人教版八年级数学上册第十一章《三角形》教案

这是一份人教版八年级数学上册第十一章《三角形》教案，共37页。

第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边

1.掌握三角形的定义及相关概念.
2.掌握等腰三角形、等边三角形、不等边三角形的定义，掌握三角形按边分类的方法.
3.掌握三角形三边关系定理.
4.通过具体的图形学习三角形、等边三角形、不等边三角形的定义，运用“两点之间，线段最短”推导出三角形三边关系定理.
5.通过求三角形的边长时必须注意三角形的三边关系，训练学生思维的严密性.
【教学重点】
三角形的三边关系.
【教学难点】
三角形三边关系的运用.

一、 情境导入，初步认识
问题1 画一个三角形，结合图形探究三角形的定义及相关概念.
问题2 出示等边三角形、等腰三角形、不等边三角形探究等边三角形、等腰三角形、不等边三角形定义及概念.
问题3 如图，利用“两点之间，线段最短”探究AB、AC、BC之间的关系.

【教学说明】全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师巡回指导，必要时给予个别指导或集体指导，在全班同学基本完成的情况下，针对问题3进行重点讲解.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
思考 1.三角形按边怎样分类？
2.三角形的三边关系是怎样的.
3.已知三条线段，怎样判断它们能否围成三角形？
【归纳结论】 1.主要定义：
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
不等边三角形：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.
2.三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.
3.已知三条线段，可用如下简易方法判断它们能否围成三角形：若两条较短边的和大于最长边，则能围成三角形，否则不能.
4.已知三角形两边长a，b，第三边长为x，则x的取值范围是a-b＜x＜a+b(a≥b).
三、运用新知，深化理解
1.以下列长度的三条线段为边，哪些可以构成一个三角形，哪些不能构成一个三角形？
（1）6，8，10；（2）3，8，11；
（3）3，4，11；（4）三条线长度之比4：6：7
2.等腰△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，连CD，若CD将△ABC周长分成19和8两部分，求△ABC的腰长及底边的长.
【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.
【答案】略.
四、师生互动，课堂小结
请若干同学口头小结，之后将小结放映在屏幕上.

1.布置作业：从教材“习题11.1”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

1.掌握三角形的高、中线与角平分线定义.
2.会画三角形的高、中线与角平分线.
3.掌握三角形的三条高线、三条中线与三条角平分线的有关性质.
4.对学生进行操作训练，边训练边讲解，然后学以致用.
5.训练同学们动手操作的能力，提高学习兴趣.
【教学重点】
画三角形的高线、中线与角平分线.
【教学难点】
画钝角三角形的高线.

一、情境导入，初步认识
问题1 如图，已知△ABC，画它的三条高.

问题2 如图，已知△ABC，画它的三条中线.

问题3如图，已知△ABC，画它的三条角平分线.

【教学说明】对问题1，对于钝角三角形的作高要给予集体指导、分类指导，甚至要进行个别指导，以便让绝大部分同学过关.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
思考 1.锐角三角形的三条高、直角三角形的三条高、钝角三角形的三条高的位置有何不同之处？
2.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自有怎样的位置关系？
3.三角形的角平分线与角的平分线有什么区别和联系？
【归纳结论】1.定义：
三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，所得的垂线段叫做三角形的一条高.
三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的一条中线.
三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与对边相交；以这个顶点和交点为端点的线段叫做三角形的角平分线.
2.三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点有时在形内，有时在直角顶点上，有时在形外；三角形的三条中线交于一点；三角形的三条角平分线交于一点.
3.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；它们的联系是都是平分角.
三、运用新知，深化理解
1.如图，AD是△ABC的中线；BE是△ABC的角平分线，CF是△ABC的高，填空：
（1）BD= = ；

（2）∠ABE=∠ =∠ ；
（3）∠ =∠ =90°.

2.如图，△ABC中，∠A是钝角.

（1）画出AC、AB上的高BD、CE；
（2）画出∠ABC的平分线BF；
（3）画出边AB上的中线CG.
3.已知，如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，且AC与BD交于点E.那么（1）△ADE的边DE上的高为，边AE上的高为 ；（2）若AE=5，DE=2，CD=，则AB= .

4.如图所示，等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长.

