河南省新乡市多校联考2022-2023学年高三下学期理数入学测试试卷

这是一份河南省新乡市多校联考2022-2023学年高三下学期理数入学测试试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={4，x，2y}，B={−2，x2，1−y}，若A=B，则实数x的取值集合为（ ）
A．{−1，0，2}B．{−2，2}
C．{−1，0，2}D．{−2，1，2}
2．已知z=1−2i，且a+za⋅z为实数，则实数a=（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
3．在2022年某地销售的汽车中随机选取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格分为五组：[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)（单位：万元）.统计后制成的频率分布直方图如图所示.在选取的1000台汽车中，销售价格在[10，20)内的车辆台数为（ ）
A．800B．600C．700D．750
4．已知直线l交抛物线C：y2=18x于M，N两点，且MN的中点为(5，3)，则直线l的斜率为（ ）
A．95B．32C．3D．185
5．已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为23，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球O′，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球O′的半径为（ ）
A．33B．19C．23D．39
6．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数：N(n，3)=12n2+12n
正方形数：N(n，4)=n2
五边形数：N(n，5)=32n2−12n
六边形数：N(n，6)=2n2−n
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20，23)=（ ）
A．4020B．4010C．4210D．4120
7．如图，程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”执行该程序框图，若输入m=2022，n=1314，则输出m的值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
8．若二项式(2x−1x)n(n∈N∗)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x2项的系数为（ ）
A．−1120B．−1792C．1792D．1120
9．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)图象相邻对称轴间的距离为π2，对任意x，都有g(−x)+g(x)=0，且f(0)=3，则（ ）
A．f(x)的最大值为3
B．f(x)的图象关于点(2π3，0)中心对称
C．f(x)的图象关于直线x=π6对称
D．f(x)在[−5π12，π12]上单调递增
10．已知函数f(x)=x2−2ax+9，x≤1，2x+2x−1，x>1，若f(x)的最小值为6，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，2]B．[−3，3]C．[−3，2]D．[−2，2]
11．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，f(x)+f(−x)=0，对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)f′(x)>x，且f(1)=2，则不等式[f(x−1)]2A．(−∞，0)∪(2，+∞)B．(0，2)
C．(1，3)D．(−∞，1)∪(3，+∞)
12．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，Sn+Sn+1=n(n+2)，则S2024S2023=（ ）
A．10131012B．20232024C．20252023D．10131011
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量a=(4，−2)，b=(2，λ)，若a⊥(a−b)，则λ= .
14．方程5010x+1−5=10x+1的实数解为 .
15．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，AA1=2，AB=3，M是棱C1D1上一点，且D1M=1，则异面直线CD与BM所成角的余弦值为 .
16．已知双曲线x2−y23=1的左右焦点为F1、F2，过F2的直线与双曲线右支交于A、B两点，则△AF1F2、△BF1F2的内切圆面积之和的取值范围是 ．
三、解答题（共7题，共70分）
17．（10分）在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=3，且b=2asin(C+π6).
（1）求角A；
（2）若D为AB的中点，且CD=1，求△ABC的面积.
18．（10分）在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式､认知模式与思维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考.某地对本地群众（中老年人与年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：
设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取到的中老年人数为ξ；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取到的中老年人数为η，已知P(ξ=0)=2317P(η=0).
参考公式及数据：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
（1）求列联表中x，y，M，N的值，并判断是否有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关；
（2）从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出10人，再从抽出的10人中用简单随机抽样的方法抽取3人，若其中经常电子阅读的人数为X，求X的分布列及数学期望.
19．（10分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=8.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.
（1）证明：M为PD的中点.
（2）若二面角B-AM-C的余弦值为33，求AB.
20．（10分）已知椭圆C：x24+y2=1，△PAB的三个顶点都在椭圆C上，且P为椭圆C的左顶点，直线AB经过点(−1，0).
（1）求△PAB面积的最大值.
（2）若△PAB三边所在的直线斜率都存在，且分别记为kPA，kPB，kAB，试判断kAB(kPA+kPB)是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21．（10分）已知函数f(x)=exx2−ax+2alnx.
（1）判断f(x)极值点的个数；
（2）当a≤e时，证明：f(x)≥0.
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcs(θ+π4)=2，曲线C2的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ−3=0.
