新高考数学一轮复习提升训练7.5 外接球（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练7.5 外接球（精讲）（含解析），共26页。试卷主要包含了汉堡模型，墙角模型，斗笠模型，麻花模型，L模型，怀表模型，矩形模型，内切球等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 汉堡模型
【例1】（2022·陕西）已知底面边长为1，侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故球的体积为： SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 外接圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球 SKIPIF 1 < 0 截平面 SKIPIF 1 < 0 所得小圆圆心 SKIPIF 1 < 0 是正 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 ，
连 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的球心 SKIPIF 1 < 0 在过E垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 的垂面上，连 SKIPIF 1 < 0 ，如图，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，因此，球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 有： SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，则球表面积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设三角形ABC和三角形 SKIPIF 1 < 0 的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
而在三角形OCD中，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因此三棱柱外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
考点二 墙角模型
【例2】（2022·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3， SKIPIF 1 < 0 ，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】球O的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，∴体积 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，底面ABCD是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意，易知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四棱锥P-ABCD的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 放在长、宽、高分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长方体中，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径 SKIPIF 1 < 0 ，
∴该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
3．（2022·海原县）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的所有顶点都在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则可将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 放入如下图所示的长方体中，
则长方体的外接球即为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的表面积 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
考点三 斗笠模型
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点都在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点都在球O的球面上， SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，如图所示：
取BC的中点D，点H为底面的中心，所以 SKIPIF 1 < 0
设外接球的半径为R，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
利用勾股定理可得， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0
故选：B.
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则 SKIPIF 1 < 0 ；
设圆台外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，球心到下底面的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，易得圆台两底面在球心同侧，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆台外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该正三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以正三棱锥外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
正三棱锥如图所示，设外接球圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 向底面作垂线垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是正三棱锥，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，在 SKIPIF 1 < 0 递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
由图，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为PM⊥PC，所以由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，
假设为O点，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
在三角形ODC中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥P－ABC外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
考点四 麻花模型
【例4】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为 SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ，
设长方体的长、宽、高分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5， SKIPIF 1 < 0 ，则长方体的对角线长等于三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．12πB．13πC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】如图1，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，此角为钝角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此四面体 SKIPIF 1 < 0 可以放置在一个长方体中，四面体 SKIPIF 1 < 0 的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，
此长方体的外接球就是四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球，设长方体的棱长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的直径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．

考点五 L模型
【例5】（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】如图所示：其中D为AB的中点，O为 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心， SKIPIF 1 < 0 ，
∴O在CD上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，D为AB的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABC，
SKIPIF 1 < 0 平面PAB．又DA，DB， SKIPIF 1 < 0 平面PAB，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为AB的中点，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
∴O即为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，且外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
∴该三棱锥外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
【一隅三反】
1（2022·江西高三）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 外心，又 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的外心即中三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，
所以球半径 SKIPIF 1 < 0 ，球体积为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
2．（2022·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其外接球表面积为 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 平面CDE，
所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，
在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，
由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，
因平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即有四边形OO1EO2是正方形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所求外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
3．（2023·重庆九龙坡区）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如图，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心在 SKIPIF 1 < 0 上，设球心为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
考点六 怀表模型
【例6】（2022·全国·高三专题练习）在边长为6的菱形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，现将 SKIPIF 1 < 0 沿BD折起到 SKIPIF 1 < 0 的位置，当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为（ ）
A．60πB．45πC．30πD．20π
【答案】A
【解析】当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值时，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心，
SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 外接球半径 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 是150°，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图，作 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，垂足为E，连接BE，记 SKIPIF 1 < 0 ，连接PD.
由题意可得D为AC的中点.
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为AC的中点， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为二面角 SKIPIF 1 < 0 是150°，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，且D为AC的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心，则 SKIPIF 1 < 0 .
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为O，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以O在平面ABC下方，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，OB，OP，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如图所示， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，E为 SKIPIF 1 < 0 中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，E为 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的圆心，
设G为 SKIPIF 1 < 0 的中心，则G为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心．过E作面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，过G作面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，设两垂线交于O．
则O即为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心．设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点H，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
考点七 矩形模型
【例7】（2022·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为球心到四个顶点的距两相等,所以球心在对角线 SKIPIF 1 < 0 上,且半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
设矩形的的长力x,宽为y则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式知: SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【一隅三反】
1．（2022.江西）在矩形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，沿对角线 SKIPIF 1 < 0 进行翻折，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为在翻折过程中， SKIPIF 1 < 0 始终不变，
所以 SKIPIF 1 < 0 的中点到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点的距离始终相等，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
2．（2022·天津河）将长、宽分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长方形 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折成直二面角，得到四面体 SKIPIF 1 < 0 ，则四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 为四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心，且球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
3．（2022·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且顶点 SKIPIF 1 < 0 均在球 SKIPIF 1 < 0 上，则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知：球 SKIPIF 1 < 0 为鳖臑 SKIPIF 1 < 0 的外接球，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 与球 SKIPIF 1 < 0 的球心 SKIPIF 1 < 0 重合，球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的表面积 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
考点八 内切球
【例8】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的内切球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则此三棱锥的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长交底面 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 是正四面体， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的内切球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 此三棱锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））在正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的内切球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 上的射影，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由三棱锥 SKIPIF 1 < 0 为正三棱锥可得，点 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又三棱锥 SKIPIF 1 < 0 是正三棱锥，
所以三条侧棱两两互相垂直，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该三棱锥的表面积 SKIPIF 1 < 0 ，
设内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，又该三棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此内切球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若球 SKIPIF 1 < 0 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的内部且与四个面都相切（称球 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的内切球），则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 均为直角三角形，
设球 SKIPIF 1 < 0 的半径为r，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
3.（2022黑龙江）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 内切球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设四棱锥的内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故四棱锥 SKIPIF 1 < 0 内切球的体积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.