新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 直线交点系方程及其应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 直线交点系方程及其应用（含解析），共26页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破，易错点晴等内容，欢迎下载使用。

1、常见直线系方程
(1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
2、对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数为R，则恒等式的系数为0，列出关于x，y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标；特殊直线法就是取两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过求出这两条直线的交点坐标并代入原直线系方程检验，即得定点.
【题型归纳】
题型一： 求直线系方程所过的定点
1．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A．B．C．D．
2．已知是，直线总经过点（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型二： 与距离有关的最值问题
4．点到直线的距离的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．已知直线与直线相交于点A，点B是直线的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．在直角坐标平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，则的值为
A．B．C．5D．10
【双基达标】
7．若直线l：与曲线y＝－2＋有两个相异的公共点，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线有条
A．0B．1C．2D．3
9．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为( )
A．4x－3y＋9＝0B．4x＋3y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0D．3x＋4y＋9＝0
10．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
11．若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（ ）
A．B．
C．D．
12．点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
13．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
14．原点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
15．设直线系,则下列命题中是真命题的个数是
①存在一个圆与所有直线不相交
②存在一个圆与所有直线相切
③中所有直线均经过一个定点
④存在定点不在中的任一条直线上
⑤中的直线所能围成的正三角形面积都相等
A．1B．2C．3D．4
16．过两直线和的交点和原点的直线方程为
A．B．
C．D．
17．已知定点和直线，则点到直线的离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
18．动直线与圆交于点A,B,则弦最短为（ ）.
A．3B．6C．D．
19．已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解D．存在，使之有无穷多解
【高分突破】
单选题
20．圆截直线所得的最短弦长为（ ）
A．4B．C．D．
21．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交点情况是（ ）
A．存在k，P1，P2使之无交点
B．存在k，P1，P2使之有无穷多交点
C．无论k，P1，P2如何，总是无交点
D．无论k，P1，P2如何，总是唯一交点
22．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
23．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
24．直线m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0(m，n∈R且m，n不同时为0)经过定点 ( )
A．(-1，1)B．(1，-1)
C．(2，1)D．(1，2)
25．已知圆，直线，为任意实数，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．与m的值有关
26．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点
A．(0,0)B．(，)C．(，)D．(，)
二、多选题
27．设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
28．设直线系：，则下面四个命题正确的是（ ）
A．点到中的所有直线的距离恒为定值
B．存在定点不在中的任意一条直线上
C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
D．中的直线所能围成的三角形面积都相等
29．已知直线，，则（ ）
A．恒过点B．若，则
C．若，则D．当时，不经过第三象限
30．已知圆，直线，()．则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1
C．圆与曲线恰有三条公切线，则
D．当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点
三、填空题
31．已知直线过定点，曲线，则过点的曲线的切线方程为__________．
32．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是______.
33．无论为何值，直线必过定点坐标为__
34．已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值________.
35．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ .
36．经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.
四、解答题
37．求经过直线l1：2x﹣y+4＝0和直线l2：x﹣y+5＝0的交点C，并且满足下列条件的直线方程．
（1）与直线x﹣4y+4＝0垂直；
（2）到原点的距离等于1．
38．已知直线和的交点为，求：
(1)过点且与直线垂直的直线的方程；
(2)以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为的圆的方程；
(3)从下面①②两个问题中选一个作答，
①若直线ｌ过点（1，2），且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线ｌ的方程．
②求圆心在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程．
注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分．
39．已知直线，圆.
（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；
（2）若直线与圆交于，两点，当弦长最短时，求此时直线的方程.
40．已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
41．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.
（1）若直线的斜率为，求△的面积；
（2）若△的面积满足，求直线的斜率的取值范围；
（3）如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解.
【详解】
直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．
故选：D．
2．B
【解析】
把整理成，根据方程特点可得答案.
【详解】
由得，
对于总成立， ，所以，
即总经过点是.
故选：B.
3．C
【解析】
根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.
【详解】
直线方程变形得：.
由得，∴直线恒过点，
，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，
又，
∴或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，
∴的取值范围为.
故选：C.
【点睛】
本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.
4．B
【解析】
【分析】
根据条件先判断出直线所过的定点，此时到距离的最大值即为的距离.