5.学完“三角形的高、中线与角平分线”后，我们知道“三角形的一条中线将原三角形分成两种相等的两部分”.课后余老师给同学们布置了这样一道思考题：有一块三角形的厚薄均匀的蛋糕，要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，请你在图中把你的方案画出来，并说明理由.


【教学说明】题1、2、3可让学生自主完成，题4、5教师可给予相应的指导
当已知三角形两条高求其他边长或已知一高与其他边长求另一高时，常用面积作为中间量.涉及等腰三角形边的问题时，常要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去.
【答案】1.（1）DCBC
（2）CBE ABC
（3）CFA CFB
2.图略.
3.AB DC 解析：△ADE是钝角三角形，在三角形外部它有两条高：边DE上的高AB，边AE上的高为DC.又S△ADE=DE·AB=AE·DC，即×2×AB=×5×95，AB=.
4.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x.
(1)当AB+AD=15，BC+CD=6时，有2x+x=15,所以x=5,2x=10,BC=6-5=1.
(2)当BC+CD=15，AB+AD=6时，有2x+x=6.所以x=2,2x=4,所以BC=13.
因为4+4＜13，故不能组成三角形.
所以三角形的腰长为10，底边长为1.
5.略.
四、师生互动，课堂小结
三角形的高、中线与角平分线的定义与性质.
请若干名学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.

1.布置作业：从教材“习题11.1”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.


本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力。
11.1.3 三角形的稳定性

1.通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用.
2.培养实事求是的学习作风和学习习惯.
3.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性.
4.实物演示，激发学习兴趣，活跃课堂气氛.
5.探究质疑，总结结果.和学生共同探究三角形稳定性的实例，回答课前提出的疑惑.
6.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力.
7.通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力.
【教学重点】
了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.
【教学难点】
准确使用三角形稳定性于生产生活之中.

一、情境导入，初步认识
课前准备：木条（用硬纸条代替）若干、小钉若干、小黑板.
问题1 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，钢架桥，其中道理是什么？

问题2 盖房子时,在窗框未安装好之前.木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢? 活动挂架为什么做成四边形？

【教学说明】问题设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导思考为什么要在这些地方用三角形，另一些地方又要用到四边形.注意接纳学生其他不同的思路.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
老师演示P6探究内容，也可叫学生亲手实验，通过实际操作加深学生印象，完后请学生们交流讨论后回答得出了什么？教师根据学生们的回答进行简要归纳.
【归纳结论】三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.
还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形有稳定性，窗框在未安装好之前也不会变形.
三、运用新知，深化理解
1.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 .

2.下列图形中哪些具有稳定性?

【教学说明】本节课的内容较少，题目比较简单，在学生独立完成后，要求学生说明理由.
【答案】1.三角形具有稳定性.
2.（1）（4）（6）中的图形具有稳定性.
四、师生互动，课堂小结
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.

1.布置作业：从教材“习题11.1”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本节课学习三角形稳定性，并板书课题.完成的教学目标是通过观察、实践、想象、推理、小组交流合作，使同学们了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用，培养同学们实事求是的学习作风和学习习惯，以及自主学习和独立思考的能力.
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角

1.掌握三角形的内角和定理.
2.能写出已知、求证，并能用作辅助线的方法证明三角形内角和定理.
3.能运用三角形内角和定理进行简单的证明或计算.
4.先通过实验得出三角形内角之和等于180°的直观结论，再由此得到启发，用过三角形的一个顶点作平行线的方法证明三角形的内角和定理.最后运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算.
5.本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.
【教学重点】
本节的重点是三角形的内角和定理.
【教学难点】
证明三角形的内角和定理.

一、情境导入，初步认识
问题1 在纸上画一个三角形，并将它的内角剪两个下来，与第三个角拼在一起，观察三个角的和是多少？
问题2 怎样证明三角形内角的和等于180°？
【教学说明】全班学生分组实验，约8分钟交流成果，得出“三角形的内角和等于180°”这个直观结论.
由实验过程中的拼合过程得到启发，引导同学们运用所学的知识证明“三角形内角和等于180°”.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.

二、思考探究，获取新知
思考 1.对一个命题进行证明的一般格式是怎样的？
2.除教材以外还有其它方法证明这个结论吗？
3.对一个真命题为什么还要证明呢？
【归纳结论】1.对一个命题的证明的一般格式是：（1）画出图形，根据图形写出已知和求证.（2）写出证明过程.
2.除教材以外，还可以用如下作辅助线的方法证明三角形的内角和定理.

