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初中数学北师大版八年级上册1 函数教案设计
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这是一份初中数学北师大版八年级上册1 函数教案设计，共32页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。
1.认识变量、常量，并学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.逐步感知变量之间的关系.
2.了解函数的三种表达方式.
3.经历观察、分析、思考等数学活动，发展合情推理，有条理、清晰地阐述自己的观点.
4.让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
【教学重点】
认识变量、常量，用式子表示变量间的关系.
【教学难点】
用含有一个变量的式子表示另一个变量.
一、创设情境，导入新课
教材第75页内容.
【教学说明】用学习身边熟悉的娱乐活动引入，提出问题引发思考，激发了学生强烈的求知欲望.
二、思考探究，获取新知
函数的概念.
做一做并思考：
教材第76页“做一做”.
【教学说明】学生通过观察、思考、探究的形式，体会当一个变量变化，另一个量也随之发生变化的过程，为下面理解函数的概念做了充分准备.
【归纳结论】在上面的案例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
函数的表示方法一般有：列表法、关系式法和图象法.
讨论：上述问题中，自变量能取哪些值？
【教学说明】不同的学生可能答案不一样.但是这是一个实际问题，自变量要符合本题的实际意义，不能认为是任意实数.
【归纳结论】对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的函数值.
三、运用新知，深化理解
1.现将500本笔记本捐助给贫困学生，每人5本，写出余下的笔记本数y（本）和学生数x（名）之间的关系式为 ，自变量x的取值范围是 .
2.某型号的汽车在路面上的制动距离s=v2/256，其中变量是（ ）
A.s,v B.s,v2 C.s D.v
3.写出下列问题中满足的关系式，并指出各个关系式中哪些是常量，哪些是变量？
（1）用总长为6m的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S与另一边长x之间的关系式；（2）用总长为l的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为60m2，求l与x之间的关系式.
【教学说明】让学生独立做，加强对函数及有关概念的理解，教师通过学生反馈的信息了解他们掌握知识的情况，及时处理学生中的疑难问题并加强训练.
【答案】1.y=500-5x，0≤x≤100且x为整数；
2.A 3.（1）S=x（3-x）=3x-x2，其中3是常量，x、S是变量；（2）l=2（60/x+x），其中60、2是常量，l、x是变量.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾函数、变量、常量、函数值等概念.
2.通过本节课的学习，谈谈你有什么收获？还有哪些不足？请与同学交流.
【教学说明】教师引导学生回顾本课有关知识点，学生大胆发言，对知识进行归纳整理，有助于消化理解.
1.布置作业：习题4.1第1、2题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
函数是学生接触的最新鲜的事物，不容易理解.在教学的过程中，要通过案例不断让学生去体会函数的意义，便于今后的实际运用.
2 一次函数与正比例函数
1.掌握一次函数与正比例函数的一般形式并学会判断.
2.知道一次函数与正比例函数之间的关系，能利用一次函数和正比例函数解决实际问题.
3.通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和辨别能力.
4.利用学生独立思考、合作探究的学习形式培养学生科学的思维方法和良好的学习习惯.
【教学重点】
一次函数与正比例函数的概念
【教学难点】
利用一次函数与正比例函数的关系式解决实际问题.
一、创设情境，导入新课
教材第79页“做一做”上方的内容.
【教学说明】从跟物理学有关的问题入手，体现了各学科之间是相互联系相互渗透的.同时也让学生认识到数学与现实生活是密不可分的，人们的需要产生了数学，调动他们学习数学的积极性.
二、思考探索，获取新知
1.一次函数和正比例函数的概念.
做一做并思考：
教材第79页“做一做”.
【教学说明】由这些简单的实例让学生分析问题中各个量之间的关系，从现实生活中抽象出数学模型，找到建立数学关系的方法，也为导出一次函数与正比例函数的概念做好铺垫.
你能利用我们刚学的知识解决下面的问题吗？请看：
教材第79~80页例1
【教学说明】通过对具体实例的分析，既消化了学生对一次函数和正比例函数的理解，又能为今后运用他们解决稍复杂的实际问题打下基础，同时也加强了它们之间的联系和区别.
2.一次函数的实际应用.
教材第80页例2.
【教学说明】教师可以引导学生完成，让学生学习已知自变量的值求对应的函数值和已知函数值求自变量的值的方法.体现了一次函数与一元一次方程的密切联系，为后面的学习奠定了基础.
三、运用新知，深化理解
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
2.函数y=（2m-1）xn+3+（m-5）是一次函数的条件是（ ）
A.m≠且n≠-3
B.n=-2
C.m≠且n=-2
D.m≠且m≠5，n=-2
3.若每上6个台阶就升高1m，则上升高度h（m）与上的台阶数m之间的函数关系式为 .h是m的 函数.
4.滑车以每分1.5米的速度匀速从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为50米.
（1）求滑车滑行轨道剩下的路程S（米）和滑行时间t（分）之间的关系式.
（2）如果滑行时间为12分钟，求剩下的路程.
（3）若剩下的路程为20米，那么它滑行的时间为多少分钟？
【教学说明】让学生独立完成，加深对一次函数和正比例函数的理解，同时也对所学的知识也是个检验，教师及时纠正并有针对性地加强训练.
【答案】1.C. 2.C. 3.h=m/6(m)，一次（或正比例）.
4.解：（1）S=50-1.5t；
（2）32（米）；（3）20（分）.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾一次函数与正比例函数的一般形式.
2.本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？还有什么疑问？请与大家交流.
【教学说明】让学生参与小结并允许学生发表各自的见解，增加了学生的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考的习惯；同时也强调了本节课的重点，巩固了学习内容.
1.布置作业：习题4.2第1、2、3题
2.完成练习册中本课时相应练习..
通过学生反馈的情况来看，绝大部分学生掌握得较好，但对于正比例函数是特殊的一次函数这种情况容易忽略.同时还有极少部分同学运用一次函数的一般形式解决实际问题不是相当熟练.在今后的教学中要花一定的时间不断完善提高.
3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
1.会利用描点法或两点法画出正比例函数的图象.
2.掌握正比例函数的性质.
3.通过对应描点来研究正比例函数的图象，经历知识的归纳、探究过程和利用正比例函数的图象归纳函数性质，体验数形结合的方法.
4.通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美.
【教学重点】
正比例函数的图象和性质.
【教学难点】
由正比例函数的图象归纳得出正比例函数的性质及对性质的理解.
一、创设情境，导入新课
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）.前面第1节就是摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间函数关系的图象.
正比例函数y=kx的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？下面，我们一起去研究吧！
【教学说明】给出函数图象的定义，学生一目了然，结合实例便于学生理解它的含义，为下面学习画函数图象指明了方向.
