新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题2　微重点7　几何特征在解三角形中的应用（含解析）

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考点一 三角形的中线及应用
例1 (2022·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \r(3)asin B＝2bcs2eq \f(B＋C,2).
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)依题意有
eq \r(3)asin B＝2bcs2eq \f(B＋C,2)＝(1－cs A)b，
所以eq \r(3)sin Asin B＝(1－cs A)sin B，
因为在△ABC中sin B≠0，
所以eq \r(3)sin A＝1－cs A，
又sin2A＋cs2A＝1，
解得sin A＝eq \f(\r(3),2)，cs A＝－eq \f(1,2)，
所以A＝eq \f(2π,3).
(2)由|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→)),2)))＝2，
得|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(2π,3)
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|
＝16≥|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以(|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|)max＝16，
当且仅当|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4时，等号成立．
所以△ABC面积的最大值为
S＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·sin∠BAC＝4eq \r(3).
规律方法 解三角形问题涉及到中点问题时，可采用向量法使问题简化．在△ABC中，若D为边BC上的中点，则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，两边平方即可得到三角形边长之间的关系．
跟踪演练1 (2022·德州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c2＝ab，点D是边AB的中点，CDsin∠ACB＝asin B.
(1)证明：CD＝c；
(2)求cs∠ACB的值．
(1)证明 由题意得，CD＝eq \f(asin B,sin∠ACB)，
由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin∠ACB)，
即eq \f(sin B,sin∠ACB)＝eq \f(b,c)，所以CD＝eq \f(ab,c)，
由于c2＝ab，所以CD＝c.
(2)解 由题意知CD＝c，AD＝eq \f(c,2)，DB＝eq \f(c,2)，
所以cs∠ADC＝eq \f(c2＋\f(c2,4)－b2,2·c·\f(c,2))＝eq \f(\f(5,4)c2－b2,c2)，
同理cs∠BDC＝eq \f(c2＋\f(c2,4)－a2,2·c·\f(c,2))＝eq \f(\f(5,4)c2－a2,c2)，
由于∠ADC＝π－∠BDC，
所以eq \f(\f(5,4)c2－b2,c2)＋eq \f(\f(5,4)c2－a2,c2)＝0，
整理得a2＋b2＝eq \f(5,2)c2，
由余弦定理得cs∠ACB＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(3c2,4ab)＝eq \f(3,4).
考点二 三角形的角平分线及应用
例2 (2022·保定模拟)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线与BC相交于点D.
(1)若AC＝2AB＝2，求CD的长；
(2)若AD＝1，求AB＋AC的最小值．
解 (1)因为AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，
利用余弦定理可得
BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cs∠BAC＝7，
故BC＝eq \r(7)，
由角平分线定理知eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,CD)，
又eq \f(AB,AC)＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(BD,CD)＝eq \f(1,2)，又BD＋CD＝eq \r(7)，
所以CD＝eq \f(2\r(7),3).
(2)根据题意得，△ABC的面积等于△ABD的面积与△ACD的面积之和，
又AB＝c，AC＝b，所以
eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×bc＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×b×1＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×c×1，
整理得bc＝b＋c.
所以b＋c＝bc≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋c,2)))2，
即eq \f(b＋c2,4)≥b＋c，解得b＋c≥4，
当且仅当b＝c＝2时取“＝”，
即AB＋AC的最小值为4.
规律方法 角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解．
跟踪演练2 (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccs∠BAC，∠BAC的角平分线交BC于点D，AD＝1，cs∠BAC＝eq \f(1,8)，则以下结论正确的是( )
A．AC＝eq \f(3,4)
B．AB＝8
C.eq \f(CD,BD)＝eq \f(1,8)
D．△ABD的面积为eq \f(3\r(7),4)
答案 ACD
解析 因为b＝ccs∠BAC，
由正弦定理可得sin B＝sin Ccs∠BAC
＝sin(∠BAC＋C)，
所以sin∠BACcs C＝0，因为sin∠BAC≠0，
所以cs C＝0，即C＝eq \f(π,2).
因为eq \f(1,8)＝cs∠BAC＝eq \f(AC,AB)，
由角平分线定理可得eq \f(AC,AB)＝eq \f(CD,BD)＝eq \f(1,8)，
设AC＝x，则AB＝8x，
则BC＝3eq \r(7)x，CD＝eq \f(\r(7),3)x.
在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),3)x))2＝1，
解得x＝eq \f(3,4)，即AC＝eq \f(3,4)，AB＝6.
因为S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6×eq \f(3\r(7),8)＝eq \f(27\r(7),32)，
所以S△ABD＝eq \f(8,9)S△ABC＝eq \f(3\r(7),4).
考点三 四边形问题
例3 (2022·日照模拟)在①S△ABC＝2，②∠ADC＝eq \f(π,6)这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝eq \f(3π,4)，∠BAC＝∠DAC，________，CD＝2AB＝4，求AC的长．
(注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分)
解 选择①：
由S△ABC＝eq \f(1,2)·AB·BC·sin∠ABC
＝eq \f(1,2)×2·BC·sin eq \f(3π,4)＝2，
得BC＝2eq \r(2).