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P(3，1)，曲线C1与曲线C2的交点为A，B，求|PA|+|PB||AB|的值.
23．（10分）已知函数f(x)=|x+a|+|x−2a|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)≤5.
（2）若对任意x∈R，f(x)≥2a2成立，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合相等
【解析】【解答】因为A=B，所以−2∈A.
当x=−2时，2y=1−y，得y=13；
当2y=−2时，则x=2.
故实数x的取值集合为{−2，2}.
故答案为：B
【分析】由A=B，得到−2∈A，分类x=−2和2y=−2，两种情况讨论，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为a+za⋅z=a+1−2ia(1+2i)=a−3−2(a+2)i5a为实数，所以a=−2.
故答案为：A
【分析】根据复数的运算法则，化简得到a+za⋅z=a−3−2(a+2)i5a，结合复数的基本概念，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由频率分布直方图知，销售价格在[10，20)内的频率是1−(0.015+0.025+0.02)×5=0.7，
所以1000台汽车中，销售价格在[10，20)内的车辆台数为0.7×1000=700.
故答案为：C
【分析】由频率分布直方图知，求得销售价格在[10，20)内的频率是0.7，进而得到销售价格在[10，20)内的车辆台数.
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y12=18x1y22=18x2，两式相减得y12−y22=18(x1−x2)，整理得y1−y2x1−x2=18y1+y2，
因为MN的中点为(5，3)，则y1+y2=6，
所以k=y1−y2x1−x2=186=3，即直线l的斜率为3．
故答案为：C．
【分析】设直线的斜率为k，由方程组y12=18x1y22=18x2，两式相减得y1−y2x1−x2=18y1+y2，结合MN的中点为(5，3)，进而求得直线l的斜率．
5．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】设内切球O的半径为r，球O′的半径为R.设此棱锥的高为ℎ，底面△ABC的中心为M，
因为底面边长为23，底面△ABC的高AN=23×32=3，所以S△ABC=12×23×3=33，
所以三棱锥的体积VP−ABC=13×ℎ×S△ABC=13×ℎ×33=3，求得ℎ=3，
在底面△ABC中AM=23AN=2，
则侧棱长为PA=ℎ2+AM2=(3)2+22=7，
每个侧面的三边长为BC=23，PB=PC=7，则侧面的高PN=PB2−BN2=7−3=2，
所以S△PBC=12BC⋅PN=12×23×2=23，所以三棱锥P−ABC的表面积为3×23+33＝93.
由等积法知V=13×93×r=3，得r=33.
用一平行于底面ABC且与球O上部相切的平面A′B′C′截此三棱锥，下部得到一个高为233的棱台，
那么截得的小棱锥P−A′B′C′的高为ℎ−2r=33，即为P−ABC高的13，则此小棱锥的内切球半径即为球O′的半径，
根据相似关系，截得的棱锥的体积为3×(13)3=19，表面积为93×(13)2=3，
根据等体积法，13×3×R=19，解得R=39.
故答案为：D.
【分析】设内切球O的半径为r，球O′的半径为R.设此棱锥的高为ℎ，底面△ABC的中心为M，根据三棱锥的体积求得ℎ=3，进而求得侧面的高PN=2，得到三棱锥P−ABC的表面积，再结合等体积法，求得球的半径r=33，用一平行于底面ABC且与球O上部相切的平面A′B′C′截此三棱锥，下部得到一个高为233的棱台，得到小棱锥P−A′B′C′的高和P−ABC高的13，根据相似关系，和等体积法，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】N(n，3)=12n2+12n，
N(n，4)=22n2+02n，
N(n，5)=32n2−12n，
N(n，6)=42n2−22n.
由此可归纳N(n，k)=k−22n2+4−k2n，
所以N(20，23)=23−22×202+4−232×20=4010.
故答案为：B
【分析】分别求得N(n，3)，N(n，4)，N(n，5)，…，由此归纳得到N(n，k)=k−22n2+4−k2n，进而求得N(20，23)的值.
7．【答案】A
【知识点】秦九韶算法；辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】题中程序框图为用转相除法求2022和1314的最大公约数.
2022=1314×1+708，1314=708×1+606，708=606×1+102，
606=102×5+96，102=96×1+6，96=6×16+0，结束，
所以2022和1314的最大公约数为6.
故答案为：A
【分析】根据程序框图为用转相除法求2022和1314的最大公约数，结合公约数的计算方法，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n=8.
