新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 二倍角公式的应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 二倍角公式的应用（含解析），共27页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
sin2α＝2sinαcsα. S2α
cs2α＝cs2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cs2α－1. C2α
tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α). T2α
2. 简单的三角恒等变换
(1)降幂公式
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2).
sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
(2)升幂公式
1＋csα＝2cs2eq \f(α,2).
1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2).
1－sinα＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
【题型归纳】
题型一：给值求值
1．已知是第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：与诱导公式综合
4．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）．
A．B．C．D．
5．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：利用二倍角公式化简求值
7．若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
10．若，，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知，则（ ）
A．B．C．D．
12．若，则
A．B．C．D．-1
13．已知过点的直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当最小时，直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
14．人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（ ）
A．B．C．D．
15．若，则（ ）
A．B．
C．D．
16．若，则（ ）
A．B．C．D．
17．若，则（ ）
A．B．C．D．
18．已知，则（ ）
A．B．C．D．
19．已知，则（ ）
A．B．C．D．
20．已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A．B．
C．D．
21．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
22．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
23．若，，则（ ）．
A．B．C．D．
24．式子的值等于（ ）
A．B．C．D．
25．若，则（ ）
A．B．C．D．1
26．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
27．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
28．已知，则（ ）
A．B．C．D．
29．若，，则（ ）
A．B．C．D．
30．，则（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
31．若，则（ ）
A．B．C．D．
32．小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（ ）．
A．B．C．D．
33．若，则（ ）
A．B．C．D．
34．若，则（ ）
A．B．C．D．
35．函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
二、多选题
36．已知函数，则（ ）
A．函数在区间上为增函数
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到
D．对任意，恒有
37．下列各式中值为的是（ ）．
A．B．
C．D．
38．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．则（ ）
A．B．当时，
C．D．
39．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
40．已知＝，则sin2x＝________．
41．已知是第二象限角，且，则的值为______．
42．已知不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数：___________.
①定义域为R；②；③；④.
43．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，﹣1）在角α的终边上，则sin2α＝_____．
44．计算：___________.
45．若，且，则____
四、解答题
46．已知，求的值．
47．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
48．在中，已知，且.
（1）求的面积；
（2）若，求.
49．已知，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
50．（1）设坐标平面内三点､､，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可求得的值.
【详解】
因为是第二象限角，且，则，
因此，.
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
首先将转化为，再将未知角向已知角转化，根据倍角公式求出的值.
【详解】
因为，
所以，
所以.
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.
【详解】
由题意得，则．
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
解：因为角的终边经过点，所以，
故.
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
根据终边上的点确定角的正余弦值，再利用诱导公式及二倍角正弦公式即得.
【详解】
由题知，
所以，
∴.
故选：A.
6．C
【解析】
【分析】
根据所求先利用诱导公式转化为，由于有正切值，无角度范围，结合平方公式，将所求化为分式齐次式，同除，转化为只含的式子，即可求解.
【详解】
解：
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案.
【详解】
因为，，所以，，
所以
．
故选: C．
8．A
【解析】
【分析】
根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可
【详解】
因为，显然，故，
故选：A
9．C
【解析】
【分析】
根据余弦值的定义可得，再根据诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】
由题意可得，所以
故选：C
10．A
【解析】
【分析】
由商数关系及二倍角正余弦公式得，结合已知列方程求得，再根据平方关系求.
【详解】
因为，且，
所以，得，
所以.
故选：A
11．D
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可.
【详解】

故选：D.
12．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简得到，再结合二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】
，即
所以
故选C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.
13．B
【解析】
【分析】
由题意结合三角函数的知识可得，，结合正弦的二倍角公式可得，求出后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解.
【详解】
设，如图：
则，，
所以，
所以当即时，最小，
此时，直线的倾斜角为，斜率，
所以直线l的方程为即.
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.
14．A
【解析】
【分析】
由正弦定理得到，结合倍角公式，求得，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】
在中，，
由正弦定理得，即，
由倍角公式得，，
解得，
，
故选：A
15．D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简，再结合的范围确定和的符号即可求解.
【详解】
由二倍角公式可知，，，
从而，
又因为，所以，，
从而.
故选：D.
16．A
【解析】
【分析】
由二倍角正弦公式和同角关系将转化为含的表达式，由此可得其值.
【详解】