由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC
＝4＋8－2×2×2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝20，
所以AC＝eq \r(20)＝2eq \r(5).
选择②：
设∠BAC＝∠CAD＝θ，
则0<θ在△ABC中，eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠BCA)，
即eq \f(AC,sin \f(3π,4))＝eq \f(2,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ)))，
所以AC＝eq \f(\r(2),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))).
在△ACD中，eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(CD,sin∠CAD)，
即eq \f(AC,sin \f(π,6))＝eq \f(4,sin θ)，
所以AC＝eq \f(2,sin θ)，所以eq \f(2,sin θ)＝eq \f(\r(2),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ)))，
解得2sin θ＝cs θ，
又0<θ所以AC＝eq \f(2,sin θ)＝2eq \r(5).
规律方法 解多边形问题，一般是把要求的量放到三角形中，利用正、余弦定理求解，关键是选择好三角形，否则就会使问题复杂化，所以解多边形问题的实质还是解三角形问题．
跟踪演练3 (1)如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，∠ABC＝120°，∠ACD＝90°，∠CDA＝60°，则BD的长度为( )
A.eq \f(5\r(3),3) B．2eq \r(3)
C．3eq \r(3) D.eq \f(7\r(3),3)
答案 D
解析 设∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝10－6cs 120°＝13，
则AC＝eq \r(13)，从而CD＝eq \r(\f(13,3))＝eq \f(\r(39),3)，
由正弦定理得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(AC,sin 120°)，
即sin α＝eq \f(\r(3),2\r(13))＝eq \f(\r(39),26)，
从而cs∠BCD＝cs(90°＋α)＝－sin α＝－eq \f(\r(39),26)，
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝9＋eq \f(13,3)＋2×3×eq \f(\r(39),3)×eq \f(\r(39),26)＝eq \f(49,3)，
则BD＝eq \f(7\r(3),3).
(2)(2022·百校联盟联考)如图，在凸四边形ABCD中，AB＝2AD，△BCD为等边三角形．则当四边形ABCD的面积最大时，sin∠BAD＝__________.
答案 eq \f(1,2)
解析 设AD＝a，则AB＝2a，由题意可知
S△ABD＝eq \f(1,2)·AB·AD·sin∠BAD＝a2sin∠BAD.
在△ABD中，根据余弦定理，
可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs∠BAD
＝a2(5－4cs∠BAD)，
则S△BCD＝eq \f(1,2)BD2sin 60°＝eq \f(\r(3),4)BD2
＝eq \f(\r(3),4)a2(5－4cs∠BAD)，
所以四边形ABCD的面积
S＝a2sin∠BAD＋eq \f(\r(3),4)a2(5－4cs∠BAD)
＝eq \f(5\r(3),4)a2＋2a2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠BAD－\f(π,3))).
所以当∠BAD＝eq \f(5π,6)时，四边形ABCD的面积S最大，
此时，sin∠BAD＝eq \f(1,2).
专题强化练
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠BAC＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝eq \f(7,2)，则BC的长为( )
A．7 B．3eq \r(2) C.eq \r(19) D．3eq \r(3)
答案 C
解析 如图，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∵eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \f(49,4)＝eq \f(1,4)(c2＋9＋3c)，
∴c＝5(负根舍去)，
∵BC2＝b2＋c2－2bccs∠BAC
＝9＋25－2×3×5×eq \f(1,2)＝19，
∴BC＝eq \r(19).
2.(2022·赣州模拟)如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，∠BAD＝∠ABC＝eq \f(π,3)，BC＝2，AD＝1，则DC的长为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．3
答案 C
解析 如图，延长AD，BC交于点E，由题意知，∠BAD＝∠ABC＝eq \f(π,3)，BC⊥DC，
∴∠DEC＝eq \f(π,3)，∠DCE＝eq \f(π,2)，
∴∠ADC＝eq \f(5π,6)，不妨设DC＝x，
则EC＝eq \f(\r(3),3)x，DE＝eq \f(2\r(3),3)x.
∵BE＝EC＋BC＝AE，
∴eq \f(\r(3),3)x＋2＝1＋eq \f(2\r(3),3)x，
解得x＝eq \r(3).
3．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ACD的面积为( )
A.eq \f(5\r(10),7) B.eq \f(12\r(10),7)
C.eq \f(19\r(10),7) D.eq \f(26\r(10),7)
答案 B
解析 设∠ABC＝θ，则∠ADC＝π－θ，
∵在△ABC中，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs θ，
在△ACD中，
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cs(π－θ)，
∴AB2＋BC2－2AB·BC·cs θ
＝AD2＋CD2＋2AD·CD·cs θ，
则61－60cs θ＝25＋24cs θ，
∴cs θ＝eq \f(3,7)，而0<θ<π，
故sin θ＝eq \f(2\r(10),7)，
∴S△ACD＝eq \f(1,2)AD·CD·sin(π－θ)
＝6sin θ＝eq \f(12\r(10),7).
