新高考数学一轮复习提升训练9.4 抛物线（精讲）（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习提升训练9.4 抛物线（精讲）（含解析），共14页。试卷主要包含了抛物线定义及应用，直线与抛物线的位置关系，弦长，综合运用等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 抛物线定义及应用
【例1-1】（2022·广西梧州）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到该抛物线焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据抛物线的定义，可得点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 故选：D.
【例1-2】（江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题） 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交准线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设准线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，准线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 点纵坐标为3.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】直线 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线，点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离等于点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离，过焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，
如下图所示，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，为点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离.
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，P为抛物线上的任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
记抛物线的准线为l，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则由抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
3．（2021·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 到焦点的距离比到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离小1，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题可知抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
考点二 直线与抛物线的位置关系
【例2-1】（2022·广东）已知抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线有公共点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为 SKIPIF 1 < 0 ），显然满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．综上， SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
【例2-2】（2022·肥城市）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与抛物线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线与抛物线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【一隅三反】
1．（2022·云南）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点作一条直线与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则这样的直线的条数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，则该直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，不合乎题意.
所以直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，易知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故满足条件的直线有且只有一条．
故选：B．
2（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则两曲线的公共切线的其中一条方程为_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，分别联立方程得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，两曲线的公共切线的其中一条方程可为： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·广东高三开学考试）过点 SKIPIF 1 < 0 的两条直线与抛物线C： SKIPIF 1 < 0 分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3 SKIPIF 1 < 0 C．27D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 故选： SKIPIF 1 < 0 .
考点三 弦长
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．8C．12D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】依题意可知抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【例3-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由A，B中点的横坐标为2，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，分别过点 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 32，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3（2021·福建高三月考）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，
分别过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ．
过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中位线，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
考点四 综合运用
【例4】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】因为焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确
故抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．故C正确
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．故D正确故选：ACD．
【一隅三反】
1．（2022·广东江门）（多选）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是等边三角形
C．点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为3D．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】根据题意，作出示意图,
因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交 SKIPIF 1 < 0 于B，D两点，∠ABD＝90°，
由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，故B正确；
所以∠FBD＝30°.
因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 |BF|2＝9 SKIPIF 1 < 0 ，
所以|BF|＝6.故A错误；
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确；
则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误.
故选：BC.
2．（2022·辽宁朝阳）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的射影，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 三点共线
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
设 SKIPIF 1 < 0 1，令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 三点共线，故C正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0
消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确.
故选：ACD.
3．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学 ）（多选）已知直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在第一象限），以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆分别与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】设直线PQ的方程为：y SKIPIF 1 < 0 （x﹣2），与 SKIPIF 1 < 0 联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x SKIPIF 1 < 0 或6，则P（6，4 SKIPIF 1 < 0 ），Q（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
所以|PQ|=6 SKIPIF 1 < 0 4 SKIPIF 1 < 0 ，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2 SKIPIF 1 < 0 ），（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
所以A（0， SKIPIF 1 < 0 ），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），所以|AB|=2 SKIPIF 1 < 0 ，
选项B正确；
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，选项D错误.
故选：ABC.