湖南省三湘创新发展联合2022-2023学年高三上学期数学起点调研考试试卷

这是一份湖南省三湘创新发展联合2022-2023学年高三上学期数学起点调研考试试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．设全集U=R，集合A={x∈N|x<4}，B={x|x>2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{1，2}B．{0，1，2}
C．{x|x≤2}D．{x|0≤x≤2}
2．已知复数z=−i3+i，则z的共轭复数z=（ ）
A．−1−3i4B．−1−3i2C．−1+3i4D．−1+3i2
3．已知向量a=(1，−2)，b=(m，3−m)，若a⊥b，则m=（ ）
A．-3B．-1C．1D．2
4．一封闭的正方体容器ABCD−A1B1C1D1，P，Q，R分别是AB，BC和C1D1的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
5．若关于x的不等式ax2−(a2+6a+9)x+a+1<0的解集是{x|mA．8B．6C．4D．2
6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C=Blg2(1+SN)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（ ）
A．1.2倍B．12倍C．102倍D．1002倍
7．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240B．192C．96D．48
8．若直线y=kx+b是曲线f(x)=ex−2与g(x)=ex+2022−2022的公切线，则k=（ ）
A．10111012B．1C．10121011D．2022
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．“方程x2m+2+y22−m=1表示椭圆”的一个充分条件是（ ）
A．m=−1B．m=0C．m=1D．m>0
10．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示.将函数f(x)的图象向右平移3π16个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，则（ ）
A．f(x)=2sin(2x+π4)
B．g(x)的图象关于直线x=−π8对称
C．g(x)的图象关于点(π8，0)对称
D．函数f(x)+g(x)的最小值为−4
11．在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A1B1=2AB=4，AA1=2，则（ ）
A．该棱台的高为2B．该棱台的表面积为20+123
C．该棱台的体积为282D．该棱台外接球的表面积为40π
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且ai=1或ai=2的概率均为12(i=1，2，3，⋅⋅⋅，n).设Sn能被3整除的概率为Pn，则（ ）
A．P2=1B．P3=14
C．P11=3411024D．当n≥5时，Pn<13
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知θ为三角形的内角，且sin2θ=sin2θ，则sinθ(1−cs2θ)sinθ+csθ= .
14．已知圆C：x2+(y−1)2=m与抛物线x2=4y的准线相切，则m= .
15．写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)： .
①直线x=1是f(x)图象的对称轴；②f(x)在R上恰有三个零点.
16．平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线，若平面上到两条直线x−y=0，y=0的距离之和为2的点P的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ围成的图形面积为 .
四、解答题（共6题，共70分）
17．2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：
参考数据：i=17(ti−t)(yi−y)=42.1，i=17(yi−y)2=8.1，7≈2.65.参考公式：相关系数r=i=1n(ti−t)(yi−y)i=1n(ti−t)2i=1n(yi−y)2.在回归方程y=bt+a中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=i=1ntiyi−ntyi=1nti2−nt2=i=1n(ti−t)(yi−y)i=1n(ti−t)2，a=y−bt.
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；
（2）利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额.
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sinA−sinB)+(c−3a)sinC=0.
（1）求角B的大小；
（2）若BC边上的高为b−c，求sinA.
19．在多面体EF−ABCD中，平面EDCF⊥平面ABCD，EDCF是面积为3的矩形，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2.
（1）证明：BD⊥EA.
（2）求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
20．已知数列{an}的首项为1，满足a3−a4=a3a4，且an+2an，an+2an+1，1成等差数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋅⋅⋅+anan+1an+2<14.
21．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=13x，一个焦点到该渐近线的距离为39.
（1）求C的方程；
（2）设A，B是直线x=−9上关于x轴对称的两点，直线y=k(x+9)与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.
22．已知函数f(x)=2alnx+12x2−(2a+1)x，a∈R.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）设函数g(x)=f(x)−12x2+(2a−1)x+8x，若g(x)存在两个极值点x1，x2，证明：g(x1)−g(x2)x1−x2+4<2a.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】A={x∈N|x<4}={0，1，2，3}，
图中阴影部分表示的集合为{x|x∈A，x∉B}={0，1，2}.