（延长BC至D，过C作CE∥AB）
3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
4.一个命题是否正确，需要经过理由充足，使人信服的推理才能得出结论，这样的推论过程叫做“证明”.观察、试验等是发现规律的重要途径，而证明则是确认规律的必要步骤.
5.辅助线在几何证明中发挥巨大的作用，今后我们会经常遇到这个“朋友”.
三、运用新知，深化理解
1.如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（ ）
A.60°
B.50°
C.45°
D.40°
2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B，∠C的度数.
3.如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于O，∠A=50°，求∠BOC的度数.

4.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数.

5.如图，AD、CE是△ABC的角平分线，AD、CE交于点O.求证：∠AOC=90°+12∠B.

【教学说明】本环节由学生独立思考、自主完成，再进行交流讨论，最后教师给予指导和总结.初学证明，让学生体会证明的逻辑性和严谨性.
【答案】1.D
2.解：∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，设∠A=x,∠B=3x,∠C=5x,由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=x+3x+5x=180°
解得x=20°,则3x=60°,5x=100°,即∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.
3.解：由三角形内角和定理有∠B+∠C=180°-∠A=130°，
∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-（∠B+∠C）=115°.
4.解：∠A=180°-∠B-∠C=60°，∠BAE=∠CAE=∠A=30°.
∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°，则∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°.
∠AEC=180°-∠C-∠CAE=105°.
5.证明：由三角形内角和定理得
∠B+∠A+∠C=180°即∠A+∠C=180°-∠B，
∠AOC+∠DAC+∠ECA=180°即∠DAC+∠ECA=180°-∠AOC，
又∠DAC=∠A，∠ECA=∠C
∴180°-∠AOC=（180°-∠B）
即∠AOC=90°+∠B
四、师生互动，课堂小结
1.三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.
2.证明三角形的内角和定理必须作辅助线，也就说要作出平行线，利用平角来证明，一般来说，共有如下四种方法（如图）：
（1）构造平角
①如图（1），过点A作直线MN∥BC，有∠1=∠B，∠2=∠C.
而∠1+∠BAC+∠2=∠MAN=180°，
所以∠BAC+∠B+∠C=180°.
②如图（2），过BC上一点D作DF∥AB交AC于F，作DE∥AC交AB于E，
则∠1=∠C，∠2=∠B，∠3=∠4=∠A.
所以∠A+∠B+∠C=∠3+∠2+∠1=180°.
（2）构造邻补角
如图（3），延长BC到D，作CE∥AB，则∠1=∠A，∠2=∠B.
所以∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.
（3）构造同旁内角
如图（4），过C点作射线CD∥AB，则∠1=∠A，∠B+∠BCA+∠1=180°，
所以∠B+∠BCA+∠A=180°.

3.作辅助线是几何证明或计算中经常用到的手段，辅助线在解题中具有举足轻重的作用，今后会经常遇到，望同学们仔细体会，辅助线必须画成虚线.

1.布置作业：从教材“习题11.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本课时教学思路按实验、猜想、证明的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，并给学生留下充分的思考时间与空间，形成解决问题的意识与能力.
11.2.2 三角形的外角

1.掌握三角形的外角的定义.
2.掌握三角形的外角的三个重要定理.
3.先通过画图学习三角形外角的定义，再用上一节学过的证明技术证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，再由上面的结论直接推出：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.通过对教材例2的学习，引导学生得出一个重要定理：三角形外角的和等于360°.
4.经历由已知定理推出新定理的过程使学生了解“推陈出新”的辩证唯物主义世界观.
【教学重点】
三角形的外角定义及性质.
【教学难点】
利用三角形的外角性质解决有关问题.

