黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高三上学期数学开学考试试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高三上学期数学开学考试试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题为多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
1．已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=（ ）
A．{-1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{-1，4}
2．“01bB．a2>b2C．lna>lnbD．2a-b>1
4．方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知f(x)=lg(e|x|+1)，a=20.3，b=lg32，c=lg214，则f(a)、f(b)、f(c)的大小关系为（ ）
A．f(c)>f(a)>f(b)B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(b)>f(c)D．f(c)>f(b)>f(a)
6．函数f(x)=x2lg32+x2−x的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：L=32.44+20lgD+20 lgF，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减）单位为dB．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率变为原来约（ ）倍（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
8．已知函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减，则a的取值范围（ ）
A．(−∞，4]B．(−4，4]C．[−4，4]D．(−4，+∞)
二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
9．已知x>0，y>0，且2x+y=2，则下列说法中正确的是（ ）
A．xy的最大值为12B．4x2+y2的最大值为2
C．4x+2y的最小值为4D．2x=xy的最小值为4
10．已知函数f(x)=lnx+2x，x>021−x，x≤0则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0
D．当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2]
11．函数f(x)=22x−2x+1+2的定义域为M，值域为[1，2]，下列结论中一定成立的结论是（ ）
A．M⊆(−∞，1]B．M⊇[−2，1]
C．1∈MD．0∈M
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x+1)为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f(x)的图象关于直线x=1对称
B．当x∈[−7，7]时，f(x)的零点有6个
C．f(x+4)=f(x)
D．若f(1)=1，则i=12022f(i)=−1
三、填空题（共4个小题，，每题5分，满分20分）
13．已知函数f(x)=lg15(x+1)，x≥0(12)x2−3，x0ex+1，x≤0，且函数g(x)=f(x)−a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
16．函数f(x)=1x−1-2cs(πx)在[-3，5]上的所有零点之和为 。
四、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）
17．盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．
（1）求取到2个标有数字1的球的概率；
（2）设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．
18．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．
（1）若A+C=120°，a=2c，求边长c；
（2）若A-C=15°，a=2csinA，求△ABC的面积．
19．已知等比数列an的各项均为正值，a3是4a1、2a2的等差中项，a5=32，记bn=lg2a2n−1．
（1）求数列an和bn的通项公式；
（2）设数列1bnbn+1的前n项和为Tn，证明：Tn=12．
20．已知函数f(x)=m(x+1x)−2，x>02(x+1x)+n，xb>0）的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|=4．
（1）求椭圆的方程；
（2）求使|AB|+|CD|取最小值时直线AB的方程．
22．已知函数f(x)=x2+ax+blnx(a，b∈R)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x−y−2=0．
（1）求a、b的值；
（2）求证：当m≥，x＞1时，不等式m(ex-e)>ef(x)恒成立．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：x−1≤1解得0≤x≤2，∴A∩B=1，2.
故答案为：B
【分析】先解绝对值不等式，再利用交集的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数f(x)=1ax2−ax+1的定义域为R，所以ax2−ax+1≠0恒成立，若a=0，则1≠0恒成立，符合题意.
若a≠0则∆=a2−4a1，把方程的解的个数转换成函数图象交点的个数问题即可
5．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由已知可得函数f(x)=lg(e|x|+1)的定义域为R，且f−x=lge−x+1=lg(e|x|+1)=fx所以f(x)是偶函数.
当x>0时，f(x)=lg(ex+1)，由复合函数的单调性可得f(x)在0，+∞上单调递增.
因为a=20.3>20=1，0fb.
故答案为：A
【分析】先利用奇偶函数的定义判断出f(x)为偶函数，再利用复合函数的单调性判断出f(x)在0，+∞上单调递增，结合指数、对数的性质比较出a，b，c的大小即可求解.
6．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数f(x)=x2lg32+x2−x定义域为(−2，2)，f(−x)=(−x)2lg32−x2+x=−f(x)，
则有函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，B，C不满足；
当x∈(0，2)时，2+x2−x>1，即lg32+x2−x>0，因此f(x)>0，A不满足，D符合条件.
故答案为：D
【分析】 求得f (x)的定义域，判断f (x )的奇偶性，当x∈(0，2)时，函数值的符号，由排除法可得答案.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设D0为变化后的传输距离，L0为变化后的传输损耗，F0为变化后的载波频率，则D0=4D，L0=L+18
由已知条件可得L+18=32.44+20lg4D+20lgF0，和变化前的传输关系作差解得lgF0F=910−lg4=0.9−0.3×2=0.3，所以F0F=100.3≈2
故答案为：B
【分析】由前后两个传输公式作差，结合对数运算即可求解.
8．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减 ，则函数y=x2−ax+3a在[2，+∞)上单调递增且y>0恒成立.
即a2≤222−2a+3a>0解得−40恒成立，根据二次函数的性质列出不等关系组即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A由已知可得 2x+y=2≥22xy，解得xy≤12，当且仅当2x=y即x=12，y=1时等号成立，故A选项正确.
B 由已知可得y=2-2x>0，即01时，先证2(ex-1-1)>x2-x+lnx，
构造函数g(x)=2(ex-1-1)-x2+x-lnx，
x>1，则g′(x)=2ex−1−2x+1−1x=2(ex−1−x)+x−1x
构造函数h(x)=ex-1-x，x>1，则h'(x)=ex-1-1，当x>1时，h'(x)>0，
∴函数h(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴当x>1时，h(x)>h(1)=0，则ex-1-x>0，
∴g′(x)=2(ex−1−x)+x−1x>0，
∴函数g(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴g(x)>g(1)=0，即当x>1时，2(ex-1-1)>x2-x+Inx，
则当m≥2，x>1时，m(ex-1-1)>2(ex-1-1)>x2-x+Inx，
∴当m≥2，x>1时，不等式m(ex-e)>ef(x)恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用求导公式求导，根据导数的几何意义求出切线方程，代入即可求解.
(2)构造函数g(x)=2(ex-1-1)-x2+x-lnx，求导再构造函数h(x)=ex-1-x，求导利用单调性讨论即可求解.X
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