二、思考探究，获取新知
1.正比例函数图象的画法：
思考：（1）你准备来用什么方法画出正比例函数y=2x的图象？
（2）画出函数图象的一般步骤有哪些？
【教学说明】让学生经历列表、描点、连线等画函数图象的具体过程，既可以加深对图象意义的认识，了解图像上点的横、纵坐标与自变量值、函数值之间的对应关系，又为学习如何画函数图象及对用描点法画函数图象的一般步骤进行归纳做了准备.
【归纳结论】画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
做一做：
（1）画出正比例函数y=-3x的图象.
（2）在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证他们是否都满足关系式y=-3x.
讨论：①满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x的图象上吗？
②正比例函数y=-3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-3x吗？
③正比例函数y=kx的图象有何特点？你是怎样理解的？
【教学说明】加强学生用描点法画正比例函数图象的方法，体会函数图象上的点都满足函数关系式，并通过观察得出正比例函数图象的特点.
【归纳结论】正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0,0）的直线.因此，画正比例函数图象时，只需要再确定一个点，过这点和原点画直线就可以了.
2.正比例函数图象的性质
做一做：
在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x，y=3x，y=-x和y=-4x的图象.
思考：上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？
【教学说明】利用正比例函数的图象学生很直观地归纳出正比例函数的增减性.注意不要受算术中正比例概念的影响，片面地认为正比例函数总是随着自变量的增加而增加，它的增或减是由k的正或负决定的.
【归纳结论】在正比例函数y=kx中，
当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；
当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.
讨论：
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？
（2）类似地，正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
【教学说明】通过图象让学生进一步体会正比例函数增减的快慢是由｜k｜决定的，加深了对正比例函数图象性质的理解.
三、运用新知，深化理解
1.若函数y= 是正比例函数，则m= .
2.若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是 .
3.已知点P（1，m）在正比例函数y=4x的图象上，那么点P的坐标是（ ）.
A.（1,4）
B.（-1，-4）
C（1，-4）
D.（-1,4）
4.已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则（ ）
A.y随x的增大而增大
B.y随x的增大而减小
C.当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
D.无论x如何变化，y不变.
5.小刚以2千米/时的速度匀速从甲地行走到乙地，甲乙两地的距离为12千米.
（1）求小刚行走的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系式以及自变量t的取值范围.
（2）画出图象.
（3）根据图象说明当t增大时，s增大还是减小？
【教学说明】教师让学生自主完成，加强对正比例函数图象和性质的理解和反馈学生对知识的掌握情况，便于及时矫正强化.
【答案】
1.-2；2.m＞；3.A；4.B
5.解：（1）s与t的关系式为s=2t，自变量t的取值范围是0≤t≤6.
（2）是以O（0，0）和（6，12）为端点的一条线段.
（3）由图象可知当t增大时，s也增大.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾正比例函数图象的画法以及它的性质.
2.本节课你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？请与大家交流.
【教学说明】引导学生回顾本课所学知识，对知识进行归纳整理，找出不足便于教师及时调整，做到当堂消化.
1.教材习题4.3第1、2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课通过实际操作了解正比例函数图象的画法及利用图象说明其性质，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考讨论知道了正比例函数不同表现形式的转化方法和图象的简单画法，为后面学习一次函数奠定了基础.
第2课时 一次函数的图象和性质
1.理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系.
2.会利用两个合适的点画出一次函数的图象.
3.掌握一次函数的性质.
4.通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题.
5.在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.
【教学重点】
一次函数的图象和性质.
【教学难点】
由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.
一、创设情境，导入新课
我们知道正比例函数y=-2x的图象是过原点的一条直线，那么一次函数y=-2x+1的图象又是怎样的呢?它们之间有什么位置关系？下面一起研究一次函数y=kx+b的图象.
【教学说明】利用所学知识“最近发展区”——正比例函数的图象及性质，为类比、探究一次函数的图象及其性质作好铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.一次函数的图象.
（1）你能用描点法画出一次函数y=-2x+1的图象吗？
（2）通过上面画一次函数的图象想一想一次函数y=kx+b的图象有什么特点，对此你是怎样理解的？
【教学说明】在学生已经知道正比例函数的图象是一条直线的基础上，通过对应描点法来画出一次函数的图象，可以说是得心应手，减轻了学生心理上的压力.
【归纳结论】一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
2.一次函数的性质.
做一做：
在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=2x+3，y=-x，y=-x+3和y=5x-2的图象.
讨论：
（1）上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？
（2）直线y=-x与y=-x+3的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线y=-x变为直线y=-x+3吗？一般地，直线y=kx+b与y=kx又有怎样的位置关系呢？
（3）直线y=2x+3与直线y=-x+3有什么共同点？一般地，你能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值吗？
【教学说明】进一步巩固一次函数图象的画法，并为探究一次函数的性质做准备.让学生利用图象观察体验y=kx与y=kx+b两者之间的位置关系，从而得出函数y=kx+b的图象实际上是对直线y=kx上的所有点进行平移的结果，同时还让学生明白b的值就是图象与y轴交点的纵坐标.
【归纳结论】一次函数y=kx+b的图象经过点（0，b）.当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.
三、运用新知，深化理解
1.已知一次函数y=mx+｜m+1｜的图象与y轴交于点（0,3），且y随x值的增大而增大，则m的值为 .
2.一次函数y=3x-4的图象不经过（ ）.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.下列一次函数中，y随x值的增大而减小的是（ ）.
A.y=2x-1
B.y=3-4x
C.y=x+2
D.y=（5-2）x
4.一次函数y=（3a-1）x+5图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则a的取值范围是（ ）.
A.a＞0
B.a＜0
C.a＞
D.a＜
5.如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数的表达式.
【教学说明】让学生独立完成，加强对所学知识的理解，及时反馈教学效果，查漏补缺.对有困难的学生给予鼓励和帮助，并进行强化.
【答案】1.2 2.B 3.B 4.D
5.解：设直线OA的关系式为y=kx，把（-2,4）代入得k=-2，所以y=-2x，将直线OA向上平移2个单位之后一次函数的表达式为：y=-2x+2.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾一次函数图象的性质和它与正比例函数图象之间的关系.
2.本节课你掌握了哪些知识？觉得哪些是大家需要注意的？与同学们分享.
【教学说明】教师引导学生回顾本课知识点，加强理解各知识点之间的联系，不断进行归纳总结.让学生大胆交流，力求让每一个人在数学上得到一定的发展.
1.布置作业：习题4.4第1、2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课学习了用两点法画一次函数图象，进而利用数形结合的探究讨论的方法寻求出一次函数图象的特征与关系式的相互联系，使我们对一次函数知识的理解与掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性.
4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1.了解两个条件确定一次函数，一个条件确定正比例函数.
2.能由两个条件求出一次函数的表达式，并解决有关实际问题.
3.经历用两个已知条件确定一次函数表达式的应用过程，提高学生研究数学问题的技能，体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题.
4.具体感知数形结合的思想在一次函数中的应用价值.
【教学重点】
根据所给信息确定一次函数的表达式.
【教学难点】
灵活运用一次函数的有关知识解决相关问题.