通项为Tr+1=C8r(2x)8−r(−1x)r=C8r28−r⋅(−1)rx8−32r，
令8−32r=2，得r=4，所以展开式中x2项的系数为C8424(−1)4=1120．
故答案为：D．
【分析】根据题意，得到n=8，求得二项展开式的通项Tr+1=C8r28−r⋅(−1)rx8−32r，令8−32r=2，求得r=4，代入即可求解．
9．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】因为g(x)图象相邻对称轴间的距离为π2，所以g(x)的周期为π，因为g(x)=Asin(ωx−ωπ6+φ)，所以ω=2，g(x)=Asin(2x−π3+φ)．因为g(−x)+g(x)=0，所以g(x)为奇函数，则−π3+φ=kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以φ=π3，f(x)=Asin(2x+π3)．因为f(0)=3，所以A=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)，则f(x)max=2，A不符合题意；
令2x+π3=kπ(k∈Z)，得x=−π6+kπ2(k∈Z)，所以f(x)图象的对称中心为(−π6+kπ2，0)(k∈Z)，不存在k使选项成立B不符合题意；
令2x+π3=π2+kπ(k∈Z)，得x=π12+kπ2(k∈Z)．所以f(x)图象的对称轴为x=π12+kπ2(k∈Z)，不存在k使选项成立C不符合题意；
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ](k∈Z)，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数f(x)=2sin(2x+π3)，可判定A不符合题意；根据正弦函数对称性，求得f(x)图象的对称中心为(−π6+kπ2，0)(k∈Z)，可判定B不符合题意；根据正弦函数的对称性，求得对称轴为x=π12+kπ2(k∈Z)，可判定C不符合题意；根据正弦函数的单调性可判定D符合题意．
10．【答案】C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；基本不等式
【解析】【解答】因为当x>1时，2x+2x−1=2(x−1)+2x−1+2≥22(x−1)×2x−1+2=6，当且仅当x=2时，等号成立，
所以当x>1时，f(x)min=6，当x≤1时，f(x)的最小值大于或等于6.
当a≥1时，f(x)在(−∞，1]上单调递减，则f(x)min=f(1)=10−2a.
由10−2a≥6a≥1得1≤a≤2；
当a<1时，f(x)min=f(a)=−a2+9.
由−a2+9≥6a<1得−3≤a<1.
综合可得a∈[−3，2].
故答案为：C．
【分析】当x>1时，结合基本不等式，求得f(x)min=6；当x≤1时，f(x)的最小值大于或等于6，分a≥1和a<1时，列出不等式组，进而求得 实数a的取值范围 .
11．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的单调性与导数正负的关系；分段函数的应用
【解析】【解答】因为f(x)+f(−x)=0，f(x)的定义域为R，所以f(x)为奇函数，f(0)=0，
令g(x)=[f(x)]2−x2，g(0)=0，
因为对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)f′(x)>x，所以g′(x)=2f(x)f′(x)−2x>0，
所以g(x)在(0，+∞)上单调递增.
因为g(x)为偶函数，所以g(x)在(−∞，0)上单调递减.
不等式[f(x−1)]2所以不等式[f(x−1)]2−(x−1)2<3等价于g(x−1)所以−1故答案为：B．
【分析】由f(x)+f(−x)=0，得到f(x)为奇函数，令g(x)=[f(x)]2−x2且g(0)=0，又由f(x)f′(x)>x，得到g'(x)>0，求得g(x)在(0，+∞)上单调递增，结合g(x)为偶函数，把不等式转化为[f(x−1)]2−(x−1)2<3，进而转化为g(x−1)12．【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的应用
【解析】【解答】因为Sn+Sn+1=n(n+2)，所以当n=1时，S1+S2=2a1+a2=3.因为a1=1，所以a2=1.当n≥2时，
Sn−1+Sn=(n−1)(n+1)，两式相减得an+an+1=2n+1.因为an+an+1=2n+1(n≥2)，
所以an+1−(n+1)=−(an−n)(n≥2).因为a2−2=−1，所以{an−n}从第二项起是公比为−1的等比数列，
所以an=n+(−1)n−1(n≥2)，所以an=1，n=1，n+(−1)n−1，n≥2，
所以S2023=1+2+3+⋯+2023=2023×1012，S2024=1+2+3+⋯+2024−1=2023×1013，
所以S2024S2023=10131012.
