新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 解三角形的长度 面积的取值范围问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 解三角形的长度 面积的取值范围问题（含解析），共35页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
解三角形中的长度范围问题时，要着眼于边长之间的关系，可以将边的关系转化为角的关系，也可以将角的关系转化为边的关系，这类问题的主要思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，借助于三角函数的有界性，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围或最值.
【题型归纳】
题型一：长度问题
1．已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．中，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型二：面积问题
4．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
5．的内角所对的边分别为.已知，则的面积的最大值（ ）
A．1B．C．2D．
6．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ ）
A．3B．6C．D．
【双基达标】
7．在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角、、所对的边分别为、、，，若，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设点P在内且为的外心，，如图，若的面积分别为，x，y，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
10．在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
11．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若的外接圆直径为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为
A．25B．C．D．
13．在中，、、分别为边、、所对的角，若、、成等差数列，则的取值范围是
A．B．C．D．
14．在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）
A．B．C．D．
15．在中，，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
16．阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
17．在中，的平分线交于点，，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（ ）
A．B．C．D．
19．在中，内角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
20．的外接圆半径，角，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
21．在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
22．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则△面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
23．在中，，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
24．在中，已知，，则周长的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
25．在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
26．在中，，，则周长的最大值为
A．8B．7C．6D．5
27．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
28．在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
29．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（ ）
A．B．C．D．
30．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、多选题
31．在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．的最大值为
C．D．角的最小值为
32．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值可以是（ ）
A．B．C．1D．
33．在锐角中，边长，，则边长c可能的取值是（ ）
A．B．2C．D．
34．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A．
B．
C．的最大值为3
D．的取值范围为
三、填空题
35．已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为___________.
36．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．
37．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．
38．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为______．
39．如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧上一动点，B为半径上一点且满足，则的周长的最大值是______．
40．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccsB=acsB+bcsA，b=2，则△ABC的面积的最大值是___________.
四、解答题
41．在中，内角所对边分别为，已知
(1)求角的值；
(2)若，求周长的最大值.
42．在中，、、分别是角、、所对的边，已知，，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值.
（3）求周长的取值范围.
43．在中，.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求周长的最小值.
44．已知函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）若对，恒有成立，且______，求面积的最大值.
在①的外接圆直径为4，②是直线截圆所得的弦长，③这三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中，，分别为的内角A，，所对的边.
45．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的取值范围．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
推导出为的重心，可得出，利用平面向量加法的平行四边形法则可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出，利用基本不等式可求得的最大值，即可得解.
【详解】
在中，、分别是线段、的中点，与交于点，则为的重心，
因为，故，则.
，
，
所以，，
即
，
所以，，
，当且仅当时，等号成立.
因此，周长的最大值为.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求三角形周长的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
2．A
【解析】
【分析】
由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解
【详解】
由正弦定理可得
又因为三角形是锐角三角形，
所以，即，也即,
所以，
所以，，，
，
所以的取值范围是，
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
利用平方关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，最后由正弦定理及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，
即，
由正弦定理可得，
由余弦定理，
因为，所以，
由正弦定理，所以，
因为，所以，所以.
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
根据利用三角恒等变换和正余弦定理得到，再根据余弦定理和基本不等式可得csB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据可求△ABC面积的最大值．
【详解】
，
，
即，
即，
则，
整理得，
∴，
当且仅当时取等号，
，
则．
故选：C．
5．B
【解析】
【分析】
根据，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，再根据，利用余弦定理化角为边求得边，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，
由，得，
所以，当且仅当时，取等号，
则，
所以的面积的最大值为.
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
先求出，再使用余弦定理和面积公式表达出，结合三角形三边关系求得，从而得到面积的最大值.
【详解】
，故，因为，所以，又，由余弦定理得：，由面积公式得：，由三角形三边关系得：，解得：，故当时，△ABC面积取得最大值，此时面积为3.
故选：A
7．A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得；利用余弦定理可构造等量关系求得，进而得到；利用三角形面积公式，将表示为以为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值.
【详解】
由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
则当时，，.