一、创设情境，导入新课
我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其关系式的特点及图象特征，并学会了已知关系式画出其图象的方法以及分析图象特征与关系式之间的联系规律.如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征或实际问题，能否确实关系式呢？
这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？
【教学说明】利用一次函数图象的特征和关系式的相互转化，加强学生对知识的理解.通过提问，引发同学分析思考、寻求解决问题的办法，激起学生探求知识的欲望.
二、思考探究，获取新知
确定一次函数的表达式.
教材第89页“想一想”上面的内容.
思考：
确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
【教学说明】通过思考分析解决由图象到关系式转化的方法过程，总结归纳一次函数关系式与图象之间的转化规律，增强数形结合的思想在函数中重要性的理解.
采用上面类似的方法，你能解决日常生活中的实际问题吗？请看例题：
例见教材第89页例1
【教学说明】一次函数的应用实质就是确定一次函数的关系式，这就需要充分挖掘题中所给的已知条件，分析量与量之间的关系，从而找到求关系式的方法.然后利用关系式解决有关问题.
三、运用新知，深化理解
1.一个正比例函数的图象经过点A（3，-2），B（a，3），则a= .
2.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象.
填空：（1）当x=30时，y= .
（2）当y=30时，x= .
第2题图 第3题图
3.如图，一次函数的图象过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ）.
A.y=-x+2
B.y=x+2
C.y=x-2
D.y=-x-2
4.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【教学说明】教师让学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查学生对一次函数的实际应用的掌握程度，并有针对性地加强辅导.
【答案】
1. - ；2. 22，42；3.B；
4.解：由图象可知b=2，图象又过点（2，-2），则有2k+b=-2，所以b=2，k=-2，这个一次函数的解析为y=-2x+2，当y=0时，解得x=1，l与两坐标轴所围成的三角形的面积为y=×1×2=1.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你已经掌握了哪些知识？还有什么疑难问题需要解决的？与同学交流.
【教学说明】学生利用互相交流的方式对知识进行搜集，归纳整理，互相补充，教师及时给予点评.特别是对于解题方法技巧上可以做适当强调，帮助他们加深印象.
1.布置作业：习题4.5第1、2、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课利用图象或实际背景求一次函数关系式和利用关系式解决相关的实际问题，让学生从中体会求解关系式的方式方法.与此同时， 在教学中要把图象和关系式有机结合起来，讨论它们之间的相互转化很有必要，培养学生全面认识事物的观点.
第2课时 一个一次函数的应用
1.能利用一次函数解决简单的实际问题.
2.了解一次函数与一元一次方程之间的关系.
3.通过生活的实例结合一次函数的图象解决问题，继续体会数形结合的思想所起的重要作用.
4.让学生深刻体会到数学知识来源于实际生产、生活的需求，反之，又服务于生产、生活的实际.
【教学重点】
利用一次函数解决简单的实际问题.
【教学难点】
根据一次函数图象去分析解决问题.
一、创设情境，导入新课
教材第91页例2上面的内容
【教学说明】从生活中的实际问题出发，采用提问引发思考的方式引入，激发学生探求知识的兴趣.
二、思考探究，获取新知
简单的一次函数的实际应用
教师引导学生完成教材第91页例2.
【教学说明】让学生体会利用一次函数的图象解决实际问题的方法.如果从图象上不能很明显得出结论，还需要求出一次函数的表达式在进行求解.
做一做：
教材第92页“做一做”.
【教学说明】巩固加深根据一次函数图象求直线表达式，同时体会当函数值为零时自变量的取值，为下面学习一元一次方程与一次函数的关系打下了基础.
讨论：
一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？
【教学说明】充分体会一元一次方程与一次函数之间的转化关系，帮助学生从数形结合的角度进一步认识一次函数与一元一次方程的密切联系.
【归纳结论】一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
三、运用新知，深化理解
1.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是 .
2.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所有的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）.
A.12分钟
B.15分钟
C.25分钟
D.27分钟
3.某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装80套.已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元.若设生产N型号的时装套数x，用这批布料生产这两种型号的时装所获得总利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
【教学说明】让学生独立完成，加深对新学知识的理解和检验学生掌握情况，便于教师查漏补缺，及时解决学生的疑难问题.
【答案】1.4；2.B；
3.解：（1）y=5x+3600（40≤x≤44）；
（2）当生产N型号的时装44套时，所获利润最大，最大利润是3820元.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你会利用一次函数图象解决有关问题吗？你有哪些收获？请与大家共同分享.
【教学说明】教师引导学生回顾所学知识点，对知识不断归纳整理，特别有时需要利用图象求出关系式再去解决问题更准确.
1.布置作业：习题4.6中的第1、2题.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课从实际生活背景出发，利用一次函数及图象解决问题，让学生体会一次函数的应用价值和一次函数与一元一次方程的密切关系， 体验应用知识的成就感和学习教学更加热爱生活.
第3课时 两个一次函数的应用
1.能利用一次函数解决复杂的实际问题.
2.通过生活中的实例结合一次函数的图象解决问题，进一步体会数形结合的思想在数学中所起的重要作用.
3.让学生认识到数学来源于生活，又在生活中得到了运用，培养学生热爱生活的热情.
【教学重点】
利用一次函数解决复杂的实际问题.
【教学难点】
根据两个一次函数图象去分析解决问题.
一、创设情境，导入新课
教材第93页习题4.6下方的内容
【教学说明】让学生在同一题中利用图象体会两个一次函数中量与量之间的关系，找到解决问题的方法，为下面的学习奠定基础.
思考：
图4-10中，l1对应的一次函数y=k1x+b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y=k2x+b2中，k2和b2的实际意义各是什么？
二、思考探究，获取新知
复杂一次函数的实际应用
师生共同完成例题：教材第94页例3
【教学说明】教师引导学生完成，给学生创造展示自己的机会，通过相互讨论形成共识，得出结果，充分发挥了学生的主体作用.
想一想：
你能用其他方法解决上面的例题（1）~（5）吗？
【教学说明】给学生充分的思考空间，让他们采用多种方法解决同一个问题，从而体会一题多解给大家的学习带来的快乐.
三、运用新知，深化理解
1.如图，射线OA，BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数图象，图中s，t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h.
2.甲乙两队举行一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系式如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）.
A.甲队率先到达终点
B.甲队比乙队多走了200米
C.乙队比甲队少用0.2分钟
D.比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的的速度大.
3.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题.
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 .
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式.
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
【教学说明】让学生自主完成，加深对所学知识的理解和考查学生对这一节课掌握情况，学生发生的错误和学习中的困难教师要及时纠正并给予解答.
【答案】1.4；2.C；
3.解：（1）30厘米，25厘米2小时，2.5小时
（2）甲：设y=k1x+b1.将（0，30）代入y=k1x+b1中得b1=30,再将点（2，0）和b1的值代入y=k1x+b1中可得k1=-15.所以y=-15x+30.
