
5. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，返回舱呈钟形，将其近似地看作一个半球（上）和一个圆台（下）组合体，其中半球的半径为1米，圆台的上底面与半球的底面重合，下底面半径为1.2米，若圆台的体积是半球的体积的2倍，则圆台的高约为（ ）

A. 1.0米B. 1.1米C. 1.2米D. 1.3米
6. 如图所示，内有一点满足，过点作一直线分别交于点.若，则（ ）

A. B. C. D.
7. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（ ）
A B. C. D.
8. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数2B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8D. 平均数为2，方差为2.4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的充要条件
B. 在中，若，，，则
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若，则为钝角三角形
11. 抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，记事件“关于的方程无实根”，事件”，事件“”，事件“20”，则（ ）
A 与互斥B. 与对立
C. 与相互独立D. 与相互独立
12. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为
C. 过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知， ，若，则_________．
14. 三棱锥中，，，，则______．
15. 分子式是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料广泛应用于民用和工业中. 近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加. 深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等. 请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为___________.

16. 中，，，，D是BC上一点且，则的面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，函数.
（1）求函数的值域和单调递增区间；
（2）当，且时，求的值.
18. 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）证明：；
（3）求三棱锥的体积．
19. 甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件．
（1）求这2个零件均质检合格概率；
（2）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率.
20. 在中，三个内角所对的边分别是，，，且．
（1）求；
（2）当取最大值时，求的面积．
21. 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
22. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.鄂西南三校高二年级9月联考
数学试卷
命题人：徐小华 审题人：郑 伟
本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷、草稿纸上无效．
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算和模长公式可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，.
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合，利用交集的运算求出结果.
【详解】∵，
，
∴.
故选：A.
3. 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（ ）

A. 点AB. 点B
C. 点C但不过点MD. 点C和点M
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面的基本事实，结合图形，即可判断选项.
【详解】∵直线，过三点的平面记作，
∴与的交线必通过点和点，
故选：D．
4. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数
B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变
C. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
D. 数据的方差为，则数据的方差为
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、方差的计算公式和性质逐项分析即可.
【详解】对于A，直方图大体如下图：

由于是“右拖”，最高峰偏左，则中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，故A选线错误；
对于B，设这组数据为，则平均数为，方差为，
则减后，平均数为，方差为，
所以是平均数改变，方差不变，故B选项错误；
对于C，由题意，可知平均数为，所以总和，故C选项正确；
对于D，设数据的平均数为，则有，方差为，
设数据的平均数为，则，方差为，故D选项错误.
故选：C.
5. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，返回舱呈钟形，将其近似地看作一个半球（上）和一个圆台（下）的组合体，其中半球的半径为1米，圆台的上底面与半球的底面重合，下底面半径为1.2米，若圆台的体积是半球的体积的2倍，则圆台的高约为（ ）