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
首先由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值；
【详解】
解：∵，∴，∴，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，∵，∴，即的最小值为，
故选：C．
9．B
【解析】
【分析】
由得到外接圆半径的平方，设，将x，y用表示，再结合二倍角公式化简即可得到答案.
【详解】
因为，所以，设外接圆半径为r，
所以，解得，
设，则，
，，
故
当时，等号成立．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：引入变量，将均用变量表示，将最后结果表示为关于的三角函数，利用三角函数的性质求最值是解题的关键.
10．B
【解析】
【分析】
由已知利用三角形的面积公式可求的，进而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的周长即可求解其最大值．
【详解】
，
即，又，
解得，，
又，由余弦定理可得：，
，即
当且仅当时取等号，
则周长的最大值是，
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
首先由正弦定理化简关系式得到，接着有正弦定理将表示成，代入已知条件得到，最后根据锐角三角形求出角B的范围，进而三角函数单调性求出的取值范围.
【详解】
由正弦定理及，
得，
，
即，
.
，.
即，，
.
又是锐角三角形，
，解得，
.
，，
，
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查解三角形，在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
12．D
【解析】
【分析】
设∠CED＝θ；DE＝x，则∠BFE＝+θ；则CE＝xcsθ，
在△BFE中利用正弦定理即可求出x与θ的关系式，即可得到x的最小值，即可解出面积的最小值．
【详解】
△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10 m，可得CB，
△DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝+θ；则CE＝xcsθ，
△BFE中由正弦定理，可得
可得x，其中tanα；
∴x；
则△DEF面积S
故选D
【点睛】
本题考查解三角形，合理设出参数，找到等式是解题的关键．属于中档题．
13．B
【解析】
【分析】
由题意得出，利用余弦定理以及基本不等式求出的取值范围，再结合角的取值范围，以及余弦函数的单调性可求出角的取值范围.
【详解】
由于、、成等差数列，则，
由余弦定理得，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
又，，故选B.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求三角形中角的取值范围，同时也考查了余弦定理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，可求得，即角或，分类讨论， 由，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.
【详解】
因为与互补，，且四点共圆.

所以，在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，所以，
得，所以或.
设四边形的外接圆半径为，则，解得.
（1）设.
当，则，故，此时，且，在中，，所以，即.
所以四边形面积，当且仅当时，四边形面积取得最大值为
（2）当，则，故，所以.因为，所以，则在中由余弦定理得，
所以，即.所以，
此时，四边形面积.
综上，四边形面积的最大值等于，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形面积公式，均值不等式，属于难题.
15．C
【解析】
【分析】
在中，设角、、的对边分别为、、，利用正弦定理得出，，利用平面向量数量积的运算性质得出，利用三角恒等变换思想化简得出，利用正弦型函数的有界性可得出线段长的最大值.
【详解】
在中，设角、、的对边分别为、、，
由正弦定理可得，则，，
，即，
所以，
，
所以，，
，则，当时，即当时，取最大值，
即.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
16．A
【解析】
【分析】
求得，，然后以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，可得出中边上的高的最大值，由此可求得面积的最大值.
【详解】
由正弦定理可得，设的外接圆半径为，
则，
以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则、，
设点，由，可得，
化简可得，
所以，的边上的高的最大值为，因此，.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
17．C
【解析】
【分析】
根据等面积法得，进而结合基本不等式得，，当且仅当时等号成立，再结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，进而得周长最小值.
【详解】
解：根据题意，设，
因为，，，
所以，即，
所以，
因为根据基本不等式有，
所以，，当且仅当时等号成立，
由余弦定理得
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
所以周长的最小值为.
故选：C
18．B
【解析】
【分析】
求出，，在中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：在中，因为，，
所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以观光线路之和最长是4.
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】
，
所以，，
由正弦定理可得，
即，
、，则，则，，
由余弦定理可得，即，
当且仅当时，等号成立，
故.
故选：B.
20．A
【解析】
【分析】
由正弦定理得，进而结合余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：由正弦定理得，
所以由余弦定理得： ，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以.