故答案为：A
【分析】由Sn+Sn+1=n(n+2)，得到Sn−1+Sn=(n−1)(n+1)，两式相减得an+an+1=2n+1，进而得到an+1−(n+1)=−(an−n)(n≥2)得到数列{an−n}从第二项起是公比为−1的等比数列，求得数列的通项公式，得到S2023，S2024，即可求解.
13．【答案】-6
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为a⊥(a−b)，所以a⋅(a−b)=|a|2−a⋅b=20−(8−2λ)=0，得λ=−6.
故答案为：-6.
【分析】根据a⊥(a−b)，得到a→⋅(a→−b→)=0，列出方程，即可求解.
14．【答案】lg32
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】令10x=t，则50t+1−5=10t，整理得2t2+3t−9=(t+3)(2t−3)=0，解得t=−3（舍去）或t=32，所以10x=32，故x=lg32.
故答案为：lg32.
【分析】令10x=t，转化为2t2+3t−9=(t+3)(2t−3)=0，求得t=−3，进而求得方程的解.
15．【答案】23
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】
因为AB//CD，所以∠ABM即为异面直线CD与BM所成角.连接AM，
因为AD=1，AA1=2，AB=3，所以AM=6，BM=3.
在△ABM中，AM=6，AB=BM=3，
所以cs∠ABM=32+32−(6)22×3×3=23，故异面直线CD与BM所成角的余弦值为23.
故答案为：23
【分析】根据异面直线所成角的定义得到∠ABM即为CD与BM所成角，连接AM，在△ABM中，结合余弦定理，即可求解.
16．【答案】[2π，103π)
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解析：令△AF1F2、△BF1F2的内切圆心为I1、I2，与x轴切于M，N，
则|F1M|=|F1F2|+|F1A|−|F2A|2=3=|F1N|，所以M、N重合于双曲线右顶点．
过F2的直线与双曲线右支交于A、B两点，令∠AF2F1=α∈(π3，2π3)，
内切圆面积和为
S=πr12+πr22=π(tan2α2+ct2α2)∈[2π，103π)．
故答案为：[2π，103π).
【分析】令△AF1F2、△BF1F2的内切圆心为I1、I2，与x轴切于M，N，求得|F1M|=|F1N|，得到M、N重合于双曲线右顶点，过F2的直线与双曲线右支交于A、B两点，令∠AF2F1=α，利用圆的面积公式，即可求解.
17．【答案】（1）解：因为b=2asin(C+π6)，所以sinB=2sinAsin(C+π6)，
所以sin(A+C)=2sinA(32sinC+12csC)，
所以sinAcsC+csAsinC=3sinAsinC+sinAcsC，
即csAsinC=3sinAsinC，
因为sinC≠0，所以csA=3sinA，所以tanA=33，
因为A∈(0，π)，所以A=π6.
（2）解：在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcsA，即1=3+c24−32c，
所以c2−6c+8=0解得c=2或c=4.
当c=2时，S△ABC=12bcsinA=32；当c=4时，S△ABC=3.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意化简得到csAsinC=3sinAsinC，得到csA=3sinA，求得tanA=33，即可求解；
（2） 在△ACD中，由余弦定理得出方程c2−6c+8=0求得c=2或c=4，结合三角形的面积公式，即可求解.
18．【答案】（1）解：因为P(ξ=0)=2317P(η=0)，所以C501C851=2317×Cx1C1151，
解得x=50，y=65，M=100，N=100.
因为K2=200×(50×65−35×50)2100×100×115×85=1800391≈4.604>3.841，
所以有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关.
（2）解：由题意可知，抽出的10人中，经常电子阅读的有5人，经常纸质阅读的有5人，从中取3人，则X的可能取值为0，1，2，3.
因为P(X=0)=C50C53C103=112；P(X=1)=C51C52C103=512；
P(X=2)=C52C51C103=512；P(X=3)=C53C50C103=112.
所以X的分布列为
E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=32.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1） 根据题意求得x=50，y=65，M=100，N=100，结合公式求得K2的值，结合附表，即可得到结论；
（2） 根据题意求得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，结合超几何分布的概率公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.
19．【答案】（1）证明：因为AC是所作球面的直径，所以AM⊥MC.
