云南省昆明市昆八中2023-2024学年高二上学期数学特色部开学考试试卷

这是一份云南省昆明市昆八中2023-2024学年高二上学期数学特色部开学考试试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1．已知角α的终边经过点A(sin150°，cs30°)，则tanα=（ ）
A．33B．−33C．3D．−3
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．f(x)=x2与g(x)=(x+1)2B．f(x)=−x3与g(x)=x−x
C．f(x)=xx与g(x)=1x0D．f(x)=x+3⋅x−3与g(x)=x2−9
3．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f(x)=3x−1B．f(x)=x3C．f(x)=|x|D．f(x)=lnx
4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定
5．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分： ①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元(试剂的总产量为x单位，50≤x≤200)，则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位
6．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①a=0.03；②若抽取100人，则平均用时13.75小时：③若从每周使用时间在[15，20)，[20，25)，[25，30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25)内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．P(A∩B)=0B．P(A∩B)=P(A)P(B)
C．P(A)=1−P(B)D．P(A∪B)=1
8．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为4m和5m，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）
A．36−212mB．40−212mC．40−242mD．36−242m
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.)
9．下列运算中正确的是（ ）
A．lg37lg34=lg74B．(110)−lg2+ln(lne)=2
C．当a>0时，3a⋅a=a116D．若a+a−1=14，则a12+a−12=23
10．将函数f(x)=2sinx的图象向右来移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变)，得到g(x)的图象，则（ ）
A．g(x)=2sin(12x−π3)
B．g(x)在[5π3，10π3]上单调递减
C．直线x=2π3是g(x)图象的一条对称轴
D．g(x)在[−π，π]上的最小值为-2
11．已知函数f(x)=x2−kx+10，x≤1k−1x，x>1是R上的减函数，则实数k的可能的取值有（ ）
A．4B．5C．6D．7
12．已知△ABC，BE=EC，BF=23BA+13BC，点M满足AM=λAE且BM=μBF(λ，μ∈R)，则（ ）
A．λ=12B．μ=23
C．CM=12CA+14CBD．MA+MB=14CA+14CB
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分。)
13．若指数函数y=f(x)的图象经过点(2，4)，则f(12)= ；不等式f(2x−1)≤(12)1−3x的解集是 .
14．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，则市场上该品牌产品的次品率为 .
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3(b−ccsA)sinC=3a.若c=2，则△ABC面积的最大值为 ；若2sinA−sinB=33，则csA= .
16．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面正方形ABCD的中心，点P在侧面正方形BB1C1C的边界及其内部运动，若D1O⊥OP，则点P的轨迹的长度为 .
四、解答题(本大题共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17．在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(2，−1)，求下列各式的值：
（1）sin2α+3sinαcsα；
（2）sin(α+3π2)cs(−α)tan(π−α)sin(π−α)cs(π2+α).
18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350(单位：kW⋅ℎ)之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示：
（1）求在被调查的用户中，用电量落在区间[150，200)的户数；
（2）求直方图中x的值；
（3）求这组数据的平均数.
19．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D是BC上一点.
（1）若点D是BC的中点.求证A1C∥平面AB1D；
（2）若平面AB1D⊥平面BCC1B1，求证AD⊥BC.
20．在①A=π3，a=3，b=2；②a=1，b=3，A=π6；③a=2，b=62，B=π3这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，解三角形.
21．设m为实数，已知函数f(x)=1−m2x−1是奇函数.
（1）求m的值；
（2）证明：f(x)在区间(0，+∞)上单调递减：
（3）当x∈(0，+∞)时，求函数f(x)的取值范围.
22．A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为2：1，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
（2）由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数)，其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程)y与x之间的函数关系式.
（3）请你做一个预算，按第⑵小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱﹖最多要花多少钱?
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sin150°=12，cs30°=32，∴A(12，32) ，∴ tanα=3212=3.
故答案为：C.
【分析】先求出点A的坐标，再根据三角函数的定义 tanα.
2．【答案】C
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的对应法则
【解析】【解答】解：A、f(x)=x2与g(x)=(x+1)2对应关系不同，∴这两个函数不是同一个函数，A错误；
B、函数 f(x)=−x3的定义域是（−∞，0]，值域是[0，+∞)，函数g(x)=x−x的定义域是（−∞，0]，值域是（−∞，0]，这两个函数值域不同，不是同一个数，B错误；
C、函数 f(x)=xx=1的定义域为x|x≠0，函数g(x)=1x0=11=1 的定义域是x|x≠0，定义域对应关系相同，∴这两个函数是同一个函数， C正确；
D、函数 f(x)=x+3⋅x−3的定义域是[3，+∞)，函数g(x)=x2−9的定义域是（−∞，−3]∪[3，+∞)，这两个函数定义域不同，不是同一个数， D错误.