故答案为：B.
【分析】 由图象可知阴影部分对应的集合为A∩(CuB)，然后根据集合的基本运算即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由z=−i3+i=−i(3−i)(3)2+1=−1−3i4，知z=−1+3i4.
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解出答案.
3．【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由a⊥b，得m−6+2m=0，则m=2.
故答案为：D．
【分析】 根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出答案.
4．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图，设过P，Q，R三点的平面为平面α.
分别取A1D1，A1A，CC1的中点F，E，M，
连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.
由正方体性质知RF//PQ，所以F∈平面α.
又RP//MQ，所以M∈平面α.
又EF//RP，所以E∈平面α.
所以点六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.
故答案为：D.
【分析】 过P， Q， R三点的平面为六边形，可以根据平面的性质公理，先后证明其余三个顶点在P、Q、 R所确定的平面上，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】根据题意可得x=m和x=n是方程ax2−(a2+6a+9)x+a+1=0的两根且a>0，即m+n=a2+6a+9a，mn=a+1a.
故1m+1n=m+nmn=a2+6a+9a+1=(a+1)2+4(a+1)+4a+1=(a+1)+4a+1+4≥4+4=8，
当且仅当a=1时，等号成立.
故答案为：A．
【分析】根据三个“二次”的关系可知，x=m和x=n是方程ax2−(a2+6a+9)x+a+1=0的两根，由韦达定理求出m+n=a2+6a+9a，mn=a+1a，1m+1n=m+nmn=a2+6a+9a+1，由基本不等式即可求出其最小值．
6．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可得S=100W，N=10W，则在信道容量未增加时，信道容量为C1=Blg2(1+SN)=Blg2101，当信道容量增加到原来的2倍时，C2=Blg2(1+S′10)=2C1，则lg21012=lg2(1+S′10)，即1+S′10=1012，解得S′=102000，则平均信号功率需要增加到原来的102倍.
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合对数的公式，即可求解出答案 .
7．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】丙在正中间（4号位）；
甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲､乙的顺序有A22种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有A44种情况；
故不同的坐法的种数为4A22A44=192.
故答案为：B.
【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人，可得答案.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线y=kx+b与f(x)=ex−2的图象相切于点P1(x1，y1)，与g(x)=ex+2022−2022的图象相切于点P2(x2，y2)，又f′(x)=ex−2，g′(x)=ex+2022，所以y1=ex1−2，y2=ex2+2022−2022，
由点P1(x1，y1)在切线上，得切线方程为y−ex1−2=ex1−2(x−x1)；
由点P2(x2，y2)在切线上，得切线方程为y−ex2+2022+2022=ex2+2022(x−x2)，
故ex1−2=ex2+2022ex1−2(1−x1)=ex2+2022(1−x2)−2022，解得ex1−2=10111012，
故k=ex1−2=10111012.
故答案为：A.
【分析】 设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等，即可求解k值.
9．【答案】A,C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】若方程x2m+2+y22−m=1表示椭圆，则m+2>0，2−m>0，m+2≠2−m，，
解得：−2故m=−1与m=1是−2故答案为：AC.
【分析】 由椭圆的方程可得充要条件时的m的范围，再利用充分条件的定义可得答案.
