新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 等差数列的性质（含解析）

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1. 等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝eq \f(an－am,n－m).
②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.
④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.
⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md.
注：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ap(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量.
(2)与和有关的性质
①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列.
②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n－1,n)(S奇≠0).
③{an}为等差数列⇒ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列.
④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1) (bn≠0，T2n－1≠0).
2. 关于an的结论
(1)在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝eq \f(an＋an＋2,2)，等价于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1.
(2)若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列.
3. 关于Sn的结论
(1)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关.
①若a1>0，d0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1