乙：设y=k2x+b2.把（0,25）代入y=k2x+b2可知b2=25,再将（2.5，0）和b2的值代入y=k2x+b2中得k2=-10.所以y=-10x+25.
（3）令-15x+30=-10x+25，解得x=1.所以燃烧1小时时，甲、乙两根蜡烛的高度相等；当0≤x＜1时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高；在1＜x＜2.5时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识？能解决跟一次函数有关的实际问题吗？学习中还存在哪些疑惑？与同学们交流.
【教学说明】引导学生归纳总结，特别是解题方法和技巧对于今后的学习很有指导意义.通过交流形成学习上的互利，便于共同进步.
1.布置作业：习题4.7中第3题
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课主要研究利用两个一次函数图象解决实际问题.通过独立思考并相互交流讨论，分析问题中量与量之间的关系，建立函数模型，提高学生的实践意识与综合运用数学知识的能力.
本章归纳总结
1.掌握本章重要知识，能灵活运用一次函数的图象和性质解决实际问题.
2.通过梳理本章知识，借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，应用函数举例，体现数学建模的思想和数形结合的思想方法.
3.充分利用现实背景，让学生逐步体会函数来自实际又服务于实际，激发他们生活的热情和探求知识的渴望.
【教学重点】
理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定分数法求一次函数的关系式，利用函数图象解决实际问题，初步体会方程和函数之间的关系.
【教学难点】
利用一次函数图象解决实际问题.
一、知识框图，整体把
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互关系.边回顾边构建结构图，便于巩固加深.
二、释疑解惑，加深理解
1.函数的概念
判断函数关系时，要依据函数的概念抓住以下几点：①有两个变量x和y；②y随x的变化而变化；③对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应.
2.自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时考虑不周，漏掉某些情况或某些条件中的分界点，对于具有实际意义的函数关系，易漏掉隐含条件，做题时要全面考虑，特别注意实际问题中变量的实际意义.
3.一次函数的概念
一次函数的关系式y=kx+b，它是关于x的一次二项式，其中一次项系数k≠0，b为任意实数，特别地，当b=0时，该一次函数为正比例函数.其中k≠0容易忽略.
三、典例精析，复习新知
例1（1）设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V=πR2h.在这个式子中常量和变量分别是什么？
（2）设圆柱的高h不变，在圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式为V=πR2h中，常量和变量又分别是什么?
【分析】常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程，二者是可以相互转换的.
解:（1）常量是π和R，变量是V和h.（2）常量是π和h，变量是V和R.
例2小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿道公园，打了一会儿太极拳后跑步回家，下面能反映当天小华爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）.
【分析】由题意可知，选项A、D错误，可排除；选项B从图象上看，去时比回家速度还要快，不符合题意.故答案应选C.
【答案】C
例3已知直线l1和直线l2在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，点P1（x1，y1）在直线l1上，点P3（x3，y3）在直线l2上，点P2（x2，y2）为直线l1、l2的交点，其中x2＜x1，x2＜x3，则（ ）
A.y1＜y2＜y3
B.y3＜y1＜y2
C.y3＜y2＜y1
D.y2＜y1＜y3
【分析】由于题设中没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象，观察直线l1知，y随x的增大而减小，因为x2＜x1，所以y2＞y1；观察直线l2知，y随x的增大而增大，因为x2＜x3，所以y2＜y3，故y1＜y2＜y3.
【答案】A
例4如图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A地到B地时，行驶的路程y（千米）与经过的时间x（时）之间的函数图象.请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B地.
【分析】观察图象可知，两直线交于2~3小时中间，故相遇时，汽车用了0.5小时；电动自行车共用5小时走完45千米，所以其速度为9千米/时；汽车共用一小时走完45千米，故其速度为45千米/时，观察图象的横坐标知，汽车早到5-3=2小时.
【答案】0.5 9 45 2
例5某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图中表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图回答下列问题.
（1）求y1与y2的解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；
（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？
【分析】两直线交于点（30,600），说明当推销产品30件时，两种方案得推销费相同；当x＞30时，y1图象位于y2上方，说明选择y1的推销费多；当x＜30时，y2图象位于y1上方，说明选择y2得推销费多.
【答案】（1）y1=20x；y2=10x+300.
（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销一件产品得推销费20元；y2是保底工资为300元，每推销1件产品再提成10元.
（3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于30件产品，就选择y1的付费方案，否则，选择y2的付费方案.
【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，结合例题教师适当给予评讲，让学生分清各知识点需要注意哪些问题，可能出现什么样的错误，提高解题的正确率.
四、复习训练，巩固提高
1.一根弹簧原长为12cm，它所挂物体的质量不超过15kg，并且每挂1kg物体就伸长12cm，则挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 .
2.如图所示，若直线l是一次函数y=kx+b的图象，则（ ）
A.k＞0，b＞0
B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＜0
D.k＜0，b＞0
3.如图所示，OB、AB分别是表示甲、乙两个同学匀速跑步的一次函数图象，图中s和t分别表示路程和时间，已知甲的速度比乙快.下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑了12米；④8秒钟后，甲超过了乙.其中正确的说法是（ ）
A.①②
B.②③④
C.②③
D.①③④
4.某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国有出租车公司的月租费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系的图象（两条射线）如图所示，观察图象，回答下列问题.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式.
（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？
（3）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（4）如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的合算？
【教学说明】这部分安排了四个较为典型的重点习题，主要是为了加强本章知识的综合运用，前三题让学生独立完成，最后一题可以引导学生完成，尽量让学生讨论得出结果.
【答案】 1.y=x+12,0≤x≤15；
2.B 3.B
4.解：（1）由图象可知，设y1=k1x+b（k1，b为常数，k≠0），y2=k2x（k≠0）.∵y1，y2都经过点（1000,2000），∴2000=1000k2，∴k2=2.将点（0，1000）代入y1中可求得b=1000，再b=1000,点（1000，2000）代入y1中可得k1=1.∴y1=x+1000，y2=2x（x≥0）
（2）当y2＜y1时，有2x＜x+1000，∴x＜1000，∴每月行驶路程在0km≤x＜1000km时，租国有公司的车合算.
（3）当y2=y1时，有2x=x+1000,∴x=1000.∴每月行驶的路程等于1000km时租两家车的费用相同.
（4）当y2>y1时有2x>x+1000，∴x>1000;∴每月行驶的路程大于1000km时，租个体车主的车比较合算.∴当x=2300km时，这个单位租个体车主的车比较合算.
五、师生互动，课堂小结
对于这节课，你能比较完整地回顾本章所学的有关一次函数的知识吗？你掌握了哪些内容？还有哪些不足？与同学交流.
【教学说明】引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自由讨论、交流解决学习过程中遇到的疑难问题，教师做必要的补充说明.
1.布置作业：从复习题中选取.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课通过归纳本章内容，画出知识结构图，以函数的概念和表示方法、一次函数的图象及性质、利用一些函数图象解决实际问题为重点，精讲精练，让学生能够灵活运用所学知识解决有关问题.