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为CD⊥AD，PD∩AD=D， PD、AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，
因为CD∩MC=C， CD、MC⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD，
因为PD⊂平面PCD，所以AM⊥PD.
因为PA=AD，所以M为PD的中点.
（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=t，则M(0，4，4)，C(t，8，0)，B(t，0，0).
设平面ABM的法向量为n=(x1，y1，z1)，因为AB=(t，0，0)，AM=(0，4，4)，
所以n⋅AB=tx1=0，n⋅AM=4y1+4z1=0，令y=1，则n=(0，1，−1).
设平面ACM的法向量为m=(x2，y2，z2)，因为AC=(t，8，0)，AM=(0，4，4)，
所以m⋅AC=tx2+8y2=0，m⋅AM=4y2+4z2=0，令y2=1，得m=(−8t，1，−1).
设二面角B-AM-C为α，
则csα=|cs⟨n，m⟩|=|n⋅m||n||m|=22×64t2+2=33，
解得t=4，即AB=4.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 由圆的性质，得到AM⊥MC，结合PA⊥平面ABCD，得到PA⊥CD，证得CD⊥平面PAD，进而得到CD⊥AM，得到AM⊥平面PCD，进而证得AM⊥PD，即可得到M为PD的中点.
（2） 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB=t，分别求得平面ABM和平面ACM的一个法向量n=(0，1，−1)和m=(−8t，1，−1)，结合向量的夹角公式，即可求解.
20．【答案】（1）解：椭圆C：x24+y2=1的左顶点P(−2，0)，显然直线AB不垂直于y轴，
设直线AB的方程为x=my−1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x=my−1x2+4y2=4消去x得：(m2+4)y2−2my−3=0，
则y1+y2=2mm2+4，y1y2=−3m2+4，
因此|AB|=1+m2⋅(y1+y2)2−4y1y2=1+m2⋅4m2(m2+4)2+12m2+4=1+m2⋅4m2+3m2+4，
而点P到直线AB的距离d=11+m2，则S△PAB=12|AB|d=2m2+3m2+4=2m2+3+1m2+3，
令t=m2+3≥3，函数t+1t在t∈[3，+∞)上单调递增，
则当t=3，即m=0时，m2+3+1m2+3取得最小值43，
所以△PAB面积的最大值为32.
（2）解：由（1）知，m≠0，kPA=y1x1+2=y1my1+1，kPB=y2x2+2=y2my2+1，kAB=1m，
则kAB(kPA+kPB)=1m(y1my1+1+y2my2+1)=1m×2my1y2+y1+y2m2y1y2+m(y1+y2)+1
=1m×−6mm2+4+2mm2+4−3m2m2+4+2m2m2+4+1=1m×−4m4=−1，
所以kAB(kPA+kPB)为定值，且kAB(kPA+kPB)=−1.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1） 设直线AB的方程为x=my−1，联立方程组，求得y1+y2，y1y2，利用弦长公式求得|AB|=1+m2⋅4m2+3m2+4，再结合点到直线的距离公式，求得S△PAB=2m2+3m2+4，令t=m2+3，结合基本不等式，即可求解.
（2） 由（1）得到kPA=y1my1+1，kPB=y2my2+1，kAB=1m，进而化简得到kAB(kPA+kPB)=−1，即可得到结论.
21．【答案】（1）解：因为f(x)=exx2−ax+2alnx，所以f′(x)=x−2x(exx2−a)，
令g(x)=exx2(x>0)，则g′(x)=(x−2)exx3，
当02时，g′(x)>0；
所以g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(2)=e24，
当a≤e24时，exx2−a≥0，若x∈(0，2)，则f′(x)<0，若x∈(2，+∞)，则f′(x)>0，
所以f(x)只有一个极值点；
当a>e24时，存在x1∈(0，2)，x2∈(2，+∞)，使exx2−a=0，
当x∈(0，x1)∪(x2，+∞)时，exx2−a>0；当x∈(x1，x2)时，exx2−a<0；
所以若x∈(0，x1)，则f′(x)<0；若x∈(x1，2)，则f′(x)>0；若x∈(2，x2)，则f′(x)<0；若x∈(x2，+∞)，则f′(x)>0；
所以f(x)有三个极值点；
综上，当a≤e24时，f(x)只有一个极值点；当a>e24时，f(x)有三个极值点.
