新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 三角函数的奇偶性（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 三角函数的奇偶性（含解析），共32页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

判断三角函数奇偶性的步骤、方法，与判断函数奇偶性的类似. 已知三角函数的奇偶性求参数时，可直接由y＝Asinωx是奇函数，y＝Acsωx是偶函数求解. 如果y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z；y＝Acs(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ，k∈Z.
【题型归纳】
题型一：判断三角函数的奇偶性
1．将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（ ）
A．是奇函数，最小正周期为
B．是偶函数，最小正周期为
C．是奇函数，最小正周期为
D．是偶函数，最小正周期为
2．下列函数中，是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，以为最小正周期的偶函数为（ ）
A．B．C．D．

题型二：由三角函数的奇偶性求参数
4．已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ）
A．B．C．D．0
5．已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：由三角函数的奇偶性求函数值
7．函数在上的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2B．2
C．4D．6
8．已知函数，若，则（ ）
A．B．2C．5D．7
9．已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【双基达标】
10．将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．函数是（ ）
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
13．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
14．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
15．设函数，，则下列结论错误的是（ ）
A．的值域为B．是偶函数
C．不是周期函数D．不是单调函数
16．函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
17．已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0B．10C．D．
18．已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
19．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
20．下列函数具有奇偶性的是（ ）
A．B．
C．D．
21．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
22．函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
23．函数的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
24．下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）．
A．B．
C．D．
25．函数在上的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【高分突破】
单选题
26．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（ ）
A．B．
C．D．
27．函数在上的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
28．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
29．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
30．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
31．已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称
D．函数是偶函数
32．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
33．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
34．已知函数（，），则（ ）
A．存在的值，使得是奇函数B．存在的值，使得是偶函数
C．不存在的值，使得是奇函数D．不存在的值，使得是偶函数
35．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．为偶函数B．在上单调递增
C．为周期函数D．方程在上有三个实根
36．已知定义域为R的函数满足，函数，若函数为奇函数，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
37．已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（ ）
A．B．（）
C．的图象关于点（，0）对称D．为偶函数
三、填空题
38．下列关于函数的说法中，错误的是______________.
①函数的图象关于直线对称；
②函数的图象关于点对称；
③函数在区间上单调递增；
④函数是一个偶函数，则，.
39．当______时，函数为奇函数．
40．关于函数有如下四个命题：
①的图象关于轴对称.
②的图象关于原点对称.
③的图象关于直线对称.
④的图象关于点对称.
其中所有真命题的序号是__________.
41．若为奇函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
42．已知，，则_______________________．
43．若，，且，则______（提示：在上严格增函数）
四、解答题
44．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
45．已知函数为偶函数，且，其中.
(1)求a，φ的值；
(2)若，求的值.
46．已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图像，讨论在上的单调性．
47．（1）已知函数的图像关于直线对称，求实数a的值；
（2）将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为奇函数，求的最小正值．
（3）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，求的最小正值．
（4）设函数（A、、是常数，，，若在区间上具有单调性，且，求的最小正周期．
48．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：
1.我们知道，正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为.
2.我们知道，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，对，，可得：函数为偶函数.
3.我们知道，正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，对，，可知为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究在区间上的单调性，在区间上，余弦函数单调递减，正弦函数在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论.当时，设，因正弦函数在上单调递增，故，令，，可得，而在区间上，余弦函数单调递减，故：即：从而，时，函数单调递减.同理可证，时，函数单调递增.可得，函数在上单调递减，在上单调递增.结合.可以确定：的最小正周期为.这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而，故的值域为，定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
（1）求该函数的定义域；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据平移得出即可判断奇偶性和最小正周期.
【详解】
向左平移个单位后得，
所以为奇函数，最小正周期为.
故选：A
2．C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性定义判断.
【详解】
A. 定义域为R，，是奇函数，故错误；
B. 定义域为，，是奇函数，故错误；
C. 定义域为R，，是偶函数，故正确；
D. 定义域为R，，是奇函数，故错误；
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
根据偶函数定义和周期函数定义逐项判断可得答案.
【详解】
对于A，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
又，所以周期为，故正确；
对于B，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
但，不是周期函数，故错误；
对于C，，定义域关于原点对称，，为奇函数，故错误；
对于D，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
又周期为，故错误；
故选：A.