【详解】
因为，所以，所以，
所以直线过定点，
所以到直线的距离的最大值为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查直线过定点以及直线外一点到动直线的距离的最大值，解答本题的关键是能通过分析直线的方程确定出所过的定点，难度一般.
5．D
【解析】
由题意可知点为圆上的点，由于两点在直线的同侧，所以求出点关于直线的对称点为，则，然后利用两点间线段最短可得答案
【详解】
解：由，得，由，得，
所以，化简得，
所以点为圆上的点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即
因为，所以当点共线，且过点时，取最小值，
所以的最小值为
故选：D
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点关于直线的对称点为，将的最小值转化为的最小值，属于中档题
6．D
【解析】
【分析】
由已知得，，过定点的直线与过定点的直线垂直，位于以为直径的圆上，由此能求出的值即可．
【详解】
在平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，
，，
过定点的直线与过定点的直线垂直，
位于以为直径的圆上，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的轨迹方程求解，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
7．B
【解析】
【分析】
找出直线恒过的定点，画出曲线y＝－2＋，数形结合进行判断.
【详解】
整理化简为：
根据交点直线系方程，
该直线恒过直线与直线的交点.
联立方程组，解得直线恒过定点
对曲线y＝－2＋
整理化简为：
故其为一个以为圆心，半径为3的半圆，
在同一直角坐标系下绘制图像如下图所示：
由图可知，直线与曲线有两个交点的临界情况如上图的和
当直线为的状态时，斜率为0，此时只有一个交点，故不取0；
当直线为的状态时，斜率为，此时有两个交点，故可取.
综上所述：.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线恒过定点，圆方程，以及直线与圆的交点的个数问题，属综合中档题；需要数形结合.
8．C
【解析】
【详解】
由，求得，故两直线和的交点，再根据，可得过点且与原点的距离等于的直线有两条，故选C.
9．A
【解析】
【分析】
联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.
【详解】
解得
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直
所以所求直线方程：4x－3y＋9＝0
故选A
【点睛】
本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.
10．C
【解析】
【分析】
设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.
【详解】
解：设直线方程为，
即
令，得，
令，得.
由，
得或.
所以直线方程为或.
故选：C.
【点睛】
此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往往会把过原点的情况忽视导致答案不完整.
11．A
【解析】
【分析】
直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，进而得出线段的中垂线方程．
【详解】
解：直线与直线方程相减可得：
，
把点代入可得：，
线段的中垂线方程是，化为：．
故选．
【点睛】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．B
【解析】
【分析】
首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化为两点间距离.
【详解】
直线恒过点，,
点到直线距离，
即点到直线距离的最大值为.
故选：B
13．B
【解析】
【分析】
根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.
【详解】
依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为，
故选：B
14．C
【解析】
【分析】
求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；
【详解】
因为可化为，
所以直线过直线与直线交点，
联立可得
所以直线过定点，
当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，
此时最大值为，
故选：C.
15．C
【解析】
【详解】
根据直线系M：xcsθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；
可取圆心为（0，2），半径分别为2， ，1得到①②正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，③错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以④正确；⑤可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；
故选C.
16．D
【解析】
【详解】
试题分析：过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为，即.
考点：两直线的位置关系、直线方程两点式．
【易错点晴】过直线交点可以联立这两条直线的方程，求出交点的坐标，由于所求直线过原点，故由两点式可以求出直线的方程.由于联立方程组来求结算量较大，我们可以采用直线系方程来做，具体过程是，先设出直线系方程，代入原点坐标，求得，即可得到所求，这样运算量非常小.
17．D
【解析】
【分析】
直线，
可化为：，令可得直线经过定点,可得点到直线的距离的最大值为.
【详解】
直线，
可化为：，令解得：
因为直线经过定点,
所以点到直线的距离的最大值为
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
动直线过定点，圆的圆心，半径， ，所以弦最短为，从而求得结果.
【详解】
因为动直线，
所以，
所以动直线过定点，
由可得，
所以圆的圆心，半径，
，
因为直线与圆交于两点，
所以弦最短为，
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的有关知识，涉及到的知识点有直线过定点问题，点到直线的距离，圆中的特殊三角形，过定点的最短弦，属于中档题目.
19．B
【解析】
【分析】
将与代入直线方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；
【详解】
解：与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，
①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故选︰B.