10．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】从图象可以看出，A=2，3π8−π8=14T=π4，
因为ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，
将点(π8，2)代入解析式，得2sin(π4+φ)=2，其中|φ|<π2，
解得φ=π4，所以f(x)=2sin(2x+π4)，A符合题意；
易得g(x)=2sin(x−π8)，
因为g(−π8)=−2，所以B不符合题意；
因为g(π8)=0，所以C符合题意；
因为f(x)+g(x)=2sin(2x+π4)+2sin(x−π8)≥−4，
且f(−3π8)+g(−3π8)=−4，
所以函数f(x)+g(x)的最小值为-4，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 根据图象求出A、ω和φ，即可求函数f (x)的解析式，再结合平移，伸缩的法则，求出g(x)，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】由题可知AC=22，A1C1=42，
所以正四棱台的高ℎ=22−(42−222)2=2，A符合题意，
正四棱台的斜高ℎ′=22−(4−22)2=3，
所以正四棱台的侧面积为4×12×(2+4)×3=123，
上、下底面的面积分别为4，16，即正四棱台的表面积S=4+16+123=20+123，B符合题意，
正四棱台的体积V=13(4+4×16+16)×2=2823，C不符合题意，
设该棱台外接球的球心为O，半径为R，点O到上底面的距离为x，
所以R2=(2)2+x2R2=(22)2+(2−x)2，解得R=10，
所以该棱台外接球的表面积为4πR2=40π，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可知AC=22，A1C1=42，则可求出正四棱台的高ℎ=2，斜高ℎ'=3，即可求出其们面积、表面积、体积，设该棱台外接球的球心为O，半径为R，点O到上底面的距离为x，则可列出方程组，即可解出R=10，则可求出外接球的表面积.
12．【答案】B,C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由题可知P1=0，P3=223=14，B符合题意；
Sn被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2，
所以Pn+1=12(1−Pn)，则Pn+1−13=−12(Pn−13)，所以Pn−13=−13⋅(−12)n−1，
即Pn=−13⋅(−12)n−1+13，所以P2=−13⋅(−12)+13=12，P11=−13⋅(−12)10+13=3411024
A不符合题意，C符合题意；
Pn−13=−13⋅(−12)n−1，令n=6，则−(−12)6−1=132>0，所以P6>13，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 由已知可得Pn+1=12(1−Pn)，利用递推关系求出Pn，逐项分析可得答案.
13．【答案】1615
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由sin2θ=sin2θ，可得tanθ=2，
故sinθ(1−cs2θ)sinθ+csθ=tanθtanθ+1⋅2sin2θ=43⋅sin2θsin2θ+cs2θ=43⋅tan2θtan2θ+1=1615.
故答案为：1615．
【分析】根据二倍角公式可由sin2θ=sin2θ，可得tanθ=2，再将sinθ(1−cs2θ)sinθ+csθ化成齐次式即可解出．
14．【答案】4
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为圆C：x2+(y−1)2=m的圆心为(0，1)，半径r=m，抛物线x2=4y的准线为y=−1，
所以|1+1|=m，解得m=4.
故答案为：4
【分析】 求得圆C的圆心和半径，抛物线的准线方程，运用直线和圆相切的条件，解方程可得所求m的值.
15．【答案】f(x)=x(x−1)2(x−2)（答案不唯一，也可写f(x)=(x−1)2(2−|x−1|)）
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】由题可知先找出一个偶函数，且有三个零点，例如g(x)=x2(x2−1)，再将g(x)的图象向右平移1个单位长度，得到f(x)=(x−1)2[(x−1)2−1]=x(x−1)2(x−2)的图象.
故答案为：f(x)=x(x−1)2(x−2)
【分析】 根据偶函数和三个零点可先得g(x)=x2(x2−1)，然后平移即可满足对称性，可得答案.
16．【答案】82
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设P(x，y)，则P的轨迹方程为|x−y|2+|y|=2，
令y=0，得曲线Γ与y=0交于A(22，0)，C(−22，0)，
令x=y，得曲线Γ与x−y=0交于B(2，2)，D(−2，−2)，
因为|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=22，所以S=4S△OAB=4×12×22×22sinπ4=82.
故答案为：82．
【分析】 根据题意求出P的轨迹方程，再求出该平行四边形的四个顶点坐标，再结合 曲线Γ围成的图形面积S=4S△OAB，即可求解出答案.
17．【答案】（1）解：因为t=4，i=17(ti−t)2=28，i=17(ti−t)(yi−y)=42.1，i=17(yi−y)2=8.1，
所以r=i=17(ti−t)(yi−y)i=17(ti−t)2i=17(yi−y)2≈42.12×2.65×8.1≈0.98.