（2）证明：f(x)=exx2−ax+2alnx=ex−2lnx−a(x−2lnx)，
令ℎ(x)=x−2lnx，则ℎ′(x)=x−2x，
所以当x∈(0，2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x∈(2，+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；
所以ℎ(x)≥ℎ(2)=2−2ln2，
令t=x−2lnx，则f(x)≥0等价于et−at≥0，
因为t=ℎ(x)=2−2ln2>0，所以et−at≥0等价于a≤ett，
令φ(t)=ett，t≥2−2ln2，则φ′(t)=(t−1)ett2，
当t∈[2−2ln2，1)时，φ′(t)<0，φ(t)单调递减，当t∈(1，+∞)时，φ′(t)>0，φ(t)单调递增，
所以φ(t)min=φ(1)=e，
因为a≤e，所以a≤φ(t)，故f(x)≥0.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求得f′(x)=x−2x(exx2−a)，令g(x)=exx2(x>0)，求得g(x)的单调区间和最小值g(x)min=e24，当a≤e24时，得到f(x)只有一个极值点；当a>e24时，得到f(x)有三个极值点，进而得到结论；
（2）化简 f(x)=ex−2lnx−a(x−2lnx)，令ℎ(x)=x−2lnx，利用导数求得函数ℎ(x)单调递增，得到ℎ(x)≥2−2ln2，令t=x−2lnx，不等式转化为等价于et−at≥0，等价于a≤ett，令φ(t)=ett，利用导数求得函数φ(t)单调递增和最小值φ(t)min=e，结合a≤e，即可求解.
22．【答案】（1）解：曲线C1的极坐标方程为ρcs(θ+π4)=22ρcsθ−22ρsinθ=2，
因为x=ρcsθ，y=ρsinθ，所以x−y−2=0，
即曲线C1的直角坐标方程为x−y−2=0.
因为曲线C2的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ−3=0，
且x=ρcsθ，x2+y2=ρ2，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2+y2−2x−3=0，
即(x−1)2+y2=4.
（2）解：因为P(3，1)在曲线C1上，所以曲线C1的参数方程为x=3+22ty=1+22t，
将曲线C1的参数方程代入(x−1)2+y2=4中，得t2+32t+1=0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=−32，t1t2=1，
所以|PA|+|PB|=|t1+t2|=32.
因为|AB|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=(32)2−4=14，
所以|PA|+|PB||AB|=3214=377.
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；直线的参数方程
【解析】【分析】（1） 化简曲线C1和C2的极坐标方程为22ρcsθ−22ρsinθ=2和ρ2−2ρcsθ−3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；
（2） 根据题意得到曲线C1的参数方程为x=3+22ty=1+22t，代入C2的方程，求得t1+t2=−32，t1t2=1，结合|PA|+|PB|=|t1+t2|和|AB|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2，即可求解.
23．【答案】（1）解：由题知，当a=1时，f(x)=|x+1|+|x−2|，
所以f(x)=−2x+1，x<−1，3，−1≤x<2，2x−1，x≥2.
因为f(x)≤5，所以x<−1，−2x+1≤5或−1≤x<2，3≤5或x≥2，2x−1≤5，
解得−2≤x<−1或−1≤x<2或2≤x≤3，
所以不等式f(x)≤5的解集为[−2，3].
（2）解：因为f(x)=|x+a|+|x−2a|≥|x+a−x+2a|=|3a|，
所以f(x)min=|3a|，
所以|3a|≥2a2−2，所以2|a|2−3|a|−2≤0，即(2|a|+1)(|a|−2)≤0，
所以|a|≤2，解得−2≤a≤2，
所以a的取值范围为[−2，2].
【知识点】绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1） 当a=1时，化简函数的解析式为f(x)=−2x+1，x<−1，3，−1≤x<2，2x−1，x≥2.，结合f(x)≤5，列出不等式组，即可求解；
（2） 根据绝对值的三角不等式的f(x)≥|x+a−x+2a|=|3a|，求得f(x)min=|3a|，转化为不等式|3a|≥2a2−2，求得|a|≤2，即可求得a的取值范围.
年轻人
中老年人
合计
经常电子阅读
50
35
85
经常纸质阅读
x
y
115
合计
M
N
200
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
X
0
1
2
3
P
112
512
512
112