故答案为：C.
【分析】利用同一函数的定义逐一判断选项
3．【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解；二分法求函数零点近似值；函数的零点
【解析】【解答】解：A、函数 f(x)=3x−1在R上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，A不符合题意；
B、函数 f(x)=x3 ​​​​​​​在R上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，B不符合题意；
C、函数 f(x)=|x|≥0 ​​​​​​​​​​​​​​在R上连续，有零点但函数值在零点两侧同号，不可用二分法求零点，C符合题意；
D、函数 f(x)=lnx ​​​​​​​​​​​​​在0，+∞上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二分法求零点定义知函数连续且零点存在性，同时存在符号互异的函数值，进而判断选项.
4．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：∵如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，
∴据图可判断为：棱柱，底面为梯形，三角形等情况，
故选A
【分析】运用图形判断，结合棱柱的概念．
5．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设每生产单位试剂的成本为y，由题意知原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为xx+600x−30元，
∴y=50x+7500+20x+xx+600x−30x=x+8100x+40≥2x·8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等
∴要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位.
故答案为：D.
【分析】设每生产单位试剂的成本为y，求出每生产单位试剂的成本y与 试剂的总产量x 关系式，再结合基本不等式求解.
6．【答案】D
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【解答】解：0.02+0.04+0.06+0.04+a+0.01×5=1，求得a=0.03， ①正确；
根据频率分布直方图计算估计出每周人使用手机时间为0.02×2.5+0.04×7.5+0.06×12.5+0.04×17.5+0.03×22.5+0.01×25.5×5=13.75，②正确；
每周使用时间在[15，20)，[20，25)，[25，30)三组内的学生的比例为4：3：1，根据分层样原理得选取8人进行访谈， 则应从使用时间在[20，25)内的学生中选取的人数为3，③ 正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1， ② 求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值， ③ 利用分层抽样计算出使用时间在 [20，25) 内的学生中选取的人数.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：∵事件A与事件B是互斥事件 ，∴ P(A∩B)=0，P(A)+P(B)≠1，
∴P(A)≠1−P(B)，C错误；
∵P(A)不一定等于0，P(B)不一定等于0，P(A)·P(B)不一定等于0，B错误；
事件A与事件B不一定互斥事件 ，∴ P(A∩B)不一定为0，A错误；
事件A∪B是必然事件，∴ P(A∪B)=1 ，D正确.
故答案为：D.
【分析】由事件A与事件B是互斥事件得到 P(A∩B)=0，P(A)+P(B)≠1，进而判断选项.
8．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示
设圆锥的底面半径为r，则r=OE=52−42=3m，
当正方体上顶点在圆锥侧面，下顶点在圆锥底面时正方体的棱长最大，
设正方体的棱长为a，则AA1=a，AC=2a，
∵∆EAA1~∆EPO，∴AA1PO=EA1EO，即a4=3−2a23，求得 a=36−242m
故答案为：D.
【分析】过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，当正方体上顶点在圆锥侧面，下顶点在圆锥底面时正方体的棱长最大，再根据几何关系求解.
9．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：A lg37lg34=lg47， A错误；
B (110)−lg2+ln(lne)=10−1−lg2+ln(1)=10lg2+1=2 ，B正确；
C 3a⋅a=a13a12=a26+36=a56 ，C错误；
D ∵a+a−1=14，∴a+2a12·a−12+a−1=16，∴a12+a−122=16，则a12+a−12=4 ，D错误.
故答案为：B.
【分析】A根据换底公式判断选项，B利用对数运算判断选项，CD利用根式和分数指数幂的互化运算判断.
10．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：A、 将函数f(x)=2sinx的图象向右来移π3个单位长度，得到y=2sinx−π3，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变)，得到y=2sin12x−π3， ∴ g(x)=2sin(12x−π3) ，A正确；
B、当 x∈[5π3，10π3] 时，12x−π3∈[π，4π3]，∴ g(x)在[5π3，10π3]上单调递减 ，B正确；
C、当 x=2π3 时，12x−π3=0， sin0=0，∴x=2π3 不是g(x)图象的一条对称轴，C错误；
D、当 x∈[−π，π] 时，12x−π3∈[−5π6，π6]，当12x−π3=−π2时，g(x)min=−2，∴ g(x)在[−π，π]上的最小值为-2 ，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先根据三角函数图象变换求出 g(x) 的解析式，再根据三角函数的性质逐一判断选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；二次函数的性质
【解析】【解答】解：由函数f(x)是R上的减函数得 k2≥1k−1>01−k+10⩾k−11，解得2≤k≤6，∴ABC正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由函数f(x)是R上的减函数，可得 k2≥1k−1>01−k+10⩾k−11，进而根据k的范围判断选项.