因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t具有很强的正线性相关，
从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系.
（2）解：因为y=357=5，i=17(ti−t)2=28，所以b=i=17(ti−t)(yi−y)i=17(ti−t)2=42.128≈1.5，
a=y−bt≈5−1.5×4=−1，所以y关于t的回归方程为y=1.5t−1，
将t=8代入回归方程得y=1.5×8−1=11（千万元）=1.1亿元，
所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元.
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】 (1)根据相关系数公式求出r，利用数值对应的意义即可说明交易额y与t的关系 ；
(2)先由最小二乘法求出回归方程， 将t=8代入回归方程，即可预测出下一周的第一天的交易额.
18．【答案】（1）解：由(a+b)(sinA−sinB)+(c−3a)sinC=0，得(a+b)(a−b)+(c−3a)c=0，即a2+c2−b2=3ac，∴csB=a2+c2−b22ac=32，∵0（2）解：∵B=π6，且BC边上的高为b−c，∴b−c=csinπ6，∴c=23b，
∴sinC=b−cb=13.∵c∴sinA=sin[π−(C+π6)]=sin(C+π6)=sinCcsπ6+csCsinπ6=3+226.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理的转换关系的应用，求出角B的大小；
(2)利用三角形的面积公式和角的恒等变换的应用，求出 sinA的值.
19．【答案】（1）证明：因为平面EDCF⊥平面ABCD，且平面EDCF∩平面ABCD=CD，ED⊥DC，
所以ED⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，所以ED⊥BD，
在四边形ABCD中，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N，
因为CD//AB，AD=CD=CB=1，AB=2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，则AM=BN=12，所以DM=32，BD=DM2+BM2=3，
所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，
又ED∩AD=D，ED、AD⊂平面EAD，
所以BD⊥平面EAD，
又因为EA⊂平面EAD，所以BD⊥EA；
（2）解：如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，BD=3，
则A(1，0，0)，B(0，3，0)，E(0，0，3)，C(−12，32，0)，
则AE=(−1，0，3)，BE=(0，−3，3)，DE=(0，0，3)，DC=(−12，32，0).
设平面EAB的法向量n=(x1，y1，z1)，
则n⋅AE=−x1+3z1=0n⋅BE=−3y1+3z1=0，可取n=(3，1，1)，
设平面EDCF的法向量m=(x2，y2，z2)，
则m⋅DE=3z2=0m⋅DC=−12x2+32y2=0，可取m=(3，1，0)，
则cs⟨m，n⟩=m⋅n|m||n|=3+15×2=255，
由图可知，平面EDCF与平面EAB夹角为锐角，
所以平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值为255.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质、ED⊥DC可得ED⊥平面ABCD，由线面垂直的性质得ED⊥BD，作DM⊥AB于M ，CN⊥AB于N，可得四边形ABCD为等腰梯形，求出BD，利用勾股定理得AD⊥BD，再用线面垂直的判定定理和性质定理可证得 BD⊥EA；
(2)以点D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面EAB、平面EDCF的法向量，由二面角的向量求法计算可得平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
20．【答案】（1）解：由题意得2an+2an+1=an+2an+1，则2an+1=1an+1an+2，
∴数列{1an}为等差数列．
又a3−a4=a3a4，∴1a4−1a3=1，即数列{1an}的公差为1，
∴1an=1+n−1=n，即an=1n．
（2）证明：由已知得anan+1an+2=1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]，
∴a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+anan+1an+2
=12[11×2−12×3+12×3−13×4+13×4−14×5+⋯+1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]
=14−12(n+1)(n+2)<14．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)由 an+2an，an+2an+1，1成等差数列 ，可知数列{1an}为等差数列，根据a3−a4=a3a4即可求得公差，从而确定的通项公式an=1n；
(2) 由已知得anan+1an+2=1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]，根据裂项相消法即可求数列{anan+1an+2}的前n项和，从而判断前n项和的范围．
21．【答案】（1）解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±bax，所以ba=13.