4．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性列式，计算判断作答.
【详解】
因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果.
【详解】
因为是上的奇函数，则，
所以，，
因为的图象关于直线对称，则，可得，
当时，，
因为函数在区间内是单调函数，则，解得，
所以，，，故，因此，.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可求得的最小值.
【详解】
因为，
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
因为函数为偶函数，则，
解得，
，则当时，取最小值.
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
将函数左移一个单位，即，，根据解析式可判断，即函数关于对称，即可求解.
【详解】
将函数左移一个单位，得，，
则，
所以函数关于对称，故最大值与最小值也关于对称，其和为6，
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
令，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】
设，
则，即函数是奇函数，
，则，而
所以.
故选：C
9．B
【解析】
【分析】
由已知可得，再由，即可求值.
【详解】
由题设，即，
而，
所以.
故选：B
10．A
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将函数化为，求出平移后的函数解析式，利用函数关于轴对称即可求出的值.
【详解】
函数，
将函数的图象沿轴向左平移个单位后，
得到函数，函数关于轴对称，
，
，
当时，.
故选：A
11．B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性、结合余弦函数的正负性进行判断即可.
【详解】
设，因为，
所以该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，显然排除AD；
当时，，所以，排除C，
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
先由诱导公式化简函数解析式，根据最小正周期公式求函数的最小正周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】
函数, 其最小正周期为
由，可得函数为奇函数.
故选：C
13．A
【解析】
【分析】
判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取，可排除B.
【详解】
定义域为，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除C，D；
当时，，排除B；
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.
14．A
【解析】
【分析】
设，分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
设，则对任意的，，
则，所以函数是偶函数，排除B、D．
当时，，则，所以，排除C．
故选：A．
15．C
【解析】
【分析】
求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】
解：因为函数，，所以函数的值域为，，A正确．
因为，所以函数是偶函数，B正确．
因为，所以函数是周期函数，C不正确．
因为，不具有单调性，D正确．
故选：C．
16．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式将化简为，然后可判断出答案.
【详解】
，
因为，
函数是偶函数.
故选：B
17．C
【解析】
【分析】
令，则，f(x)和g(x)在上单调性相同，g(x)时奇函数，可得g(x)在，据此可求M＋m，从而求出.
【详解】
令，则，
∴f(x)和g(x)在上单调性相同，
∴设g(x)在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴g(x)在上为奇函数，∴，
∴，∴，
.
故选：C.
18．C
【解析】
【分析】
结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可.
【详解】
可设满足, 且（）,则,
注意到五点作图法的最左边端点为,而,,
故有,,
当时，，，此时；
当时，，，此时,
故选：C．
19．B
【解析】
【分析】
求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较
【详解】
关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件
故选：B
20．C
【解析】
【分析】
由奇偶性的定义逐项分析即可.
【详解】
解：对A，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性，故A错误；
对B，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性；故B错误；
对C，函数的定义域为，且，故为奇函数，故C正确；
对D，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性，故D错误．
故选：C．
21．C
【解析】
【分析】
化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由
得可判断④.
【详解】
由题意，，所以，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有
成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为
，故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
22．D
【解析】
【分析】
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
23．D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义可判断为奇函数，进而排除选项A、B，又时，，排除选项C，从而可得答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以，又定义域为R，
所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，
所以排除选项A、B，
又时，，所以排除选项C，从而可得选项D正确，
故选：D.
24．D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的的奇偶性，即可得正确选项.
【详解】
对于A：的定义域为，，所以是偶函数，图象不关于原点对称，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，，
所以是偶函数，图象不关于原点对称，故选项B不正确；
对于C：的定义域为 关于原点对称，
，所以是偶函数，图象不关于原点对称，
故选项C不正确；
对于D：的定义域为，，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项D正确；
故选：D.
25．D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性排除部分选项，再由函数的值域判断.
【详解】
∵，
∴为偶函数，故排除A，B．
∵，，
∴，故排除C，
故选：D．
26．D
【解析】
求出选项中每个函数的最小正周期并判断其奇偶性，从而可得答案.