12．【答案】A,C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；三点共线；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：AB、∵BE→=EC→，∴E是BC中点，∴BC→=2BE→，AE→=12AB→+AC→，
∵ BF→=23BA→+13BC→ ，∴23BA→−BF→+13BC→−BF→=0，∴FC→=−2FA→，∴AC→=3AF→
∴ AM→=λAE→=λ2AB→+AC→=λ2AB→+3λ2AF→ ，BM→=μBF→=μ23BA→+13BC→=2μ3BA→+2μ3BE→，
由 AM=λAE 知A，M，E三点共线，∴λ2+3λ2=1，求得λ=12，同理 μ=34，A正确B 错误；
C、 CM→=CA→+AM→=CA→+λ2AB→+AC→=CA→+14CB→−CA→−CA→=12CA→+14CB→，C正确
D MA→+MB→=−14AB→+AC→−3423BA→+13BC→=14AB→+14BC→+14AC→=14CB→−CA→+14CB→+14CA→=12CB→， D错误.
故答案为：AC.
【分析】由BE→=EC→得到BC→=2BE→，由BF→=23BA→+13BC→得到AC→=3AF→，进而求出 λ，μ判断选项.
13．【答案】2；[0，+∞)
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：设指数函数y=f(x)为f(x)=ax(a>0且a≠1) ，则f(2)=a2=4解得a=2，∴ f(x)=2x，∴ f(12)=212=2；
∵ (12)1−3x=23x−1=f3x−1 ，又f(x)是R上的增函数，∴ f(2x−1)≤(12)1−3x ，即f2x−1≤f3x−1，∴2x−1≤3x−1解得x≥0.
故答案为：2；[0，+∞).
【分析】第一空：先求出 指数函数f(x)解析式 ，再求f(12)；第二空：将f(2x−1)≤(12)1−3x转化为f2x−1≤f3x−1，进而求解 .
14．【答案】0.02
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设事件A1，A2，A3分别表示买到甲、乙、丙的产品，事件B表示买到一件次品，
由题意知PA1=0.3，PA2=0.2，PA3=0.5，PB|A1=0.03，PB|A2=0.03，PB|A3=0.01，
由全概率公式得PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=0.3×0.03+0.2×0.03+0.5×0.01=0.02.
故答案为：0.02.
【分析】利用全概率公式求解.
15．【答案】3；26−16
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵ 3(b−ccsA)sinC=3a ，由正弦定理得 3(sinB−sinCcsA)sinC=3sinA，∴3sinAsinC=3(sinA+C−sinCcsA)=3sinAcsC，又sinA≠0，∴3sinC=3csC，即tanC=3，∴C=π3， 若c=2， 由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，∴4=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab，当且仅当a=b=2时等号，∴ △ABC面积的最大值为S=12absinC=12×4×32=4；
∵ 2sinA−sinB=33 ，∴ 2sinA−sinA+π3=33 ，∴ 32sinA−32csA=33，∴ 332sinA−12csA=3sinA−π6=33，∴sinA−π6=13，又A∈0，2π3，A−π6∈−π6，π2，∴csA−π6=1−sin2A−π6=223，∴csA=csA−π6+π6=csA−π6csπ6−sinA−π6sinπ6=223×32−13×12=26−16
故答案为：3；26−16.
【分析】利用正弦定理化边为角，化简求得C=π3，利用余弦定理和基本不等式求得ab≤4，得到面积最大值；由2sinA−sinB=2sinA−sinA+π3，化简求得sinA−π6=13，csA−π6=223，由csA=csA−π6+π6计算求解.
16．【答案】5
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取BB1中点P'，连接OP'，D1P'，
易求得OP'=BD22+BB122=3，D1P'=BD2+BB122=3，又D1O=BD22+BB12=6，∴D1O2+OP'2=D1P'2，∴D1O⊥OP'，
∵ABCD−A1B1C1D1 为 正方体，∴ CO⊥ 平面BB1D1D，又 D1O⊂ 平面BB1D1D
∴D1O⊥OC，又OC∩OP'=O，OC，OP'⊂平面OPP'，∴ D1O⊥ 平面OPP'，
∴点P的轨迹是线段CP'，
CP'=22+11=5.