又焦点(c，0)到直线y=13x的距离d=|13c|1+13=39，所以c=42，
又c2=a2+b2，所以a2=3，b2=39，
所以双曲线C的标准方程为x23−y239=1.
（2）证明：联立方程组x23−y239=1，y=k(x+9)，消去y，并整理得(13−k2)x2−18k2x−3(27k2+13)=0(13−k2≠0).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=18k213−k2，x1x2=−3(27k2+13)13−k2.
设A(−9，t)，B(−9，−t)（t≠0），则得直线AM的方程为y−t=y1−tx1+9(x+9)，
直线BN的方程为y+t=y2+tx2+9(x+9)，
两个方程相减得2t=(y2+tx2+9−y1−tx1+9)(x+9)，①
因为y2+tx2+9−y1−tx1+9=k(x2+9)+tx2+9−k(x1+9)−tx1+9=t(x1+x2+18)x1x2+9(x1+x2)+81，
把上式代入①得：2=x1+x2+18x1x2+9(x1+x2)+81(x+9)，
所以x=2x1x2+9(x1+x2)x1+x2+18=2×[−3(27k2+13)13−k2]+9⋅18k213−k218k213−k2+18=−13，
因此直线AM与BN的交点在直线x=−13上.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据渐近线方程得到ba=13，结合点到直线距离公式求出c=42，利用c2=a2+b2求出 a2=3，b2=39，写出双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足x=−13.
22．【答案】（1）解：f′(x)=2ax+x−(2a+1)=x2−(2a+1)x+2ax=(x−1)(x−2a)x，
①若a≤0，当01时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.
②若00，得01；由f′(x)<0，得2a所以f(x)在(0，2a)，(1，+∞)上单调递增，在(2a，1)上单调递减.
③若a=12，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.
④若a>12，由f′(x)>0，得02a；由f′(x)<0，得1所以f(x)在(0，1)，(2a，+∞)上单调递增，在(1，2a)上单调递减；
（2）解：g(x)=f(x)−12x2+(2a−1)x+8x=2alnx−2x+8x，
g′(x)=2ax−2−8x2=−2(x2−ax+4)x2，
①当a≤4时，g′(x)≤0恒成立，g(x)不可能有两个极值点.
②当a>4时，由g′(x)=0得两个根x1，x2，因为x1+x2=a>0，且x1x2=4，所以两根x1，x2均为正数，故g(x)有两个极值点，
不妨设x12，
g(x1)−g(x2)x1−x2=2a⋅lnx1−lnx2x1−x2−2−8x1x2=2a⋅ln4−2lnx24x2−x2−4，
g(x1)−g(x2)x1−x2+4<2a等价于2a⋅ln4−2lnx24x2−x2<2a，即4x2−x2+2lnx2<2ln2，
令ℎ(x)=4x−x+2lnx(x>2)，ℎ′(x)=−4x2−1+2x=−(x−1)2−3x2<0，
所以ℎ(x)在(2，+∞)上单调递减，又ℎ(2)=2ln2，所以当x>2时，ℎ(x)<2ln2，
故g(x1)−g(x2)x1−x2+4<2a成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1)求导得 f'(x)=(x−1)(x−2a)x 令f'(x)=0得x=2a或x= 1，分四种情况：①当 a≤0时，②当 012时，讨论f' (x)的符号，f (x)的单调性，即可求出 f(x)的单调区间；
(2)求导得 g'(x)=−2(x2−ax+4)x2， x >0，又存在 x1，x2 为g (x )的极值点， 由g′(x)=0得两个根x1，x2，因为x1+x2=a>0，且x1x2=4，所以两根x1，x2均为正数，故g(x)有两个极值点， 要证明 g(x1)−g(x2)x1−x2+4<2a等价于4x2−x2+2lnx2<2ln2，令ℎ(x)=4x−x+2lnx(x>2)， 求导，可得 ℎ(x) 的单调性，即可证得 g(x1)−g(x2)x1−x2+4<2a.第t天
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