20．A
【解析】
先判断圆心，半径，以及直线所过定点，当定点是弦的中点时，弦长最短，根据弦长公式求解.
【详解】
，圆心，半径，
，所以直线过定点，
，所以点在圆内，根据弦长公式，当点是弦的中点时，圆心到直线的距离最大，弦长最短，此时，
.
故选：A
【点睛】
结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：
（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为；
（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
（3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为；
21．D
【解析】
【分析】
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．
【详解】
解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+1的斜率存在，
∴k，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，
∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，
，解得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，
即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．
∴方程组有唯一解．
故选：D．
22．B
【解析】
【分析】
根据直线的方程先确定出直线所过的定点，然后判断出点到直线的距离的最大值为，结合点的坐标求解出结果.
【详解】
将变形得，
所以是经过两直线和的交点的直线系.
设两直线的交点为，由得交点，
所以直线恒过定点，
于是点到直线的距离，
即点到直线的距离的最大值为.
故选：B.
23．A
【解析】
【分析】
求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.
【详解】
直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；
直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；
又两条直线垂直，故可得，
即
整理得
解得，当且仅当时取得最大值.
故选：A.
24．A
【解析】
【详解】
由题意可知直线表示过两直线交点的直线系方程
∴解方程组可得
∴直线且不同时为0)经过定点为
故选A
点睛：直线含参求过定点问题一般是将参数全部提出来，让参数的系数为零，其余项也为零，列方程(组)即可求解定点.
25．B
【解析】
【分析】
将，转化为，利用
，可以确定直线过定点，再利用定点在圆内部即可得出结论.
【详解】
将直线的方程整理为，
由得 ，
所以直线过定点，
因为，
所以点在圆内部，
所以直线和圆恒有个交点，即直线和圆相交.
故选：B
【点睛】
本题考查直线系方程的应用，考查了直线和圆的位置关系，属于中档题.
26．C
【解析】
【详解】
直线方程变形为，则直线通过定点，故选C．
27．ACD
【解析】
【分析】
利用反例判断A，根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C，根据交点直线系方程判断D；
【详解】
解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误；
对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C：当且时，故C错误；
对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误；
故选：ACD
28．ABC
【解析】
【分析】
先利用点到直线的距离公式得出直线系：表示的是圆的切线的集合，这样ABC选项能直接判断；D选项需要数形结合判断
【详解】
点到中的直线的距离设为d，则为定值，故直线系：表示圆的切线的集合.
显然选项A正确；一定不在中的任意一条直线上，B选项正确；由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，C选项正确；
如图所示，中的直线所能围成的三角形有两类，一种是圆的外切三角形，如△ADE，此类三角形面积均相等，另一种是在圆的同一侧，如△ABC，这类三角形面积也相等，但两类三角形面积不等，故D选项不正确.
故选：ABC
29．BD
【解析】
【分析】
A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.
【详解】
，
当，即，即直线恒过点，故A不正确；
若，则有 ，解得：，故B正确；
若，则有，得，故C不正确；
若直线不经过第三象限，则当时，， ，解得：，
当时，直线，也不过第三象限，
综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.
故选：BD
30．ACD
【解析】
利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD的正误，根据圆心到直线的距离可判断B的正误，根据两圆外切可判断C的正误.
【详解】
直线可化为：，
由可得，故直线恒过定点，故A正确.
当时，直线，圆心到该直线的距离为，
因为，故圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，故B错.
因为圆与曲线恰有三条公切线，故两圆外切，
故，故，故C正确.
当时，直线，设，
则以为直径的圆的方程为，
而圆，故的直线方程为，
整理得到，由可得，
故直线经过点，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.
31．
【解析】
【分析】
首先求直线所过的定点，再根据导数的几何意义求曲线的切线方程.
【详解】
由可得，令，解得，所以点的坐标为，显然点在曲线上，因为，所以过点的曲线的切线的斜率，故所求切线的方程为，即．
故答案为:．
32．.
【解析】
【分析】
先求出定点,的坐标，再判断出两直线互相垂直，从而利用基本不等式 求的最大值.
【详解】
由题意知，直线过定点，
直线可化为，所以过定点,
因为，所以直线与直线互相垂直，
所以，且,
所以，
即，当且仅当时等号成立,
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
33．
【解析】
【分析】
把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解.