1.认识变量、常量，并学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.逐步感知变量之间的关系.
2.了解函数的三种表达方式.
3.经历观察、分析、思考等数学活动，发展合情推理，有条理、清晰地阐述自己的观点.
4.让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
【教学重点】
认识变量、常量，用式子表示变量间的关系.
【教学难点】
用含有一个变量的式子表示另一个变量.
一、创设情境，导入新课
教材第75页内容.
【教学说明】用学习身边熟悉的娱乐活动引入，提出问题引发思考，激发了学生强烈的求知欲望.
二、思考探究，获取新知
函数的概念.
做一做并思考：
教材第76页“做一做”.
【教学说明】学生通过观察、思考、探究的形式，体会当一个变量变化，另一个量也随之发生变化的过程，为下面理解函数的概念做了充分准备.
【归纳结论】在上面的案例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
函数的表示方法一般有：列表法、关系式法和图象法.
讨论：上述问题中，自变量能取哪些值？
【教学说明】不同的学生可能答案不一样.但是这是一个实际问题，自变量要符合本题的实际意义，不能认为是任意实数.
【归纳结论】对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的函数值.
三、运用新知，深化理解
1.现将500本笔记本捐助给贫困学生，每人5本，写出余下的笔记本数y（本）和学生数x（名）之间的关系式为 ，自变量x的取值范围是 .
2.某型号的汽车在路面上的制动距离s=v2/256，其中变量是（ ）
A.s,v B.s,v2 C.s D.v
3.写出下列问题中满足的关系式，并指出各个关系式中哪些是常量，哪些是变量？
（1）用总长为6m的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S与另一边长x之间的关系式；（2）用总长为l的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为60m2，求l与x之间的关系式.
【教学说明】让学生独立做，加强对函数及有关概念的理解，教师通过学生反馈的信息了解他们掌握知识的情况，及时处理学生中的疑难问题并加强训练.
【答案】1.y=500-5x，0≤x≤100且x为整数；
2.A 3.（1）S=x（3-x）=3x-x2，其中3是常量，x、S是变量；（2）l=2（60/x+x），其中60、2是常量，l、x是变量.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾函数、变量、常量、函数值等概念.
2.通过本节课的学习，谈谈你有什么收获？还有哪些不足？请与同学交流.
【教学说明】教师引导学生回顾本课有关知识点，学生大胆发言，对知识进行归纳整理，有助于消化理解.
1.布置作业：习题4.1第1、2题.
2.完成练习册中本课时相应练习.
函数是学生接触的最新鲜的事物，不容易理解.在教学的过程中，要通过案例不断让学生去体会函数的意义，便于今后的实际运用.
2 一次函数与正比例函数
1.掌握一次函数与正比例函数的一般形式并学会判断.
2.知道一次函数与正比例函数之间的关系，能利用一次函数和正比例函数解决实际问题.
3.通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和辨别能力.
4.利用学生独立思考、合作探究的学习形式培养学生科学的思维方法和良好的学习习惯.
【教学重点】
一次函数与正比例函数的概念
【教学难点】
利用一次函数与正比例函数的关系式解决实际问题.
一、创设情境，导入新课
教材第79页“做一做”上方的内容.
【教学说明】从跟物理学有关的问题入手，体现了各学科之间是相互联系相互渗透的.同时也让学生认识到数学与现实生活是密不可分的，人们的需要产生了数学，调动他们学习数学的积极性.
二、思考探索，获取新知
1.一次函数和正比例函数的概念.
做一做并思考：
教材第79页“做一做”.
【教学说明】由这些简单的实例让学生分析问题中各个量之间的关系，从现实生活中抽象出数学模型，找到建立数学关系的方法，也为导出一次函数与正比例函数的概念做好铺垫.
你能利用我们刚学的知识解决下面的问题吗？请看：
教材第79~80页例1
【教学说明】通过对具体实例的分析，既消化了学生对一次函数和正比例函数的理解，又能为今后运用他们解决稍复杂的实际问题打下基础，同时也加强了它们之间的联系和区别.
2.一次函数的实际应用.
教材第80页例2.
【教学说明】教师可以引导学生完成，让学生学习已知自变量的值求对应的函数值和已知函数值求自变量的值的方法.体现了一次函数与一元一次方程的密切联系，为后面的学习奠定了基础.
三、运用新知，深化理解
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
2.函数y=（2m-1）xn+3+（m-5）是一次函数的条件是（ ）
A.m≠且n≠-3
B.n=-2
C.m≠且n=-2
D.m≠且m≠5，n=-2
3.若每上6个台阶就升高1m，则上升高度h（m）与上的台阶数m之间的函数关系式为 .h是m的 函数.
4.滑车以每分1.5米的速度匀速从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为50米.
（1）求滑车滑行轨道剩下的路程S（米）和滑行时间t（分）之间的关系式.
（2）如果滑行时间为12分钟，求剩下的路程.
（3）若剩下的路程为20米，那么它滑行的时间为多少分钟？
【教学说明】让学生独立完成，加深对一次函数和正比例函数的理解，同时也对所学的知识也是个检验，教师及时纠正并有针对性地加强训练.
【答案】1.C. 2.C. 3.h=m/6(m)，一次（或正比例）.
4.解：（1）S=50-1.5t；
（2）32（米）；（3）20（分）.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾一次函数与正比例函数的一般形式.
2.本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？还有什么疑问？请与大家交流.
【教学说明】让学生参与小结并允许学生发表各自的见解，增加了学生的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考的习惯；同时也强调了本节课的重点，巩固了学习内容.
1.布置作业：习题4.2第1、2、3题
2.完成练习册中本课时相应练习..
通过学生反馈的情况来看，绝大部分学生掌握得较好，但对于正比例函数是特殊的一次函数这种情况容易忽略.同时还有极少部分同学运用一次函数的一般形式解决实际问题不是相当熟练.在今后的教学中要花一定的时间不断完善提高.
3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
1.会利用描点法或两点法画出正比例函数的图象.
2.掌握正比例函数的性质.
3.通过对应描点来研究正比例函数的图象，经历知识的归纳、探究过程和利用正比例函数的图象归纳函数性质，体验数形结合的方法.
4.通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美.
【教学重点】
正比例函数的图象和性质.
【教学难点】
由正比例函数的图象归纳得出正比例函数的性质及对性质的理解.
一、创设情境，导入新课
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）.前面第1节就是摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间函数关系的图象.
正比例函数y=kx的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？下面，我们一起去研究吧！
【教学说明】给出函数图象的定义，学生一目了然，结合实例便于学生理解它的含义，为下面学习画函数图象指明了方向.
二、思考探究，获取新知
1.正比例函数图象的画法：
思考：（1）你准备来用什么方法画出正比例函数y=2x的图象？
（2）画出函数图象的一般步骤有哪些？
【教学说明】让学生经历列表、描点、连线等画函数图象的具体过程，既可以加深对图象意义的认识，了解图像上点的横、纵坐标与自变量值、函数值之间的对应关系，又为学习如何画函数图象及对用描点法画函数图象的一般步骤进行归纳做了准备.
