新高考数学一轮复习提升训练9.3 双曲线（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练9.3 双曲线（精讲）（含解析），共20页。试卷主要包含了双曲线的定义及应用，双曲线的离心率及渐近线，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，弦长与中点弦等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2022内江期末）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线，
因此“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线”的充要条件.故答案为：C
【例1-2】（2022·成都模拟）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】∵双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又点P在双曲线C的右支上， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：B.
【例1-3】（2022·邯郸模拟）已知 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上一点，且 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由双曲线定义知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0
故答案为：A
【例1-3】（2022·岳普湖模拟）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为 ，若F1到圆M上点的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则△F1PF2的面积为 .
【答案】1； SKIPIF 1 < 0
【解析】双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设圆 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，
根据双曲线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，根据内切圆的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ①，
而 SKIPIF 1 < 0 ②. 由①②得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即M的横坐标为1
设M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 到圆M上点的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以△F1PF2的面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：1； SKIPIF 1 < 0
【一隅三反】
1．（2022·潮州二模）若点P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或1（舍去），
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或13，
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件．故答案为：A．
2．（2021常州期中）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线左支上一点，点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】曲线 SKIPIF 1 < 0 右焦点为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0 要使 SKIPIF 1 < 0 周长最小，只需 SKIPIF 1 < 0 最小，如图：
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时取到，故l=2|AF|+2a= SKIPIF 1 < 0 故答案为：B
3．（202郫都期中）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线上一点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为11，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A．1B．21C．1或21D．2或21
【答案】B
【解析】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线的左右焦点，
当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 =11，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 =11，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.
4(2022广东）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．8B． SKIPIF 1 < 0 C．16D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 。故答案为：C
考点二 双曲线的离心率及渐近线
【例2-1】（2022高三下·安徽期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案为：C.
【例2-2】（2022·河南模拟）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P是双曲线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），若 SKIPIF 1 < 0 内切圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，
由题意设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：C．
【例2-3】（2022·德阳三模）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点是F，左､右顶点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设双曲线的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 分别为：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：C
【一隅三反】
1．（2022·重庆市模拟）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C的右支上，
又 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则在等边三角形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：C.
2．（2022·保定模拟）已知F为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，A为双曲线C上一点，直线 SKIPIF 1 < 0 轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的对称性，不妨设 SKIPIF 1 < 0 均为第一象限点，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：B
3．（2022·石嘴山模拟）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，P为双由线C上的一点，若线段 SKIPIF 1 < 0 与y轴的交点M恰好是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 轴，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的对称性特点不妨设点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为，
所以，，故，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：B.
考点三 双曲线的标准方程
【例3-1】（2022梧州期末）设双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左焦点为F，直线 SKIPIF 1 < 0 过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P， SKIPIF 1 < 0 ，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设左焦点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由点F过直线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设右焦点为N，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，故三角形 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：D.
【例3-2】．（202合肥期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 分别是等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为8，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：D．
【一隅三反】
2．（2022·和平模拟）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 上， 故可得 SKIPIF 1 < 0 ；
因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ；解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线方程为： SKIPIF 1 < 0 .故答案为：D.
2．（2022宁波期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线， 且它们的离心率不相同， 则下列方程中有可能为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 。
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，则离心率 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则离心率 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，则渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确。
故选：D
3．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义知点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点， SKIPIF 1 < 0 为实轴长的双曲线，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程 ．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ﹔③焦距大于10
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，写出一个即可）
【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为： SKIPIF 1 < 0
由②一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由③知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则可取 SKIPIF 1 < 0 （此处也可取大于 SKIPIF 1 < 0 的其他数）
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一， 写出一个即可）.
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【解析】当斜率不存在时，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ①.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，①式只有一个解；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
综上可知过 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.
【例4-2】（2022·山东）已知直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】联立 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于不同的两点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·上海）若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的右支相交于不同两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设交点 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习（理））若在区间 SKIPIF 1 < 0 内随机取一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支各有一个交点的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故所求概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2．（2022·安徽 ）直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】联立直线 SKIPIF 1 < 0 和双曲线： SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时方程为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时直线与双曲线无交点；故选：A
考点五 弦长与中点弦
【例5】（2022云南）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过 SKIPIF 1 < 0 的直线MN为 SKIPIF 1 < 0 ，联立双曲线： SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .弦长|MN| SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·山西）过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2（2022·湖南岳阳·三模）已知F1，F2分别为双曲线C: SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点，过点F2作y轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则△PF1Q的面积为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】双曲线C: SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以△PF1Q的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则b的值是（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
4．（2022·山东烟台·三模）过双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的焦点且斜率不为0的直线交 SKIPIF 1 < 0 于A， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】不妨设过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点且斜率不为0的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0
故选：D