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线交BC于点D，AB＝2AC，若CD＝eq \r(7)，则S△ABC的面积为________．
答案 eq \f(9\r(3),2)
解析 由角平分线定理知eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,CD)＝2，
∴BD＝2CD＝2eq \r(7)，
∴BC＝3eq \r(7)，
令AC＝t，则AB＝2t，
由余弦定理得63＝t2＋4t2－2×t×2t×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))
解得t＝3(负值舍去)，
∴AB＝6，AC＝3，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq \f(9\r(3),2).
5.(2022·长沙质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A＝60°，B＝45°，若将六个和△ABC全等的三角形围成如图的正六边形，设其面积为S1，阴影部分面积为S2，则eq \f(S1,S2)＝________.
答案 3eq \r(3)＋6
解析 因为A＝60°，B＝45°，
则C＝75°，
所以sin C＝sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cs 30°＋cs 45°sin 30°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
面积比为相似比的平方，
eq \f(S1,S2)＝eq \f(a2,c－b2)＝eq \f(sin2A,sin C－sin B2)
＝eq \f(sin260°,sin 75°－sin 45°2)＝eq \f(\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),4)－\f(\r(2),2)))2)
＝eq \f(\f(3,4),\f(8－4\r(3),16))＝eq \f(3,2－\r(3))＝6＋3eq \r(3).
6．(2022·山东学期联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq \r(3)tan Atan B－tan A－tan B＝eq \r(3)，角C的平分线CD交AB于D.
(1)求证：eq \f(\r(3),CD)＝eq \f(1,CA)＋eq \f(1,CB)；
(2)若CD＝CB＝2，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵eq \r(3)tan Atan B－tan A－tan B＝eq \r(3)，
∴eq \r(3)(tan Atan B－1)＝tan A＋tan B，
∴eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \r(3)，
∴tan(A＋B)＝－eq \r(3)，∴tan∠ACB＝eq \r(3)，
∵0<∠ACB<π，∴∠ACB＝eq \f(π,3)，
∵CD为角平分线，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，
∴eq \f(1,2)·CA·CB·sin∠ACB＝eq \f(1,2)·CD·CA·sin∠ACD＋eq \f(1,2)·CD·CB·sin∠BCD，
∴eq \r(3)CA·CB＝CD·CB＋CD·CA，
即eq \f(\r(3),CD)＝eq \f(1,CA)＋eq \f(1,CB).
(2)解 由CD＝CB＝2代入eq \f(\r(3),CD)＝eq \f(1,CA)＋eq \f(1,CB)，
可得CA＝eq \r(3)＋1，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×CA×CB×sin∠ACB＝eq \f(1,2)×2×(eq \r(3)＋1)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3＋\r(3),2).
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccs A＋(a＋2b)cs C＝0.
(1)求C的大小；
(2)若△ABC的面积等于4eq \r(3)，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AB边的长．
解 (1)由ccs A＋(a＋2b)cs C＝0，
得sin Ccs A＋(sin A＋2sin B)cs C＝0，
即－2sin Bcs C＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B.
因为0°0，
从而cs C＝－eq \f(1,2).
又0°(2)因为S△ABC＝eq \f(1,2)absin 120°＝eq \f(\r(3),4)ab＝4eq \r(3)，
所以ab＝16.
在△ACD中，由余弦定理可得
AD2＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2－2×b×eq \f(a,2)×cs 120°
＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＋eq \f(ab,2)≥2eq \r(b2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2)＋eq \f(ab,2)
＝eq \f(3ab,2)＝24，
当且仅当b＝eq \f(1,2)a，即a＝4eq \r(2)，b＝2eq \r(2)时，等号成立．此时AB2＝a2＋b2－2abcs 120°
＝32＋8－2×4eq \r(2)×2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝56，
故AB＝2eq \r(14).
8.(2022·济宁模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD·sin D＝2CD·sin B.
(1)求证：BC＝2CD；
(2)若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积．
(1)证明 在△ACD中，
由正弦定理得eq \f(AD,sin∠ACD)＝eq \f(AC,sin D)，
即AD·sin D＝AC·sin∠ACD，
因为AB∥CD，所以∠ACD＝∠CAB，
所以AD·sin D＝AC·sin∠CAB，
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin∠CAB)，
即AC·sin∠CAB＝BC·sin B，
所以AD·sin D＝BC·sin B.
又AD·sin D＝2CD·sin B，
所以BC·sin B＝2CD·sin B，即BC＝2CD.
(2)解 由(1)知CD＝eq \f(1,2)BC＝1.
在△ACD中，由余弦定理得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cs∠ADC，
解得AC＝eq \r(7).
所以cs∠CAB＝cs∠ACD
＝eq \f(CD2＋AC2－AD2,2CD·AC)＝eq \f(2\r(7),7).
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cs∠CAB，
解得AB＝1或3.
又因为四边形ABCD为梯形，所以AB＝3.
又梯形ABCD的高为h＝AD·sin 60°＝eq \r(3)，
所以梯形ABCD的面积为S＝eq \f(1,2)(AB＋CD)h＝2eq \r(3).