【归纳结论】画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
做一做：
（1）画出正比例函数y=-3x的图象.
（2）在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证他们是否都满足关系式y=-3x.
讨论：①满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x的图象上吗？
②正比例函数y=-3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-3x吗？
③正比例函数y=kx的图象有何特点？你是怎样理解的？
【教学说明】加强学生用描点法画正比例函数图象的方法，体会函数图象上的点都满足函数关系式，并通过观察得出正比例函数图象的特点.
【归纳结论】正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0,0）的直线.因此，画正比例函数图象时，只需要再确定一个点，过这点和原点画直线就可以了.
2.正比例函数图象的性质
做一做：
在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x，y=3x，y=-x和y=-4x的图象.
思考：上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？
【教学说明】利用正比例函数的图象学生很直观地归纳出正比例函数的增减性.注意不要受算术中正比例概念的影响，片面地认为正比例函数总是随着自变量的增加而增加，它的增或减是由k的正或负决定的.
【归纳结论】在正比例函数y=kx中，
当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；
当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.
讨论：
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？
（2）类似地，正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
【教学说明】通过图象让学生进一步体会正比例函数增减的快慢是由｜k｜决定的，加深了对正比例函数图象性质的理解.
三、运用新知，深化理解
1.若函数y= 是正比例函数，则m= .
2.若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是 .
3.已知点P（1，m）在正比例函数y=4x的图象上，那么点P的坐标是（ ）.
A.（1,4）
B.（-1，-4）
C（1，-4）
D.（-1,4）
4.已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则（ ）
A.y随x的增大而增大
B.y随x的增大而减小
C.当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
D.无论x如何变化，y不变.
5.小刚以2千米/时的速度匀速从甲地行走到乙地，甲乙两地的距离为12千米.
（1）求小刚行走的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系式以及自变量t的取值范围.
（2）画出图象.
（3）根据图象说明当t增大时，s增大还是减小？
【教学说明】教师让学生自主完成，加强对正比例函数图象和性质的理解和反馈学生对知识的掌握情况，便于及时矫正强化.
【答案】
1.-2；2.m＞；3.A；4.B
5.解：（1）s与t的关系式为s=2t，自变量t的取值范围是0≤t≤6.
（2）是以O（0，0）和（6，12）为端点的一条线段.
（3）由图象可知当t增大时，s也增大.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾正比例函数图象的画法以及它的性质.
2.本节课你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？请与大家交流.
【教学说明】引导学生回顾本课所学知识，对知识进行归纳整理，找出不足便于教师及时调整，做到当堂消化.
1.教材习题4.3第1、2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课通过实际操作了解正比例函数图象的画法及利用图象说明其性质，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考讨论知道了正比例函数不同表现形式的转化方法和图象的简单画法，为后面学习一次函数奠定了基础.
第2课时 一次函数的图象和性质
1.理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系.
2.会利用两个合适的点画出一次函数的图象.
3.掌握一次函数的性质.
4.通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题.
5.在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.
【教学重点】
一次函数的图象和性质.
【教学难点】
由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.
一、创设情境，导入新课
我们知道正比例函数y=-2x的图象是过原点的一条直线，那么一次函数y=-2x+1的图象又是怎样的呢?它们之间有什么位置关系？下面一起研究一次函数y=kx+b的图象.
【教学说明】利用所学知识“最近发展区”——正比例函数的图象及性质，为类比、探究一次函数的图象及其性质作好铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.一次函数的图象.
（1）你能用描点法画出一次函数y=-2x+1的图象吗？
（2）通过上面画一次函数的图象想一想一次函数y=kx+b的图象有什么特点，对此你是怎样理解的？
【教学说明】在学生已经知道正比例函数的图象是一条直线的基础上，通过对应描点法来画出一次函数的图象，可以说是得心应手，减轻了学生心理上的压力.
【归纳结论】一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
2.一次函数的性质.
做一做：
在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=2x+3，y=-x，y=-x+3和y=5x-2的图象.
讨论：
（1）上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？
（2）直线y=-x与y=-x+3的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线y=-x变为直线y=-x+3吗？一般地，直线y=kx+b与y=kx又有怎样的位置关系呢？
（3）直线y=2x+3与直线y=-x+3有什么共同点？一般地，你能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值吗？
【教学说明】进一步巩固一次函数图象的画法，并为探究一次函数的性质做准备.让学生利用图象观察体验y=kx与y=kx+b两者之间的位置关系，从而得出函数y=kx+b的图象实际上是对直线y=kx上的所有点进行平移的结果，同时还让学生明白b的值就是图象与y轴交点的纵坐标.
【归纳结论】一次函数y=kx+b的图象经过点（0，b）.当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.
三、运用新知，深化理解
1.已知一次函数y=mx+｜m+1｜的图象与y轴交于点（0,3），且y随x值的增大而增大，则m的值为 .
2.一次函数y=3x-4的图象不经过（ ）.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.下列一次函数中，y随x值的增大而减小的是（ ）.
A.y=2x-1
B.y=3-4x
C.y=x+2
D.y=（5-2）x
4.一次函数y=（3a-1）x+5图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则a的取值范围是（ ）.
A.a＞0
B.a＜0
C.a＞
D.a＜
5.如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，求这个一次函数的表达式.
【教学说明】让学生独立完成，加强对所学知识的理解，及时反馈教学效果，查漏补缺.对有困难的学生给予鼓励和帮助，并进行强化.
【答案】1.2 2.B 3.B 4.D
5.解：设直线OA的关系式为y=kx，把（-2,4）代入得k=-2，所以y=-2x，将直线OA向上平移2个单位之后一次函数的表达式为：y=-2x+2.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾一次函数图象的性质和它与正比例函数图象之间的关系.
2.本节课你掌握了哪些知识？觉得哪些是大家需要注意的？与同学们分享.
【教学说明】教师引导学生回顾本课知识点，加强理解各知识点之间的联系，不断进行归纳总结.让学生大胆交流，力求让每一个人在数学上得到一定的发展.
1.布置作业：习题4.4第1、2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课学习了用两点法画一次函数图象，进而利用数形结合的探究讨论的方法寻求出一次函数图象的特征与关系式的相互联系，使我们对一次函数知识的理解与掌握更透彻，也体会到数学思想在数学研究中的重要性.
4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1.了解两个条件确定一次函数，一个条件确定正比例函数.
2.能由两个条件求出一次函数的表达式，并解决有关实际问题.
3.经历用两个已知条件确定一次函数表达式的应用过程，提高学生研究数学问题的技能，体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题.
4.具体感知数形结合的思想在一次函数中的应用价值.
【教学重点】
根据所给信息确定一次函数的表达式.
【教学难点】
灵活运用一次函数的有关知识解决相关问题.