故选：A
21．D
【解析】
【分析】
根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.
【详解】
因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，
于是得，，解得，而有，即，
所以最大边的取值范围是：.
故选：D
22．C
【解析】
【分析】
由正弦定理边角关系得，则，由题设得，结合二次函数的性质即可求△面积的最大值.
【详解】
∵，
∴由正弦定理得且，即且，
∴，
∴时，△面积取最大值．
故选：C．
23．B
【解析】
【分析】
由条件可得，根据正弦定理可得，从而得出角,由余弦定理结合均值不等式可得，从而得出答案.
【详解】
由，得
即，即
由正弦定理可得： ，则，即
由,则
由余弦定理可得,即
当且仅当时取得等号. 所以
面积
故选：B
24．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理算出，再利用基本不等式即可得，从而可得到周长的最大值．
【详解】
解：在中，，，
由余弦定理，得，
即，
由基本不等式有，所以，
（当且仅当时等号成立），
周长（当且仅当时等号成立），
即当且仅当时，周长的最大值为12，
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：先用余弦定理得，再结合基本不等式即可求的最大值，从而得周长的最大值.
25．C
【解析】
【分析】
根据条件求出，利用三角形面积公式得到，采用极端值方法求出的最值，进而得到的范围，求出面积的取值范围.
【详解】
，因为为锐角三角形，故，
，当BC⊥AB时，，当CB⊥AC时，，故，所以.
故选：C
26．C
【解析】
先由得到A=,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周长的最大值.
【详解】
由题得
所以
所以,
因为
所以.
由余弦定理得,
所以，
当且仅当b=c=2时取等.
所以.
故选C
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
27．C
【解析】
设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】
解：设，则．
，，，，
，同理，
其中，
，当时，，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
28．D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求的最大值问题求解即可.
【详解】
得，又，所以.
在中，由正弦定理得：
所以，所以.
故当，即时，取得最大值
故选：D
29．B
【解析】
【分析】
由已知条件及双曲线的定义可得，，将△MF1F2沿MN折成直二面角后，过作，应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求最小时的大小，进而求值.
【详解】
∵，，
∴，，
将△MF1F2沿MN折成直二面角，过作，易知面，
设，在中有，，
∴在△中，，有，
∴，
∴，当且仅当，时等号成立.
∴F1，F2距离最小时，为角平分线，故，可得.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：由双曲线的定义求、，结合直角三角形边角关系、余弦定理、勾股定理求与的函数关系，再求最小值，最后即可求参数值.
30．B
【解析】
【分析】
结合两角和的正切公式、诱导公式求得，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得周长的最大值.
【详解】
，，
依题意，
即 ，，
所以为锐角，.
由正弦定理得，
所以，
所以三角形周长为
，
由于，
所以当时，三角形的周长取得最大值为.
故选：B
31．ABC
【解析】
【分析】
利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A选项的正误；利用基本不等式结合三角形的面积公式可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，由余弦定理可得，得，
故，A对；
对于B，由基本不等式可得，即，
当且仅当时，等号成立，
由余弦定理可得，
则，B对；
对于C，，则，
由余弦定理可得，，
所以，，整理可得，
则，C对；
对于D，由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
因为且函数在上单调递减，故，D错.
故选：ABC.
32．CD
【解析】
【分析】
结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得的取值范围，从而确定正确答案.
【详解】
依题意，，
即，
由正弦定理得，
，
由正弦定理得，则，
所以
，
由于，
所以，
所以，所以CD选项正确，AB选项错误.
故选：CD
33．BD
【解析】
【分析】
根据c边最大边或最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解.
【详解】
若c边为最大边，则，
，，
若边为最大边，则，
，，
所以，
所以边长c可能的取值是2、.
故选：BD
【点睛】
本题考查了余弦定理的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
34．ACD
【解析】
【分析】
由正弦定理求外接圆半径；由题设知，结合即可求范围；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的条件；由C分析有，结合正弦定理边角关系及的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.
