新高考数学一轮复习提升训练7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（含解析）

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这是一份新高考数学一轮复习提升训练7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（含解析），共24页。试卷主要包含了平行问题，空间几何中的垂直问题，空间几何中的定理辨析等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一平行问题
【例1-1】（2022·广东珠海）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析；
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 为三棱柱，则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，故在△ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
【例1-3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，证明：若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【例1-4】（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【例1-5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】如图，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 为中位线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，同理，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【例1-6】（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上有一点E，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别沿 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 折起，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到如图（2）所示的几何体，求证： SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】证明：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【一隅三反】
1．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面EAC
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .又因为 SKIPIF 1 < 0 面EAC， SKIPIF 1 < 0 面EAC，所以 SKIPIF 1 < 0 平面EAC；
2．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，E为 SKIPIF 1 < 0 中点，F为 SKIPIF 1 < 0 中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为 SKIPIF 1 < 0 中点,故 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,F为 SKIPIF 1 < 0 中点,故 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
3（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】见解析
【解析】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，同理得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的平面交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合）.求证： SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】证明见解析
【解析】证明：在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中M，N，P，D分别为 SKIPIF 1 < 0 ，BC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】∵P，D分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵D，N分别为 SKIPIF 1 < 0 ，BC的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面PDN，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
6.（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面ECD
【答案】证明见解析
【解析】证明：取CD的中点G，连接EG
∵△CDE为腰长为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，∴ SKIPIF 1 < 0
又∵平面CDE⊥平面BCD， SKIPIF 1 < 0 平面ECD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面ECD， SKIPIF 1 < 0 平面CDE，∴ SKIPIF 1 < 0 平面CDE
考点二空间几何中的垂直问题
【例2-1】（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图， SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，G是 SKIPIF 1 < 0 的重心，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 SKIPIF 1 < 0 的射影为点G．证明： SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析；
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的射影为点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【例2-2】（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点， SKIPIF 1 < 0 .证明：
(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.
∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形DEFM为平行四边形.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PDC， SKIPIF 1 < 0 平面PDC.
∴ SKIPIF 1 < 0 平面PDC.
(2)∵ 四边形ABCD为正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又平面ABCD⊥平面PAB，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PAB，∴ SKIPIF 1 < 0 .
连接AF，∵ SKIPIF 1 < 0 ，F为PB中点，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，AD， SKIPIF 1 < 0 平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
【例2-3】（2022·四川成都）如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心为O， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面DEF；
(2)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面PBC.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)连接PE，因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面DEF， SKIPIF 1 < 0 平面DEF，所以 SKIPIF 1 < 0 平面DEF
(2)连接AE、BD，如图所示
因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，E为BC中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为BC中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面PAE，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面PAE，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面PAE，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面PBC，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面PBC，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面DEF，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面PBC
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，且平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0
【答案】证明见解析
【解析】证明：取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，且 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且它们的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
2．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并将直角梯形 SKIPIF 1 < 0 绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线 SKIPIF 1 < 0 平面ADF；
(2)求证：直线 SKIPIF 1 < 0 平面ADF；
(3)当平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 ；
条件③： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)证明：在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将直角梯形 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 边旋转至 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明：依题意可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)证明：因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
若选①， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
如图过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，显然平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直；
若选②： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
若选③： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
3．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABC；
(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，因平面ABED⊥平面ABC，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
考点三空间几何中的定理辨析
【例3-1】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设 SKIPIF 1 < 0 表示两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 表示平面，且 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的（）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.
所以由“ SKIPIF 1 < 0 ”可得“ SKIPIF 1 < 0 ”，充分性成立；
反之亦成立.所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充要条件.
故选：A
【例3-2】（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列结论正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
由正方体可知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A 正确，B错误；
由题意知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，BD1在平面BDD1B1中，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中易知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故D错误；故选：AC
【一隅三反】
1．（2022·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】对于A，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，在直线 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则存在过直线 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有直线 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，C不正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：C
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【答案】D
【解析】A选项，m⊥n，m⊥α，则可能 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
B选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则可能 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则可能 SKIPIF 1 < 0 ，也可能 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由面面垂直的判定定理知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，存在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别是棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法中不正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 四点共面B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共面
C． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】连接MN，则因为，M，N分别是棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 四点共面，A说法正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，D说法正确；
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共面，则 SKIPIF 1 < 0 共面，故 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 中，
这与题设矛盾，B说法错误
故选：B