一、创设情境，导入新课
我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其关系式的特点及图象特征，并学会了已知关系式画出其图象的方法以及分析图象特征与关系式之间的联系规律.如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征或实际问题，能否确实关系式呢？
这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？
【教学说明】利用一次函数图象的特征和关系式的相互转化，加强学生对知识的理解.通过提问，引发同学分析思考、寻求解决问题的办法，激起学生探求知识的欲望.
二、思考探究，获取新知
确定一次函数的表达式.
教材第89页“想一想”上面的内容.
思考：
确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
【教学说明】通过思考分析解决由图象到关系式转化的方法过程，总结归纳一次函数关系式与图象之间的转化规律，增强数形结合的思想在函数中重要性的理解.
采用上面类似的方法，你能解决日常生活中的实际问题吗？请看例题：
例见教材第89页例1
【教学说明】一次函数的应用实质就是确定一次函数的关系式，这就需要充分挖掘题中所给的已知条件，分析量与量之间的关系，从而找到求关系式的方法.然后利用关系式解决有关问题.
三、运用新知，深化理解
1.一个正比例函数的图象经过点A（3，-2），B（a，3），则a= .
2.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象.
填空：（1）当x=30时，y= .
（2）当y=30时，x= .
第2题图 第3题图
3.如图，一次函数的图象过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ）.
A.y=-x+2
B.y=x+2
C.y=x-2
D.y=-x-2
4.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【教学说明】教师让学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查学生对一次函数的实际应用的掌握程度，并有针对性地加强辅导.
【答案】
1. - ；2. 22，42；3.B；
4.解：由图象可知b=2，图象又过点（2，-2），则有2k+b=-2，所以b=2，k=-2，这个一次函数的解析为y=-2x+2，当y=0时，解得x=1，l与两坐标轴所围成的三角形的面积为y=×1×2=1.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你已经掌握了哪些知识？还有什么疑难问题需要解决的？与同学交流.
【教学说明】学生利用互相交流的方式对知识进行搜集，归纳整理，互相补充，教师及时给予点评.特别是对于解题方法技巧上可以做适当强调，帮助他们加深印象.
1.布置作业：习题4.5第1、2、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课利用图象或实际背景求一次函数关系式和利用关系式解决相关的实际问题，让学生从中体会求解关系式的方式方法.与此同时， 在教学中要把图象和关系式有机结合起来，讨论它们之间的相互转化很有必要，培养学生全面认识事物的观点.
第2课时 一个一次函数的应用
1.能利用一次函数解决简单的实际问题.
2.了解一次函数与一元一次方程之间的关系.
3.通过生活的实例结合一次函数的图象解决问题，继续体会数形结合的思想所起的重要作用.
4.让学生深刻体会到数学知识来源于实际生产、生活的需求，反之，又服务于生产、生活的实际.
【教学重点】
利用一次函数解决简单的实际问题.
【教学难点】
根据一次函数图象去分析解决问题.
一、创设情境，导入新课
教材第91页例2上面的内容
【教学说明】从生活中的实际问题出发，采用提问引发思考的方式引入，激发学生探求知识的兴趣.
二、思考探究，获取新知
简单的一次函数的实际应用
教师引导学生完成教材第91页例2.
【教学说明】让学生体会利用一次函数的图象解决实际问题的方法.如果从图象上不能很明显得出结论，还需要求出一次函数的表达式在进行求解.
做一做：
教材第92页“做一做”.
【教学说明】巩固加深根据一次函数图象求直线表达式，同时体会当函数值为零时自变量的取值，为下面学习一元一次方程与一次函数的关系打下了基础.
讨论：
一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？
【教学说明】充分体会一元一次方程与一次函数之间的转化关系，帮助学生从数形结合的角度进一步认识一次函数与一元一次方程的密切联系.
【归纳结论】一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
三、运用新知，深化理解
1.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是 .
2.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所有的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）.
A.12分钟
B.15分钟
C.25分钟
D.27分钟
3.某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装80套.已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元.若设生产N型号的时装套数x，用这批布料生产这两种型号的时装所获得总利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
【教学说明】让学生独立完成，加深对新学知识的理解和检验学生掌握情况，便于教师查漏补缺，及时解决学生的疑难问题.
【答案】1.4；2.B；
3.解：（1）y=5x+3600（40≤x≤44）；
（2）当生产N型号的时装44套时，所获利润最大，最大利润是3820元.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你会利用一次函数图象解决有关问题吗？你有哪些收获？请与大家共同分享.
【教学说明】教师引导学生回顾所学知识点，对知识不断归纳整理，特别有时需要利用图象求出关系式再去解决问题更准确.
1.布置作业：习题4.6中的第1、2题.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课从实际生活背景出发，利用一次函数及图象解决问题，让学生体会一次函数的应用价值和一次函数与一元一次方程的密切关系， 体验应用知识的成就感和学习教学更加热爱生活.
第3课时 两个一次函数的应用
1.能利用一次函数解决复杂的实际问题.
2.通过生活中的实例结合一次函数的图象解决问题，进一步体会数形结合的思想在数学中所起的重要作用.
3.让学生认识到数学来源于生活，又在生活中得到了运用，培养学生热爱生活的热情.
【教学重点】
利用一次函数解决复杂的实际问题.
【教学难点】
根据两个一次函数图象去分析解决问题.
一、创设情境，导入新课
教材第93页习题4.6下方的内容
【教学说明】让学生在同一题中利用图象体会两个一次函数中量与量之间的关系，找到解决问题的方法，为下面的学习奠定基础.
思考：
图4-10中，l1对应的一次函数y=k1x+b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y=k2x+b2中，k2和b2的实际意义各是什么？
二、思考探究，获取新知
复杂一次函数的实际应用
师生共同完成例题：教材第94页例3
【教学说明】教师引导学生完成，给学生创造展示自己的机会，通过相互讨论形成共识，得出结果，充分发挥了学生的主体作用.
想一想：
你能用其他方法解决上面的例题（1）~（5）吗？
【教学说明】给学生充分的思考空间，让他们采用多种方法解决同一个问题，从而体会一题多解给大家的学习带来的快乐.
三、运用新知，深化理解
1.如图，射线OA，BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数图象，图中s，t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h.
2.甲乙两队举行一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系式如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）.
A.甲队率先到达终点
B.甲队比乙队多走了200米
C.乙队比甲队少用0.2分钟
D.比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的的速度大.
3.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题.
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 .
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式.
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
【教学说明】让学生自主完成，加深对所学知识的理解和考查学生对这一节课掌握情况，学生发生的错误和学习中的困难教师要及时纠正并给予解答.
【答案】1.4；2.C；
3.解：（1）30厘米，25厘米2小时，2.5小时
（2）甲：设y=k1x+b1.将（0，30）代入y=k1x+b1中得b1=30,再将点（2，0）和b1的值代入y=k1x+b1中可得k1=-15.所以y=-15x+30.
乙：设y=k2x+b2.把（0,25）代入y=k2x+b2可知b2=25,再将（2.5，0）和b2的值代入y=k2x+b2中得k2=-10.所以y=-10x+25.