一、情境导入，初步认识
问题1 画一个三角形，延长三角形的一边，就得到三角形的一个外角，请根据图形探究三角形的外角的定义.
问题2 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的关系？你能发现并证明吗？
问题3 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

【教学说明】学生分组讨论，然后交流成果，对问题2要求学生写出已知、求证，再写出证明过程.这里要重点指导，必要时板书示范.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
思考 1.一个三角形有几个外角？
2.三角形的外角有哪些性质.
【归纳结论】1.定义：
三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
2.一个三角形的每一个顶点处有两个外角，它们是对顶角.为了方便，在每一个顶点处只取一个外角，所以一个三角形共有三个外角.
3.三个重要定理
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；
（注意：这里的不相邻三个字特别重要，不可缺少）.
（3）三角形的外角和等于360°.
三、运用新知，深化理解
1.下列四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（）

2.如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）
A.35° B.70°
C.110° D.120°

3.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4，求∠1，∠2，∠3的度数.

4.五角星ABCDE中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于多少度.

5.如图,证明∠1＞∠A.

6.如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD.
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.

【教学说明】教师根据实际情况选取讲解.
【答案】1~5略.
6.解：（1）解法一：如图（甲），延长BP交直线AC于点E.
∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD，
∵∠APB=∠PAE+∠PEA，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.

解法二：如图（乙），过点P作FP∥AC，
∴∠PAC=∠APF.∵AC∥BD，
∴FP∥BD.∴∠FPB=∠PBD.
∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD.
解法三：如图（丙），

∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°.
即∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°.
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
（2）不成立.
（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.
（b）当动点P在射线BA上时，
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）.
（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.
选择（a）证明：如图（丁），连接PA，连接PB交于AC于M.∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD.
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM，∴∠PBD=∠PAC+∠APB.

选择（b）证明：如图（戊），
∵点P在射线BA上，
∴∠APB=0°.∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC.∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.

选择（c）证明：如图（巳），连接PA，连接PB交AC于F
∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD.
∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD.
四、师生互动，课堂小结
1.三角形的外角等于和它不相邻两内角的和.
2.三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角.

1.布置作业：从教材“习题11.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形

1.掌握多边形定义及相关概念.
2.了解什么是凸多边形，什么是凹多边形.
3.掌握正多边形的定义.
4.复习三角形的有关知识，用类比的方法引出多边形的定义及多边形的对角线概念.运用四边形、五边形等简单的多边形作为例子学习对角线、凸多边形、凹多边形等概念，最后学习正多边形的概念.
5.让学生体验“由特殊到一般”的思维方法，从中体验数学的乐趣.
【教学重点】
多边形、正多边形的定义及相关概念.
【教学难点】
1.凸多边形、凹多边形的定义.
2.正多边形的定义.

一、情境导入，初步认识
问题1回顾三角形的定义及边、角、外角的概念，类似地对四边形、五边形、多边形下定义.
问题2 如图是五边形ABCDE，连AC、AD，从而引出多边形对角线的定义.

问题3 如图，两个四边形ABCD，A1B1C1D1是不同类型的两种四边形，前者是凸四边形，后者是凹四边形，请将两个图形的各边都向两边延长，观察它们的区别，从而探究凸多边形与凹多边形的定义.

问题4 画一个正三角形、正方形，从它们的边角特点探究正多边形的定义.
【教学说明】全班同学分组讨论，8分钟后交流成果，老师巡回指导，随时了解学习情况.
对问题1要顺便指导学生多边形的命名法及表示法.
对问题2要求画出五边形的全部对角线，并数一数共有多少条.
对问题3要告诉同学们多边形可分为凸多边形和凹多边形两类，今后如果没有特别说明，一般只讨论凸多边形.
对问题4，告诉学生要从边角两个方面考虑.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
思考为什么正多边形的定义要强调各条边相等，各个角相等？
【归纳结论】1.定义：
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
凸多边形与凹多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫凸多边形，如果整个多边形不都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凹多边形.
正多边形：各条边都相等，各角都相等的多边形叫做正多边形.
2.只有各条边都相等的多边形不一定是正多边形，如菱形的四边都相等，但它不一定是正四边形（即正方形）.只有各角都相等的四边形不一定是正多边形，如长方形的各角都相等，但它不一定是正四边形.