故答案为：5.
【分析】在 BB1 上找一点P'，通过证明 D1O⊥ 平面OPP'，得到点P的轨迹是线段CP'，进而求解线段CP'长度.
17．【答案】（1）由题意知tanα=−12，
∴sin2α+3sinαcsα=sin2α+3sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α+3tanαtan2α+1=−122+3·−12−122+1=−1
（2）sin(α+3π2)cs(−α)tan(π−α)sin(π−α)cs(π2+α)=−csαcsα−tanαsinα−sinα=tanα−tan2α=−1tanα=2
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】 (1)根据三角函数定义得tanα=−12， sin2α+3sinαcsα 除以sin2α+cs2α，进行“弦化切”，进而计算；
(2)利用诱导公式化简式子，tanα=−12代入计算.
18．【答案】（1）100×0.006×50=30，∴被调查的用户中，有30户用电量落在区间[150，200)；
（2）由0.0024+0.0036+0.006+x+0.0024+0.0012×50=1，解得x=0.0044；
（3）x=0.0024×75+0.0036×125+0.006×175+0.0044×225+0.0024×275+0.0012×325×50=186kW·ℎ，∴这组数据的平均数为186kW·ℎ.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图估计频数；
(2)根据频率分布直方图的各矩形面积和为1求解；
(3)利用频率分布直方图估计平均数.
19．【答案】（1）连接 A1B交AB1于点E，连接 DE，则E是A1B中点，又 D是BC的中点 ，∴DE∥A1C，又A1C⊄平面AB1D， DE⊂平面AB1D，∴ A1C∥平面AB1D ；
（2）过点B作BF⊥B1D，又平面AB1D⊥平面BCC1B1 ，平面AB1D∩平面BCC1B1=B1D，BF⊂平面BCC1B1，∴BF⊥平面AB1D，
∵AD⊂平面AB1D，∴AD⊥BF，
由直三棱柱性质知B1B⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1，
又BF⊂平面BCC1B1 ，BB1⊂平面BCC1B1 ，BF∩BB1=B，∴AD⊥平面BCC1B1，
∵BC⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥BC.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 、连接 A1B交AB1于点E，连接 DE，通过证明DE∥A1C得到 A1C∥平面AB1D；
(2) 、过点B作BF⊥B1D，通过证明AD⊥BF和AD⊥BB1得到AD⊥平面BCC1B1，进而证明AD⊥BC.
20．【答案】选择① ：∵ A=π3，a=3，b=2 ，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC，
∴3sinπ3=2sinB=2，
求得sinB=22，∴B=π4，∴C=π−A−B=π−π3−π4=5π12，
∴csinB=csin5π12=2
求得c=2sin5π12=2×2+64=2+62；
选择 ② ：∵ a=1，b=3，A=π6 ，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC，
∴1sinπ6=3sinB=2，
求得sinB=32，
∴B=π3或B=2π3，
当B=π3时C=π−A−B=π−π6−π3=π2，c=2sinπ2=2；
当B=2π3时C=π−A−B=π−π6−2π3=π6，c=2sinπ6=1；
选择 ③ ：∵ a=2，b=62，B=π3 ，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC，
∴2sinA=62sinπ3=2，
求得sinA=1，
∴A=π2，∴C=π−A−B=π−π2−π3=π6，c=2sinπ6=22.
【知识点】解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】选择①：利用正弦定理求得 sinB=22 ，再根据 A+Bfx2，∴ f(x)在区间(0，+∞)上单调递减；
（3）由(2)知 f(x)在区间(0，+∞)上单调递减， 当x→+∞，有22x−1→0且22x−1>0，∴f(x)=1+22x−1>1，当x→0，有22x−1→+∞，
∴x∈(0，+∞)，函数f(x)的取值范围是1，+∞.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)由奇函数的定义得f(−x)+fx=0化简求解；
(2)利用单调性的定义证明；
(3)利用（2）的单调性结合指数函数的性质求其范围.
22．【答案】（1）设参加社会实践的教师有a人，学生有b人，学生家长有2a人
由题意得81a+b+2a=1701068a+2a+51b=11220，解得a=10，b=180，
∴参加社会实践的老师有10人、家长有20人、学生有180人；
（2）由(1)知参加社会实践共有210人，其中学生有180人
1°当0