（3）令-15x+30=-10x+25，解得x=1.所以燃烧1小时时，甲、乙两根蜡烛的高度相等；当0≤x＜1时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高；在1＜x＜2.5时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识？能解决跟一次函数有关的实际问题吗？学习中还存在哪些疑惑？与同学们交流.
【教学说明】引导学生归纳总结，特别是解题方法和技巧对于今后的学习很有指导意义.通过交流形成学习上的互利，便于共同进步.
1.布置作业：习题4.7中第3题
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课主要研究利用两个一次函数图象解决实际问题.通过独立思考并相互交流讨论，分析问题中量与量之间的关系，建立函数模型，提高学生的实践意识与综合运用数学知识的能力.
本章归纳总结
1.掌握本章重要知识，能灵活运用一次函数的图象和性质解决实际问题.
2.通过梳理本章知识，借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，应用函数举例，体现数学建模的思想和数形结合的思想方法.
3.充分利用现实背景，让学生逐步体会函数来自实际又服务于实际，激发他们生活的热情和探求知识的渴望.
【教学重点】
理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定分数法求一次函数的关系式，利用函数图象解决实际问题，初步体会方程和函数之间的关系.
【教学难点】
利用一次函数图象解决实际问题.
一、知识框图，整体把
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互关系.边回顾边构建结构图，便于巩固加深.
二、释疑解惑，加深理解
1.函数的概念
判断函数关系时，要依据函数的概念抓住以下几点：①有两个变量x和y；②y随x的变化而变化；③对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应.
2.自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时考虑不周，漏掉某些情况或某些条件中的分界点，对于具有实际意义的函数关系，易漏掉隐含条件，做题时要全面考虑，特别注意实际问题中变量的实际意义.
3.一次函数的概念
一次函数的关系式y=kx+b，它是关于x的一次二项式，其中一次项系数k≠0，b为任意实数，特别地，当b=0时，该一次函数为正比例函数.其中k≠0容易忽略.
三、典例精析，复习新知
例1（1）设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V=πR2h.在这个式子中常量和变量分别是什么？
（2）设圆柱的高h不变，在圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式为V=πR2h中，常量和变量又分别是什么?
【分析】常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程，二者是可以相互转换的.
解:（1）常量是π和R，变量是V和h.（2）常量是π和h，变量是V和R.
例2小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿道公园，打了一会儿太极拳后跑步回家，下面能反映当天小华爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）.
【分析】由题意可知，选项A、D错误，可排除；选项B从图象上看，去时比回家速度还要快，不符合题意.故答案应选C.
【答案】C
例3已知直线l1和直线l2在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，点P1（x1，y1）在直线l1上，点P3（x3，y3）在直线l2上，点P2（x2，y2）为直线l1、l2的交点，其中x2＜x1，x2＜x3，则（ ）
A.y1＜y2＜y3
B.y3＜y1＜y2
C.y3＜y2＜y1
D.y2＜y1＜y3
【分析】由于题设中没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象，观察直线l1知，y随x的增大而减小，因为x2＜x1，所以y2＞y1；观察直线l2知，y随x的增大而增大，因为x2＜x3，所以y2＜y3，故y1＜y2＜y3.
【答案】A
例4如图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A地到B地时，行驶的路程y（千米）与经过的时间x（时）之间的函数图象.请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B地.
【分析】观察图象可知，两直线交于2~3小时中间，故相遇时，汽车用了0.5小时；电动自行车共用5小时走完45千米，所以其速度为9千米/时；汽车共用一小时走完45千米，故其速度为45千米/时，观察图象的横坐标知，汽车早到5-3=2小时.
【答案】0.5 9 45 2
例5某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图中表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图回答下列问题.
（1）求y1与y2的解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；
（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？
【分析】两直线交于点（30,600），说明当推销产品30件时，两种方案得推销费相同；当x＞30时，y1图象位于y2上方，说明选择y1的推销费多；当x＜30时，y2图象位于y1上方，说明选择y2得推销费多.
【答案】（1）y1=20x；y2=10x+300.
（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销一件产品得推销费20元；y2是保底工资为300元，每推销1件产品再提成10元.
（3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于30件产品，就选择y1的付费方案，否则，选择y2的付费方案.
【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，结合例题教师适当给予评讲，让学生分清各知识点需要注意哪些问题，可能出现什么样的错误，提高解题的正确率.
四、复习训练，巩固提高
1.一根弹簧原长为12cm，它所挂物体的质量不超过15kg，并且每挂1kg物体就伸长12cm，则挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 .
2.如图所示，若直线l是一次函数y=kx+b的图象，则（ ）
A.k＞0，b＞0
B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＜0
D.k＜0，b＞0
3.如图所示，OB、AB分别是表示甲、乙两个同学匀速跑步的一次函数图象，图中s和t分别表示路程和时间，已知甲的速度比乙快.下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑了12米；④8秒钟后，甲超过了乙.其中正确的说法是（ ）
A.①②
B.②③④
C.②③
D.①③④
4.某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国有出租车公司的月租费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系的图象（两条射线）如图所示，观察图象，回答下列问题.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式.
（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？
（3）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（4）如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的合算？
【教学说明】这部分安排了四个较为典型的重点习题，主要是为了加强本章知识的综合运用，前三题让学生独立完成，最后一题可以引导学生完成，尽量让学生讨论得出结果.
【答案】 1.y=x+12,0≤x≤15；
2.B 3.B
4.解：（1）由图象可知，设y1=k1x+b（k1，b为常数，k≠0），y2=k2x（k≠0）.∵y1，y2都经过点（1000,2000），∴2000=1000k2，∴k2=2.将点（0，1000）代入y1中可求得b=1000，再b=1000,点（1000，2000）代入y1中可得k1=1.∴y1=x+1000，y2=2x（x≥0）
（2）当y2＜y1时，有2x＜x+1000，∴x＜1000，∴每月行驶路程在0km≤x＜1000km时，租国有公司的车合算.
（3）当y2=y1时，有2x=x+1000,∴x=1000.∴每月行驶的路程等于1000km时租两家车的费用相同.
（4）当y2>y1时有2x>x+1000，∴x>1000;∴每月行驶的路程大于1000km时，租个体车主的车比较合算.∴当x=2300km时，这个单位租个体车主的车比较合算.
五、师生互动，课堂小结
对于这节课，你能比较完整地回顾本章所学的有关一次函数的知识吗？你掌握了哪些内容？还有哪些不足？与同学交流.
【教学说明】引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自由讨论、交流解决学习过程中遇到的疑难问题，教师做必要的补充说明.
1.布置作业：从复习题中选取.
2.完成练习册中本课时相应练习..
本节课通过归纳本章内容，画出知识结构图，以函数的概念和表示方法、一次函数的图象及性质、利用一些函数图象解决实际问题为重点，精讲精练，让学生能够灵活运用所学知识解决有关问题.
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