三、运用新知，深化理解
1.下列图形中是正多边形的是（ ）
A.等边三角形
B.长方形
C.边长相等的四边形
D.每个角都相等的六边形
2.如果把一个三角形剪掉一个角，剩余的图形是几边形？
3.画出下列多边形的全部对角线，想一想，n边形共有多少条对角线？

（提示：n边形共有条对角线）
4.某学校七年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.一共需进行 场比赛.
5.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？从n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？
（提示：从n边形的一个顶点出发，可以画出（n-3）条对角线，它们把n边形分成（n-2）个三角形.本题为下节课作好铺垫）.
【教学说明】题1、2、3由学生自主完成，题4、5让同学们分组讨论，互相交流，再由教师给予指导和总结.
【答案】1.A 解析：因为三角形具有稳定性，当三角形的各边相等时，各角也相等，而其他多边形不具有稳定性，因此判定正多边形必须同时具备各边都相等，各内角都相等两个条件.
2.解：把一个三角形剪掉一个角分两种情况：第一种情况如图(1)所示，此时剩余部分为三角形；第二种情况如图(2)所示，此时剩余部分为四边形.

3.解：如图

4.15 解析：本题体现数学与体育学科的综合，解题方法可参照多边形对角线条数的求法，总场数即为多边形的对角线条数加边数.如图所示，共需比赛（场）.

5.解：四边形可以分成2个三角形；五边形可以画出2条对角线，分成3个三角形；n边形可以画出（n-3）条对角线，分成（n-2）个三角形.
四、师生互动，课堂小结
请学生总结本节学习重点，教师将小结内容出示在屏幕上.

1.布置作业：从教材“习题11.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组之间充分交流后概括所得结论，既巩固了三角形的知识，又用类比的方法引出多边形的有关概念，加深对本课时的学习.

11.3.2 多边形的内角和

1.掌握多边形的内角和定理、外角和定理.
2.运用多边形的内角和、外角和定理进行证明或计算.
3.通过证明四边形内角和定理的方法启示，求五边形、六边形的内角和，从而求n边形的内角和，依此推出多边形的外角和定理.最后运用这两个定理进行简单的证明或计算.
4.通过本节课的学习，使同学们掌握“由特殊到一般”及“化未知为已知”的科学学习方法提高学习的兴趣和效率.
【教学重点】
多边形的内角和定理、外角和定理.
【教学难点】
探求多边形的内角和定理、外角和定理及这两个定理的灵活运用.

一、情境导入，初步认识
问题1 从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180°× .
从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180°× .
……
从n（n≥3且为整数）边形的一个顶点出发，可以引 条对角线；它们将n边形分为 个三角形，n边形的内角和等于180°× .
问题2 如图，∠1，∠2，∠3，…，∠n是n边形ABCD…的外角，求∠1+∠2+∠3+…∠n.

【教学说明】对问题1，全班同学独立完成，5分钟后请学生上黑板写出各自的答案，然后引导同学们得出多边形的内角和定理.
对问题2，可作如下提示：∠1+∠1′=？，∠2+∠2′=？，∠3+∠3′=？，……，∠n+∠n′=？，∠1′+∠2′+∠3′+…∠n′=？教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
思考 n边形的内角和、外角和分别是多少？
【归纳结论】n边形的内角和等于（n-2）×180°.
多边形的外角和等于360°.
三、运用新知，深化理解
1.一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）
A.正六边形
B.正七边形
C.正八边形
D.正九边形
2.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后左转40°，再沿直线前进10米后又左转40°，……照这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了 米.

3.已知一个多边形，它的外角和等于内角和的，求这个多边形的边数.
4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

（提示：连AE，得五边形ABCDE）
5.一个多边形，除去一个内角α，其余各角之和为2750°，求∠α的度数和这个多边形的边数.
6.某同学计算多边形内角和时，得到的答案是5243°，老师指出他把某一个外角也加了进去，他计算的是几边形的内角和？这个多边形一定有一个内角是多少度？
7.一个正多边形至多有几个锐角，为什么？
【教学说明】本环节可由教师根据实际教学进行选择性讲解.
【答案】1.C 解析：设该多边形为正n边形，则有45°×n=360°,解得n=8.
2.90 解析：依题意知小明所走的路线是一个正n边形，则每个外角都是40°，则有40°×n=360°，解得n=9,所以小明一共走了10×9=90米.
3.解：多边形的外角和为360°,所以该多边形的内角和为360°×4=1440°.由多边形内角和定理得（n-2）×180°=1440°解得n=10,即这个多边形的边数为10.
4.解：如图，连结AE.

