广东省深圳市宝安中学（集团）塘头学校2023-2024学年九年级上学期开学检测数学试题（解析版）

这是一份广东省深圳市宝安中学（集团）塘头学校2023-2024学年九年级上学期开学检测数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x=0B. x=3C. x≠0D. x≠3
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3，
故选D．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，注意：分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零．
2. 下列以数学家命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】总的来说，用不等号(,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式.根据不等式的定义即可判定A错误，其余选型根据不等式的性质判定即可.
【详解】A: a＞b，则a-5＞b-5，故A错误；
B:a＞b, -a＜-b，则-2a＜-2b， B选项正确.
C：a＞b， a+3＞b+3，则＞,则C选项错误.
D：若0＞a＞b时，a2＜b2，则D选项错误.
故选B
【点睛】本题主要考查不等式的定义及性质.熟练掌握不等式的性质才能避免出错.
4. 下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．
【详解】解：是整式乘法运算，
是整式乘法运算，
右边不是整式的积的形式，不是因式分解，
从左到右的变形为因式分解，故符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于熟练掌握：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫多项式的因式分解．
5. 如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连接，若，，则的长为（ ）
A 4B. 6C. 8D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质得到，，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，，，
则，即，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，解题的关键是熟练运用平移的性质．
6. 如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A. 100米B. 80米C. 60米D. 40米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
7. 下列四个命题中，假命题是（ ）
A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
B. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质逐项判断即可．
【详解】A、根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）可判断该命题为真命题，该选项不符合题意；
B、根据勾股定理和全等三角形的判定定理（三条边分别相等的两个三角形全等）可判断该命题为真命题，该选项不符合题意；
C、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，该命题为假命题，该选项符合题意；
D、根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和平行四边形的判定定理（两组对角分别相等的四边形为平行四边形）可判断该命题为真命题，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质，牢记平行四边形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
8. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为元/千克，根据题意列不等式求解即可．
【详解】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为元/千克，
根据题意得：购进这批水果用去元，但在售出时，水果只剩下千克，
售货款为元，
根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100%可列出不等式：
，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键，要抓住题目中的关键字，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”等．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）．
9. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10. 关于x的方程3x+a＝x﹣7的根是正数，则a的取值范围是_____．
【答案】a＜﹣7
【解析】
【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出>0，求出即可．
【详解】解：3x+a=x-7
3x-x=-a-7
2x=-a-7
x=，
∵＞0，
∴a＜-7，
故答案为a＜-7
【点睛】本题考查解一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是求出方程的解进而得出不等式．
11. 如图，在中，，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意易得∠B=∠ADE=65°，AB=AD，∠C=40°，然后根据等腰三角形的性质及领补角、三角形的外角性质可进行求解．
【详解】解：∵绕点A按逆时针方向旋转到的位置，，，
∴∠B=∠ADE=65°，AB=AD，∠C=40°，
∴∠B=∠ADB=∠ADE =65°，
∴∠EDC=180°-65°-65°=50°，
∴∠AFD=∠C+∠EDC=40°+50°=90°；
故答案为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握旋转及等腰三角形的性质是解题的关键．
12. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形，则图中重叠部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据翻折的性质，及已知的角度，可得△AEB’为等边三角形，再由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由AC是对称轴，所以AC垂直且平分， ，求AE边上的高，从而得到面积．
【详解】解：∵△CDE恰为等边三角形，
∴
∴为等边三角形，
由四边形ABCD为平行四边形，且∠B=60°，
∴∠BAD=120°，所以，CD=AB=3
∴，A，B三点在同一条直线上，
∵AC是对折线，
∴AC垂直且平分，
∴，
过点C作CF⊥AD，
则有∠DCF=30°，
∴DF=，
∴CF=，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，解答本题的关键重叠部分是等腰三角形．
13. 如图，在中，，过点B作延长到点D，使得，连接，若，则的长为____________．