．
故选：A.
17．A
【解析】
【分析】
根据二倍角余弦公式，代入数据即可得答案.
【详解】
由二倍角公式得，
故选：A
【点睛】
本题考查二倍角公式的应用，属基础题.
18．D
【解析】
【分析】
先根据诱导公式进行化简，然后利用二倍角的余弦公式求解出结果.
【详解】
因为，所以，
又因为，
所以，
故选：D.
19．D
【解析】
先用诱导公式化为，再用二倍角公式计算．
【详解】
.
故选：D
20．B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】
，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
21．C
【解析】
【分析】
求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
22．B
【解析】
【分析】
利用同角公式化正弦为余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.
【详解】
依题意，原等式化为：，整理得：，
因，则，解得：，
所以.
故选：B
23．A
【解析】
【分析】
已知等式平方后应用二倍角公式得，同时判断出，可再利用平方关系求得，从而可得，代入即得结论．
【详解】
∵，①
∴，即，
∴．
∵，且，∴，，
∴．
变形得，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，解题中应用平方关系时要注意确定函数值的符号，确定解的情况．
24．A
【解析】
根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简.
【详解】
，
故选：A.
【点睛】
本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题.
25．D
【解析】
【分析】
将等式两边平方，再用正弦二倍角公式即可.
【详解】
因为，所以，即，，
故选：D
【点睛】
本题考查了同角三角函数中的平方关系和正弦二倍角公式，属于简单题，解题中需要注意正弦、余弦的和与积之间的互化方法.
26．B
【解析】
【分析】
根据角终边上点的坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值．
【详解】
因为终边上点，所以，
所以
故选：B．
27．B
【解析】
【分析】
本题首先可根据得出，然后根据诱导公式以及二倍角公式即可得出结果.
【详解】
，即，
，，
则
，
故选：B.
28．B
【解析】
【分析】
根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值.
【详解】
由知，，或，，
则，
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式结合弦化切可求得的值，再利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】
由题可得，解得.
，，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用弦化切求值，同时也考查了二倍角的余弦公式以及诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
30．C
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式求，再由求即可.
【详解】
由，得，
∴，
故选：C．
31．C
【解析】
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
32．A
【解析】
【分析】
设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，根据题意求得，由切线的性质和正弦函数的定义可得，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.
【详解】
设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示
易知“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，
则由题意知，解得，
AB与圆弧相切于点B，则，
∴在中，，
由对称性可知，，则，
∴，
故选：A．
33．B
【解析】
【分析】
由可求得 ，根据二倍角公式化简计算即可得出结果.
【详解】
,
.

故选：B
34．B
【解析】
【分析】
结合诱导公式和二倍角的正切公式化简求值即可.
【详解】
由，得，
则．
故选：B．
35．B
【解析】
利用诱导公式及二倍角公式可得，令，将函数转化为，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；
【详解】
解：因为
所以
令
则
则
令，得或
当时，；时
所以当时，取得最大值，此时
所以
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．
36．ABD
【解析】
首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得，根据正弦函数的单调递增区间可判断A；根据正弦函数的对称轴可判断B；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C；代入利用诱导公式可判断D.
【详解】
.
当时，，函数为增函数，故A中说法正确；
令，，得，，
显然直线是函数图像的一条对称轴，故B中说法正确；
函数的图像向右平移个单位得到函数
的图像，故C中说法错误；
，故D中说法正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题是一道三角函数的综合题，考查了二倍角公式以及三角函数的性质、图像变换，熟记公式是关键，属于基础题.
37．AC
【解析】
【分析】
选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值.
【详解】
因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，
整理得，，故选项D错误；
故选：AC.
38．ACD
【解析】
【分析】
根据题目定义以及二倍角公式即可判断A正确，令，可得，可判断出B错误，令可得，结合可判断出C正确，根据二倍角公式可知，D正确．
【详解】
因为，
所以，即，故选项A正确；令，则，则，则，即选项B错误；令，则，可得，所以，则选项C正确；设，则，将代入，方程成立，即选项D正确．
故选：ACD．
39．ABC
【解析】
【分析】
根据大边对大角以及正弦定理即可判断A；根据余弦函数的单调性以及可判断B；利用正弦定理化边为角以及同角三角函数商数关系可得即可判断C；利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得进而可得或即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为，所以，由正弦定理可得（是外接圆的半径），所以，故选项A正确；
对于B：因为在上单调递减，且，所以，故选项B正确；
对于C：因为，由正弦定理化边为角可得，
又因为，所以，所以，故选项C正确；
对于D：利用正弦定理化边为角可得，所以，所以或，故选项D错误．
故选：ABC．
40．
【解析】
【分析】
利用诱导公式、二倍角余弦公式得sin2x＝2cs2－1，结合已知求值即可.
【详解】
∵sin2x＝cs＝cs2＝2cs2－1，
∴sin2x＝2×－1＝－1＝．
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的正切公式求解.
【详解】
，是第二象限角，
，
，
故答案为：
42．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据，可得，进而联想到二倍角的余弦公式，再根据，可得函数的周期，然后根据得到答案.
【详解】
由，得，
联想到，可推测，
由，得，则，
又，所以（，为偶数，且），
则当k=2时，.
故答案为：（答案不唯一）.
43．
【解析】
【分析】
由已知结合三角形函数的定义可求，然后结合二倍角的正弦公式即可求解．
【详解】
解：由题意可得，，，
所以sin2α＝2sinαcsα．
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数中的倍角公式，属于简单题
44．##
【解析】
【分析】
先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故答案为：
45．
【解析】
【分析】
利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为，结合角的范围求值，再应用二倍角正切公式求即可.
【详解】
∵，
∴或，又，
∴，则．
故答案为：
46．
【解析】
根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为，将所求式中的2，用替换，整理化为齐二次分式，分子、分母同除以，化弦为切，即可求解
【详解】
解：因为
，
所以
．
【点睛】
本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题.
47．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】
（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cs，
∴sin2α＝2sinαcsα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】
本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
48．（1）2；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用对数运算得到，利用二倍角公式求得得到,进而利用三角形面积公式计算；
（2）利用余弦定理计算即得.
【详解】
（1）由，得.∵，∴，∴.∴.
（2）对于，又，由余弦定理得，∴.
49．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先利用同角三角函数关系求出，从而得到，再利用正弦二倍角公式计算即可.
（2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案.
【详解】
（1）因为，，所以，
所以，.
（2）.
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题.
50．（1）1或2；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果.
（2）根据斜率与倾斜角关系，应用倍角正切公式求直线的斜率.
【详解】
（1）由，即，解得或，
经检验均符合题意，故m的值是1或2；
（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.
由已知，，则直线的斜率为.