【详解】
A中,函数是奇函数，最小正周期为，不合题意；
B中,函数是偶函数，最小正周期为，不合题意；
C中,函数是偶函数，最小正周期为，不合题意；
D中,函数是偶函数，最小正周期为，符合题意．
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数在上的取值可判断
【详解】
因为
所以函数为奇函数，故排除选项C，D；
因为在上，，所以排除选项B．
故选：A．
28．D
【解析】
【分析】
根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.
【详解】
由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.
故选：D
29．C
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.
【详解】
函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；
当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.
故选：C
30．C
【解析】
【分析】
化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】
画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
31．B
【解析】
【分析】
先化简函数得，然后逐个分析判断即可
【详解】
解：，
对于A，的最小正周期为，所以A正确；
对于B，在区间上是减函数，所以B错误；
对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；
对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，
故选：B
32．D
【解析】
【分析】
利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】
函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
33．D
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，
对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，
故选：．
34．BC
【解析】
【分析】
AC.由，结合判断；BD. 由判断.
【详解】
因为，所以.因为，所以，所以不可能是奇函数，则A错误，C正确.
当时，是偶函数，则B正确，D错误.
故选：BC
35．ACD
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用函数周期性的定义可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，
，
函数为偶函数，A选项正确；
对于B选项，，，则，故函数在上不是增函数，B选项错误；
对于C选项，，
故函数为周期函数，C选项正确；
对于D选项，由，解得或或，
所以，方程在上有三个实根，D选项正确.
故选：ACD.
36．BD
【解析】
【分析】
首先可得关于点对称，从而得到关于点对称为奇函数，依题意只需使为偶函数即可，从而求出的取值，即可得解；
【详解】
解：因为，所以关于点对称，
要使为奇函数，因为关于点对称，为奇函数，
所以只需使为偶函数即可，所以，
故符合题意的有B、D；
故选：BD
37．BCD
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为是的一个极值点，则，所以A错误；
因为，则，可得，
令，解得，所以B正确.
因为，
则，所以C正确；
因为，
则当为奇数时，为偶函数；
当为偶数时，为偶函数，所以D正确.
故选：BCD.
38．②③
【解析】
【分析】
根据函数的图象和性质对四个选项逐一判断，对于①②根据函数在对称轴处取得最值，在对称中心处取得0即可作出判断，对于③，，当时，，函数单调递减，即可作出判断；对于④，可根据为偶函数，，（）计算作出判断.
【详解】
对于①，，故①正确；
对于②，，故②错误；
对于③，，
当时，，函数单调递减，故③错误；
对于④，，
函数是偶函数，所以，，
即，，故④正确.
故答案为：②③.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数的图象和性质，解题关键是将看成一个整体，从而利用正弦函数的图象和性质计算判断.
39．
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性求得.
【详解】
为奇函数，所以
故答案为：
40．①④
【解析】
【分析】
根据余弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于①，定义域为，显然关于原点对称，
且，所以的图象关于y轴对称，命题①正确；
对于②，，，则，所以的图象不关于原点对称，命题②错误；
对③，，，则，所以的图象不关于对称，命题③错误；
对④，，，
则，命题④正确.
故答案为：①④.
【点睛】
本题主要考查判定与三角函数有关命题的真假，熟记熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
41．（答案不唯一，符合题意均可）
【解析】
【分析】
由为奇函数，且为奇函数，为偶函数，可得，解方程即可得答案.
【详解】
解：，
因为为奇函数，且为奇函数，为偶函数，
所以，即，
所以或，，
所以的值可以是，
故答案为：（答案不唯一，符合题意均可）
42．
【解析】
【分析】
由解析式已知为奇函数，利用奇函数性质有，即可求.
【详解】
∵，
∴，即为奇函数，
∴，故.
故答案为：.
43．1
【解析】
【分析】
根据已知条件先分析的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得，根据单调性奇偶性可知的关系，则结果可求.
【详解】
因为，所以，
所以，所以且，
设，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，定义域关于原点对称，
所以为奇函数，
由可知，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的等式的思路：
（1）利用奇偶性将等式变形为；
（2）根据单调性得到与的等量关系；
（3）结合函数定义域完成相关计算.
44．(1)奇函数
(2)非奇非偶函数
(3)偶函数
(4)偶函数
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义及判定方法，结合函数的解析式及三角函数的奇偶性，逐个判定，即可求解.