【详解】
根据题意，直线，即，
变形可得，联立方程组，解得，
即直线必过定点.
故答案为：.
34．
【解析】
【分析】
整理直线的方程得令 ，解方程组即可求得定点的坐标，原点到直线的距离，，计算可得结果.
【详解】
直线的方程为，即
令，解得：
所以直线恒过定点，
所以原点到直线的距离，即到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了直线过定点问题，考查定点到动直线距离最值问题，考查转化能力和计算能力，属于中档题.
35．
【解析】
【分析】
根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.
【详解】
依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为.
故答案为：
36．x+y+1=0或3x+4y=0
【解析】
【详解】
由题意可设所求直线方程为，即
令，得
令，得
∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等
∴，即或
∴所求直线方程为或
故答案为或
37．（1） （2）或
【解析】
【分析】
（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用垂直直线的系数关系可求，即得解
（2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解
【详解】
（1）由于直线l2：x﹣y+5＝0与直线x﹣4y+4＝0不垂直
故设所求直线为，
故，
因为此直线与直线x﹣4y+4＝0垂直，
故，故，
故所求直线为.
（2）由于原点到直线l2：x﹣y+5＝0的距离
故设所求直线为，
故，

解得或
故直线方程为：或
38．(1)
(2)
(3)①或；②或
【解析】
【分析】
(1)联立两直线方程求出交点P，根据两直线垂直，斜率相乘等于－1得直线斜率，即可根据直线点斜式方程求得直线方程；
(2)根据垂径定理求圆的弦长，列出方程解答；
(3)①：用截距式方程求解；②：由直线和圆的位置关系和圆的弦长公式求解﹒
(1)
由，解得：，∴，
∵与垂直，
∴的斜率，
故过点P且与直线垂直的直线l的方程为，
即；
(2)
P(3，5)到直线的距离为
∴半径
∴圆的方程为
(3)
①设过点(1，2)且与两坐标轴正半轴围成三角形面积为的直线的斜率为k，k＜0，
可得它的方程为，即，
它与两个坐标轴的交点分别为(0，2－k)，，
由可得，
当时，它的方程为；
当时，
综上所述，直线l的方程为：或
②设圆心为，与轴相切则，
∴圆心到直线的距离为，
∴
∴，r＝3
∴圆心为
∴圆的方程为或﹒
39．（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将直线化为，利用，求得直线所过的定点坐标；
（2）根据圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，根据直线的斜率为，可得直线的斜率为1，从而求得直线的方程.
【详解】
（1）直线可化为：
，可得
所以直线过定点.
（2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为1，此时直线的方程为.
【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，过一定点圆的最短弦所在直线方程的求解问题，属于简单题目.
40．证明见解析，
【解析】
【分析】
整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线恒过定点的坐标.
【详解】
证明：原方程整理为，则由得
所以点坐标为．
41．（1）；（2）；（3）证明见解析，定点.
【解析】
（1）根据直线的点斜式方程得直线的方程，进而得、，故△的面积为；
（2）根据题意设直线的方程为：，进而得、，进而得，△的面积，再结合解不等式即可得答案；
（3）根据题意结合（2）得，设，，故直线的一般式方程为：，再根据得，进而得直线的式方程为：，再根据直线系方程即可得答案.
【详解】
解：（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
整理得：，
所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，
故△的面积为.
（2）根据题意，直线的斜率存在且，
所以直线的方程为：，
整理得：
所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，
所以，解得 ，
所以△的面积，
由于△的面积满足，
所以，整理得：，
解不等式得：，
故直线的斜率的取值范围.
（3）由（2）知、，
由于点分向量所成的比的值为2，
所以，由于，
所以，即.
所以、，，
故设，，
所以直线的一般式方程为：，
由于直角梯形的面积为，
直线平分直角梯形的面积，
所以直角梯形的面积为，
所以，即，
所以直线的式方程为：，
整理得：，
所以直线过直线与直线的交点，
所以直线过定点.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查直线的方程的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题.解题的过程中需要注意的关键点在于第（2）问应先设出过点的直线的斜率，进而利用斜率表示三角形的面积，再根据解不等式；（3）设出设，，根据面积关系求得，进而根据直线系方程求解.