【详解】
由题设，外接圆直径为，故，A正确；
锐角中，则，故，B错误；
，则，当且仅当时等号成立，C正确；
由C分析知：，而，
又且，
则
，而，
所以，则，
所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：D选项，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将转化为三角函数性质求范围.
35．
【解析】
【分析】
由正弦定理和题设条件，得到，即，再在和中，由余弦定理化简得到，转化为，令，得到，求得，进而得到的最大值.
【详解】
因为，由正弦定理可得，
即，可得，所以，所以，
在中，由余弦定理，
可得，
在中，由余弦定理，
可得，
因为，所以，
两式相加，可得，可得，
即，所以，
令，可得，即，解得，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
36．
【解析】
【分析】
结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.
【详解】
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，，
同理．
又，
所以．
在△ADF中，由勾股定理可得，
即，化简得，
由基本不等式得，解得
（当且仅当时取等号），所以．
故答案为：
37．
【解析】
【分析】
如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.再利用二次函数的性质求出t的值和最小值.
【详解】
如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，由余弦定理得，DE2＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.所以当t＝时，DE最小．
故答案为
【点睛】
(1)本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理解三角形和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.
38．
【解析】
【分析】
应用余弦定理有，再由三角形内角性质及同角三角函数平方关系求，根据基本不等式求得，注意等号成立条件，最后利用三角形面积公式求S的最大值.
【详解】
由余弦定理知：，而，
所以，而，即，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当时等号成立.
故答案为：
39．##
【解析】
【分析】
设，则，然后利用正弦定理表示出，相加化简后利用三角函数的性质可求出其最大值
【详解】
设，则，由正弦定理得
，即，
所以，
所以的周长为
，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，即 的周长的最大值为，
故答案为：
40．
【解析】
【分析】
由余弦定理得出，，由基本不等式得出，最后由三角形面积公式得出面积的最大值.
【详解】
因为2ccsB=acsB+bcsA，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，，由，b=2，得出，所以（当且仅当时，取等号），即，故，故△ABC的面积的最大值是.
故答案为：
41．(1)
(2)9
【解析】
(1)
因为
由正弦定理可得，即
又因为，
所以，
因为，
所以；
(2)
由余弦定理得，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为9.
42．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，结合余弦定理可求得的值；
（3）利用正弦定理以及三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围.
【详解】
（1）由已知条件可得，则，
，故；
（2）由三角形的面积公式可得，，
由余弦定理可得，
因此，；
（3）由正弦定理可得，故，，
所以，
，
，所以，，则，所以，，
所以，.
因此，的周长的取值范围是.
43．（1）；（2）12.
【解析】
【分析】
（1）由题意，，，由余弦定理、基本不等式，即可求的最大值；
（2）当时，求出，利用余弦定理、基本不等式，即可求出周长的最小值.
【详解】
解：（1）由题意，，，
由余弦定理可得，
，
，
的最大值为；
（2）， ，
又，
，
，
周长为
当且仅当时，周长的最小值为12.
【点睛】
本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.
44．（1），；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）化简，令，，即可求得的单调递增区间；
（2）由，得，即可得，，，即为锐角三角形；
②利用弦心距、半径、弦长的关系求解；
③由求得．选择①②，选择①③，选择②③，分别结合基本不等式求解最大值．．
【详解】
解：（1），
令，，
解得，，，
所以的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，由得，
所以，所以，所以，同理，，即为锐角三角形.
②中圆心到直线的距离，
故.
③中由得，又A为锐角，所以.
选择①②，，，，得，；
选择①③，，，得；
选择②③，即，.
由余弦定理得，
所以，
所以最大值为，当且仅当时取等号，
所以的面积为，最大值为.
45．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由条件利用两角和差的三角公式求出，即可求解；
（2）由余弦定理与三角形面积公式即可求解；
（3）把边化为角利用三角函数的值域求解即可
【详解】
（1）∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
又，
∴，
，
；
（2）∵，
，
∴，
∴；
（3）由正弦定理可得：，
，
其中，，，为锐角，
因为为锐角三角形，则，
从而，得，
，
所以，，
所以，从而的取值范围为