【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点D作于H，过点D作交延长线于G，证明得到，，利用勾股定理求出，从而得到，再证明四边形是矩形，得到，则，即可利用勾股定理得到．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，过点D作交延长线于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本部分共7小题，共61分）．
14. 解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式方程的解法即可求出答案．
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【小问1详解】
解：，
两边同时乘以最简公分母，
得：，
解得：，
检验：时，，
故是原方程解；
【小问2详解】
解：，
两边同时乘以最简公分母，
得：，
解得：，
检验：时，，
故是原方程的解．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，注意解分式方程最后需检验．
15. 解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】-2＜x≤3，数轴上表示见解析．
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．
【详解】解： ，
解①得，x＞-2，
解②得，x≤3，
则不等式组的解集为-2＜x≤3，
在数轴上表示为：
．
故答案为-2＜x≤3，数轴上表示见解析．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先对括号里进行通分，再利用分式的乘除法法则进行计算，化简后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）尺规作图：连接A1A2，在C1A2边上求作一点P，使得点P到A1A2的距离等于PC1的长（保留作图痕迹，不写作法）；
（4）请直接写出∠C1A1P的度数．
【答案】（1）C1（0，﹣1）；图见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）22.5°.
【解析】
【分析】（1）分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1即可；
（2）分别作出A1、B1、C1对应点A2、B2、C2即可；
（3）作∠C1A1A2的角平分线交C1A2于P即可；
（4）根据角平分线的定义即可解决问题；
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示，并写出点C1的坐标（0，﹣1）；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）点P如图所示；
（4）请直接写出∠C1A1P的度数为22.5°；
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、轴对称变换、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18. 如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：

请回答下列问题：
（1）以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；
（2）若，，求的面积
【答案】（1）甲方案和乙方案；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
（2）根据，结合四边形为平行四边形的性质可得到，，即，已知，可求得，故．
【小问1详解】
甲方案和乙方案；
证明：甲方案：如图，连接，

∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
乙方案：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形和四边形都为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点，熟练地掌握平行四边形的判定方法和性质是解题的关键．
19. 为了方便乘客出行，深圳宝安国际机场安装了图1所示的平地电梯，如图2是其示意图，已知电梯的长度为200米，小刚和小明两人不乘电梯在地面匀速行走时，小刚每分钟行走的路程是小明的1.2倍，且1.5分钟后，小刚比小明多行走15米．
（1）求两人在地面上每分钟各行走多少米？
（2）若两人同时从A点出发在平面电梯上行走，电梯向前行驶的同时两人仍保持原来在地面上匀速行走的速度在电梯上行走，当小刚到达B处时，小明还剩20米才到达B处．
①求电梯每分钟行驶多少米？
②当小刚到达B处时，发现有一袋行李忘在了点A处，于是马上以每分钟a的速度从地面返回A处，拿了行李后立即乘平地电梯（同时按原来在地面上匀速行走的速度行走）去B处和小明汇合，要使小明到达B点后等待的时间不超过4分钟，求a的最小值．
【答案】（1）小明在地面上每分钟行走50米，小刚在地面上每分钟行走60米；
（2）①电梯每分钟行驶40米；②a的最小值为90．
【解析】
【分析】（1）设小明在地面上每分钟行走x米，则小刚在地面上每分钟行走米，根据“1.5分钟后，小刚比小明多行走15米”列方程，求解即可；
（2）①设电梯每分钟行驶y米，根据时间的等量关系列出分式方程即可求解；②分别求出小刚和小明乘平地电梯从A点到达B点所用的时间，然后根据“小明到达B点后等待的时间不超过4分钟”列不等式，解不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设小明在地面上每分钟行走x米，则小刚在地面上每分钟行走米，
依题意得，
解得，
则，
答：小明在地面上每分钟行走50米，小刚在地面上每分钟行走60米；
【小问2详解】
①设电梯每分钟行驶y米，
依题意得，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
答：电梯每分钟行驶40米；
②小刚乘平地电梯从A点到达B点所用的时间为（分钟），
小明乘平地电梯从A点到达B点所用的时间为（分钟），
由题意得：，
解得：，
所以a的最小值为90．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意，找出合适的等量关系与不等关系，列出方程或不等式．
20. 【知识链接】“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．
在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：
（1）【问题发现】：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形—矩形(长方形)的研究发现在矩形中令，则可求得 （用含a、b的式子）；

（2）【问题探究】：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究，如图，分别过点A、D作边的垂线，请你按照这种思路证明；

（3）【问题拓展】：如图3，在中，是边上的中线，已知：，，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值．

【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由矩形，可得，，由勾股定理得，进而可得；
（2）由平行四边形，可得，，则，证明，则，，由勾股定理得，，，，根据，作答即可；
（3）如图3，延长到，使，则，证明四边形是平行四边形，由（2）可知，在平行四边形中，对角线平方的和等于邻边平方和的2倍，则，即，解得，由，可得，计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：∵平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，，，
∴
，
，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，延长到，使，则，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
由（2）可知，在平行四边形中，对角线平方的和等于邻边平方和的2倍，
∴，即，解得，
∵；
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，完全平方公式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．