在△AHE中，∠HAE+∠HEA+∠AHE=180°，
在△FGH中，∠G+∠F+∠FHG=180°，
又∠AHE=∠FHG
∴∠HAE+∠HEA=∠F+∠G
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠HAE+∠HEA=∠BAE+∠B+∠C+∠D+∠DEA
即为五边形的内角和
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）×180°=540°
5.解：设这个多边形边数为n，
因为2750°=15×180°+50°，
所以n-2=16，
50°+α=180°
∴∠α=130°，n=18.
6.解：5243°=29×180°+23°
由（n-2）×180°=29×180°得n=31
180°-23°=157°
所以他计算的是31边形的内角和，其中一定有一个内角是157°.
7.解：一个正多边形至多有3个锐角，理由是因为正多边形的外角和为360°，所以外角中至多3个钝角.
四、师生互动，课堂小结
1.n边形的内角和等于（n-2）×180°.
2.多边形的外角和等于360°.
3.多边形内角和定理证明的思想方法是将多边形的内角和问题转化为三角形内角和的问题.除教材介绍的方法外，还可以用下面的方法：

（1）如图（1），点P在多边形内部，辅助线将n边形分成n个三角形，再减去一个周角，即n×180°-360°=（n-2）×180°.
（2）如图（2），点P在多边形边上，辅助线将n边形分成（n-1）个三角形，再减去以P为顶点的一个平角即为多边形的内角和，故多边形内角和为（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.
（3）如图（3），点P在n边形的外部，辅助线将n边形分成了（n-1）个三角形，再减去外面那个三角形的内角和即为多边形的内角和，故n边形的内角和为：（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.
4.多边形的内角和与边数有关，外角和与边数无关，多边形每增加一边，它的内角和增加180°，而外角和不变.

1.布置作业：从教材“习题11.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、交流和表述，激发学生学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，适时调度，查漏补缺，从而顺利达到教学目的.
章末复习

1.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）.理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形.会画任意三角形的高、中线、角平分线.了解三角形的稳定性.
2.了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.了解多边形的有关概念（边、内角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式.
4.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.
5.结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，在此基础上，进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边形内角和、外角和知识综合运用能力.
6.通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的目的.
【教学重点】
三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知识的灵活运用.
【教学难点】
简单的几何证明及几何知识的简单应用.

一、知识框图，整体把握

二、回顾思考，梳理知识
1.本章的主要内容是：三角形的概念，三角形的三边关系定理，三角形的三条重要线段（高线、中线和角平分线）.三角形内角和定理.三角形的外角，多边形的内、外角和定理，简单的平面镶嵌.三角形的稳定性和四边形的不稳定性.
2.经历三角形内角和等于180°的验证与证明过程，初步体验对一个规律的发现到确认的艰辛历程.体会证明的重要性，初步接触辅助线在几何研究中不可或缺的作用.
3.三角形是我们认识许多其他图形的基础，如研究多边形的内角和时，就是过多边形的某顶点作出它的全部对角线，将多边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题.
三、典例精析，复习新知
例1 如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为 .

分析：由三角形内角和定理得∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°.折叠以后，变成了四边形，因四边形的内角和为360°，故∠AED+∠BDE=360°-∠A-∠B=220°.在△CDE中，∠CDE+∠CED=180°-∠C=180°-40°=140°.所以∠2=220°-140°-∠1=60°.
例2 在绿茵场上，足球队带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？

解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中，理由说明如下：
延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE，所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE，即∠ADB＞∠ACB.
【教学说明】1.本题作了一条辅助线，构造了两个三角形的外角，在说理中发挥了至关重要的作用；2.辅助线要画成虚线.
例3 已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x-1，5x-3，求其周长.
解：本题分类讨论，求出x后再求出三边，一定要检验是否符合三角形三边关系定理，若不符合，必须舍去.
（1）若x=2x-1，则x=1，此时三边为1，1，2，因为1+1=2，不符合三角形三边关系，舍去；
（2）若x=5x-3，x=.此时三边为，，，符合三角形三边关系，周长为++=2.
（3）若2x-1=5x-3，x=.此时三边为，，，因为+=，所以不符合三角形三边关系，舍去.综上，此等腰三角形周长为2.
例4 如图，D、E为△ABC内的两点，试说明AB+AC＞BD+EC+DE的理由.

