新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 考前回扣　回扣2　复数、平面向量（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 考前回扣　回扣2　复数、平面向量（含解析），共2页。试卷主要包含了复数的相关概念及运算法则，复数的几个常见结论，平面向量基本定理，向量a与b的夹角，平面向量的数量积，利用数量积求长度，利用数量积求夹角等内容，欢迎下载使用。

1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数⇔b＝0；
②z是虚数⇔b≠0；
③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数eq \x\t(z)＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2).
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R)
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
3．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
4．向量a与b的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
5．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cs θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
6．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
7．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2).
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
8．利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
9．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：
(1)O为△ABC的外心⇔|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(a,2sin A).
(2)O为△ABC的重心⇔eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→)).
(4)O为△ABC的内心⇔aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0.
1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．
3．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心．
4．找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视．