A. 1.0米B. 1.1米C. 1.2米D. 1.3米
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆台的体积公式与球体的体积公式，建立方程，求得圆台的高.
【详解】由圆台的体积公式，以及球体的体积公式，
，解得，
圆台的高约为米.
故选：B.
6. 如图所示，内有一点满足，过点作一直线分别交于点.若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形重心向量表达式，结合共线向量的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，所以G为的重心，
所以，
所以且，所以，
故选：B
7. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算次数，最后根据古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为8；
正整数7的部分运算过程为，
当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知，
正整数7总的运算次数为；
正整数8的运算次数为3；
正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3，
由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为．
正整数10的运算次数为6；
故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，
从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为：
，共种，
其中的运算次数均为偶数的方法总数为：，共种，
故运算次数均为偶数的的概率为，
故所求概率．
故选：C.
8. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数2B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8D. 平均数为2，方差为2.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案．
【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：，
方差为，
可以出现点数6，故C错误；
对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差，
则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确．
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】化简得到，根据得到，从而得到，求出答案.
【详解】，
因为，，所以，
要想区间上有零点，
则，解得，
故的值可以是，；
故选：BD
10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 是充要条件
B. 在中，若，，，则
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若，则为钝角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接利用正弦定理的和大边对大角判断A的结论，利用正弦定理和三角函数的值判断B的结论，利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用判断C的结论，利用向量的数量积和余弦定理的应用判断D的结论．
【详解】对于A：由正弦定理，整理得，所以，由，所以，利用正弦定理，故是的充要条件，故A正确；
对于B：在中，若，，，利用正弦定理：，所以，由于，则或均符合题意，故B错误；
对于C：若，，则，所以，
又，所以，即，当且仅当时，等号成立，
故，故C正确；
对于D：，故，由于，所以，故为钝角三角形，故D正确．
故选：ACD．
11. 抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，记事件“关于的方程无实根”，事件”，事件“”，事件“20”，则（ ）
A. 与互斥B. 与对立
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】BCD
【解析】
【分析】先用列举法写出一次试验的基本事件，再根据条件写出事件包含的基本事件即可判断出选项A和B的正误；再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果.
【详解】由题意得，
，，
包含36个样本点.
由，得，
所以，，，，共包含30个样本点，，，共包含6个样本点，与不互斥，故选项错误；
又，，
共包含18个样本点，，共包含6个样本点，所以与对立，故选项B正确；
选项C，因为，
所以，故与相互独立，故选项C正确；
选项D，因为，所以，故与相互独立，故选项正确.
故选：BCD.
12. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为
C. 过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用锥体的体积公式可判断A；求出三棱锥外接球的半径与体积可判断B；作出截面图形，利用三角形的面积公式可判断C；计算出点到平面的距离，以及的取值范围，结合线面角的定义可判断D.
【详解】对于A，因为且，故四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，平面，
，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
，
，故A错误；
对于B，当点与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
正方体的外接球直径为，，
故三棱锥外接球的体积为，故B正确；
对于C，且，则四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为平面，，平面，
所以，平面平面，
所以，过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，
是边长为的等边三角形，该三角形的面积为，故C错误；

设点到平面的距离为，由知，
点到平面的距离为，
当点在线段上运动时，因为，
若为的中点时，，，
当点为线段的端点时，，即，
设直线与平面所成角为，，故D正确.
故选：BD．
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知， ，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由垂直向量的数量积为零，直接列方程求解即可.
【详解】因为，，且，
所以，解得：.
故答案为：.
14. 三棱锥中，，，，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据向量的减法运算，结合数量积的运算，可求得答案.
【详解】由题意得，故，

,
故答案为：-2
15. 分子式是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料广泛应用于民用和工业中. 近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加. 深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等. 请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为___________.

【答案】
【解析】
【分析】画出几何体，由几何体的结构特征求出碳氢键的键长，利用余弦定理进行求解即可.
【详解】如图：

设正四面体的棱长为，正三角形中，，
正四面体的高，
设,则中，
,
即,
解得即
则中，
即甲烷碳氢键的键角的余弦值为
故答案为：
16. 中，，，，D是BC上一点且，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角的余弦函数公式可求，利用诱导公式可求，可求，利用两角和的正弦函数公式可求，在中，由余弦定理可得AB，在中，由正弦定理可得AD，即可根据三角形的面积公式计算得解的值．
【详解】，，，
在中，由正弦定理，可得：，
解得：，可得：，
，
，
，可得：，
，
在中，由余弦定理可得：，
解得：，或3．
，，可得：，可得：，与矛盾，
，在中，由正弦定理，可得：，
．故答案为．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 已知向量，，函数.
（1）求函数的值域和单调递增区间；
（2）当，且时，求的值.
【答案】（1）值域是；（）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换可得，进而结合三角函数性质运算求解；
（2）根据题意可得，结合倍角公式运算求解.
小问1详解】
，
当，即时，取到最大值；
当，即时，取到最大值；
所以函数的值域是；
令，解得，
所以函数的单调增区间为.
【小问2详解】
因为，可得，
因为，则，
可得，
所以.
18. 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）证明：；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
分析】（1）根据线线平行，即可证明线面平行；
（2）根据线面垂直的性质定理，以及线面垂直的判断定理，即可求解；
（3）利用等体积转化，求三棱锥的体积.
【小问1详解】
证明：设，连接．