(1)
解：由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，即，
所以函数为定义域的奇函数.
(2)
解：由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，
所以且，
所以函数为非奇非偶函数.
(3)
解：由函数的定义域为关于原点对称，
又由，即，
所以函数为定义域的偶函数.
(4)
解：由函数，满足，解得，
即函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即，
所以函数为定义域上的偶函数.
45．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的定义可得，从而可得，再由，代入可求.
（2）由（1）可得，再由二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系可得，再利用两角和的余弦公式即可求解.
(1)
解：由已知得对恒成立，
∵ 不恒为0，∴ ，
∴ 恒成立，∴ ，
又，所以，∴ ，
而 ，所以.
(2)
由（1）知，
由，得，
所以，，，
而，
46．（1）；（2）单调递减区间，，单调增区间.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数奇偶性即可求出的值；
（2）根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合函数的单调性进行求解即可．
【详解】
（1）∵函数是偶函数，
∴，，
又，
∴；
（2）由（2）知，
将的图象向右平移个单位后，得到，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），
得到，
当，，
即，时，的单调递减，
当，，
即，时，的单调递增，
因此在，的单调递减区间，，
单调增区间.
47．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】
（1）先用辅助角公式化简，根据对称轴经过最高点或最低点可求出答案；
（2）先用辅助角公式化简，再平移，最后根据奇函数的性质可得出答案；
（3）先写出平移后的解析式，再根据偶函数的性质求解；
（4）先根据已知条件求出，函数解析式，再套周期的公式即可.
【详解】
解：（1）解法一：∵（），∴，由正弦函数图像的性质知当时，，即，∴，即，∴．
解法二：∵函数的图像关于直线对称，∴，即，∴，即，故．
解法三：∵函数图像关于直线对称，且在原函数的图像上，点关于看的对称点为，
∴即，故．
（2）由（1）知，，再将图像向左平移个单位得.
若为奇函数，则，解得，所以的最小正值为.
（3）解法一：的图像向右平移个单位得函数的图像，由函数的图像关于y轴对称可知，即，故，，即，，又，∴．
解法二：根据正弦函数的对称性，只要找到y轴左侧第一条对称轴，由（），得到，取，得，即将函数的图像向右平移个单位．
（4）解法一：∵在区间上具有单调性，且，得和，∴和均不是的极值点，其极值应该在处取得．∵，∴也不是函数的极值点．又在区间上具有单调性，则为的另一个相邻的极值点．故函数的最小正周期．
解法二：∵在区间上具有单调性，∴，∴．又∵，
∴就是函数的图像与x轴的一个交点．
∵，且．∴就是和、在同一个周期内的一个极值点．
整合上述信息画出大致图像如图所示，可知，∴．
解法三：∵，，而在区间上具有单调性，且．
又，，∴点是的一个对称中心，
直线是的一条对称轴，且对称中心与对称轴相邻，故有，∴．
48．（1）；（2）偶函数；（3）单调递减区间为：，单调递增区间为：，最小正周期：，值域为：.
【解析】
（1）由阅读材料中，即可求出的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义即可判断；
（3）根据阅读材料求出的一个周期，再类比先证函数在上的单调性，再证在上的单调性，同理可得在上的单调性，即可求出最小正周期以及值域.
【详解】
解：（1）正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为；
（2）的定义域为，关于原点对称，
且，
故函数为偶函数；
（3），
，
即为函数的一个周期；
对函数，
①当，设，
由余弦函数在上单调递减，得：，
令，，可得：，
而在区间上，正弦函数单调递增，
故，
从而，时，函数单调递减；
②当时，设，
由余弦函数在在上单调递减，得：，
令，，可得：，
而在区间上，正弦函数单调递增，
故，
从而，时，函数单调递减；
同理可证：时，函数单调递增；
时，函数单调递增；
综上所述：当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
可得：为函数的最小正周期；
故，
而，
故的值域为：.
【点睛】
方法点睛：本题解题的关键是理解题意，利用定义证明函数的单调性，定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：
1.取值：任取，，规定，
2.作差：计算；
3.定号：确定的正负；
4.得出结论：根据同增异减得出结论.