解：本题显然要运用三角形三边关系定理证明.由于BD、DE、CE不是三角形的边，所以延长BD、CE交于F，再延长BF交AC于P，便可构成所需要的三角形，再运用三角形的三边关系定理经过变换证明结论.在△ABP中，AB+AP＞BP=BF+FP.在△PFC中，FP+PC＞FC=FE+EC.∴AB+AP+FP+PC＞BF+FP+FE+EC.即AB+AC＞BF+FE+EC=BD+DF+FE+EC.在△FDE中，DF+FE＞DE，所以BD+DF+FE+EC＞BD+DE+EC.所以AB+AC＞BD+DE+EC.
【教学说明】本题在延长BD、CE交于F后，也可以延长CF交AB于G，同样也可证明出结论.
例5 如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A.150°
B.130°
C.120°
D.100°

分析：在四边形ADPE中，∠DPE=360°-∠A-∠ADP-∠AEP=360°-50°-90°-90°=130°.选B.
例6 如图所示，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.

（1）试探求∠F与∠B、∠D间有何种等量关系.
（2）EF与FC能垂直吗？说明理由.
（3）若∠B∶∠D∶∠F=2∶x∶3，求x的值.
解：（1）∠D+∠B=2∠F.
∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD，
∴∠1=∠BED，∠2=∠BCD.
而∠EMC=∠D+∠BED，∠EMC=∠F+∠BCD，
∴∠D+∠BED=∠F+∠BCD，①
同理可得：∠B+∠BCD=∠F+∠BED.②
①+②，得∠D+∠B=2∠F.
（2）能，若EF与FC垂直，即∠F=90°，
则∠B+∠D=180°.
也就是说，如果∠D与∠B互补，则EF⊥FC.
（3）∵∠B∶∠D∶∠F=2∶x∶3，
∴设∠B=2m，∠D=xm，∠F=3m.
由（1）得xm+2m=2×3m，
∴x=4.
例7 阅读下面的问题及解答：
如图（1），△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A，如图（2），△ABC中∠ABC、∠ACB的三等分线交于O1、O2，则∠BO1C=×180°+∠A，∠BO2C=×180°+∠A.根据以上信息：

（1）你能猜想出它的规律？n等分时［内部有（n-1）个点］，∠BO1C=，∠BOn-1C=（用含n的代数式表示）.
（2）根据你的猜想，当n=4时说明∠BO3C的度数成立.
解：（1）当n=2时，∠BOC=×180°+∠A，当n=3时，∠BO1C=×180°+∠A，∠BO2C=×180°+∠A.
由此可见，系数分母即是n，∠BO1C的系数的第一个分子是n-1，第二个分子是1.由此可猜想∠BO1C=×180°+∠A.同理：∠BOn-1C=×180°+∠A.
（2）当n=4时，代入所猜想的公式得∠BO3C=×180°+∠A.另外，在△BO3C中，由三角形内角和定理得∠BO3C=180°-（∠O3BC+∠O3CB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=×180°+∠A.结果与猜想一致.
【教学说明】本题是阅读猜想题，是热点题型，能大大激发学生的求知欲，深受师生欢迎.
例8 求证：两条平行线被第三条直线所截得的一组同旁内角的平分线互相垂直.
（仿照教材证明三角形内角和等于180°的过程进行证明，先画出图形，按图形写出已知和求证，再进行证明.）

解：已知：如图，AB∥CD，EF交AB、CD于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，EM与FN交于G.
求证：EM⊥FN
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°.
∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，
∴∠1=∠BEF，∠2=∠DFE.
∴∠1+∠2=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°.∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=90°.
∴EM⊥FN.
【教学说明】证明过程由“∵、∴”构成，要求每一步都有依据.
例9 一个多边形从某一个顶点出发截取一个角后，所形成的多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数.
解：设原多边形是n边形，分两种情况讨论：（1）若截线不经过多边形的另一个顶点，则新多边形仍是n边形（如图（1））.由题设得（n-2）·180°=2520°.解得n=16；（2）若截线经过多边形的顶点，则新多边形（n-1）边形（如图（2）），由题设得（n-1-2）·180°=2520°.解得n=17.综上n=16或17.


1.布置练习：从教材“复习题11”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.

利用知识回顾与典型剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.