在四棱柱中，是正方形，
所以为中点．
又因为为中点，所以．
因为面面，
所以面．
【小问2详解】
证明：在四棱柱中，面．
因为面，所以．
在正方形中，．
又因为面面，
所以面．
因为面，所以．
【小问3详解】
在四棱柱中，
因为面，所以是三棱锥的高．
所以．
19. 甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件．
（1）求这2个零件均质检合格的概率；
（2）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）所求事件为两个相互独立事件的积事件，先分别将两事件转化为互斥事件的和事件，再利用概率加法公式求它们的概率，最后由相互独立事件的积事件概率乘法公式可求；
（2）所求事件为“这2个零件的价格之和不低于100元”，转化为“两个均质检合格”、“甲不合格乙一等品”、“乙不合格甲一等品”三个互斥事件的和事件，分别求解再利用概率加法公式求解即可.
【小问1详解】
（Ⅰ）设事件表示“甲加工的零件质检合格”，事件表示“甲加工的零件首次质检合格”，事件表示“甲重新加工的零件再次质检合格”；设事件表示“乙加工的零件质检合格”，事件表示“乙加工的零件首次质检合格”，事件表示“乙重新加工的零件再次质检合格”．
由题意知，，，且事件与，与互斥，事件与，与，与相互独立.
则，
.
所以.
【小问2详解】
（Ⅱ）设事件表示“这2个零件的价格之和不低于100元”，则，
，
，
则.
20. 在中，三个内角所对的边分别是，，，且．
（1）求；
（2）当取最大值时，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）向量化结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
由正弦定理可得，整理得到：，
所以，
而，故；
【小问2详解】
因为，故，
故，所以，
故，
整理得到，
故，当且仅当，即时等号成立，
故此时，对应的的面积为．
21. 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
【答案】（1）
（2）① ；②10
【解析】
【分析】（1）根据百分位数的定义结合频率分布直方图中的数据，计算即可；
（2）①由列举法结合古典概型的概率公式计算即可；②由方差的计算公式求解即可.
【小问1详解】
设这人的平均年龄为，则
（岁．
设第80百分位数为，
方法一：由，解得．
方法二：由，解得．
【小问2详解】
①由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙．
对应的样本空间为：，，（，甲），（，乙），，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙），，（甲，乙），（甲，），（乙，），共15个样本点．
设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲），（，乙），（，甲），（，乙），（，甲），（，乙），（甲，乙），（甲，），（乙，，共有9个样本点．
所以，．
②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，．
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10．
22. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3），.
【解析】
【分析】（1）通过证明结合平面平面可证明结论；
（2）取中点，连接，，通过说明，可得为二面角的平面角，后由题目条件结合余弦定理可得答案；
（3）当点M在F点时，由（2）可知答案；当M在点E时，过B作，且使，连接，，则由题目条件可得；当与，都不重合时，令，延长交的延长线于，连接，过作交于，连接，通过说明，可得.后综合三种情况可得答案.
【小问1详解】
证明：在梯形中，，，，，，
，，平面平面，平面平面，平面，平面.
【小问2详解】
解：取中点，连接，，
，，，
，，为二面角的平面角.
，，，，
.
【小问3详解】
由（2）知：
①当与重合时，；
②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，，，平面ABC，平面ABC，，平面，平面，，，；

③当与，都不重合时，令，，延长交的延长线于，连接，在平面与平面的交线上，在平面与平面的交线上，平面平面，
过作交于，连接，
由（1）知，，又，平面，，
平面，平面，.
又，平面ACH，，平面，，.
在中，，从而在中，，
，，.，.
综上所述，，.
【点睛】方法点睛：本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小，对于此类问题可在两半平面内过交线上一点作交线的垂线；也可找到与交线垂直的平面，则垂面与半平面交线所形成的角即为所求平面角.