江苏省徐州市泉山区科技中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份江苏省徐州市泉山区科技中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
2. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后抛物线的解析式为．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减,，左加右减．
3. 表示不大于的最大整数，如，，如果，，则符合条件的的值有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】当时，先确定的取值，然后再依次验证是否满足．
【详解】解：当时，，，，，
∵
∴
当时，，得：，无解
当时，，得：，解得：(舍去)或
当时，，得：，解得：(舍去)
当时，，得：，解得：(舍去)
当时，，得：，解得：(舍去)或
∴或
符合条件的的值有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，解一元二次方程，要理解新定义定义，注意分类讨论．
4. 在二次函数中，与的部分对应值如下表：
则下列说法： ①该二次函数的图像经过原点；②该二次函数的图像开口向下；③当时，随着的增大而增大；④该二次函数的图像经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①③⑤D. ①④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】结合图表可以得出当或时，，当时，，根据此三点可求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由图表可以得出当或时，；当时，；
即，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
∵图表可以得出图象经过点，
故二次函数的图像经过原点；即①正确；
∵，
∴二次函数的图像开口向上，故②错误；
∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小，故③错误；
将代入，得，
∴二次函数的图像经过点，故④正确；
∵二次函数与轴有两个交点，，
∴有两个不相等的实数根，故正确；
综上，①④⑤说法正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，根据二次函数图象确定一元二次方程解的情况，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
5. 小明在桌上摆放小棒，他发现：两根小棒最多有1个交点，三根小棒最多有3个交点……，若n根小棒最多有300个交点，则n的值为（ ）

A. 24个B. 25个C. 26个D. 27个
【答案】B
【解析】
【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．
【详解】解：2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
……
∴n条直线相交最多有个交点；
∴，
解得（负值已舍去），
则n值为25．
故选：B．
【点睛】此题考查图形的变化规律及解一元二次方程，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
6. 是的二次函数，其对应值如下表：
下列叙述不正确的是（ ）
A. 该二次函数的图象的对称轴是直线
B.
C. 当时，随的增大而增大
D. 图象与轴有两个公共点
【答案】D
【解析】
【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A，当时，求出的值，可以判断B，根据的值和对称轴确定随的变化情况，可以判断C，根据根的判别式确定与轴的交点个数，可以判断D，从而得到答案．
【详解】解：设二次函数为，
则，
解得：，
二次函数的解析式为：，
对称轴为：，故选项A正确，
当时，，
，故选项B正确，
，
图象开口向上，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而增大，故选项C正确，
，
图象与轴有一个公共点，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式．
7. 函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．

A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故②错误；根据对称轴求出，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④错误．
【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为，
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴，故②错误；
∵中，，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为，
∵点向上平移1个单位后的坐标为，
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
8. 已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A. B.
C. 周长的最小值是D. 是的一个根
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x=3时，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．
【详解】A．根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；
B．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，
∴x=3时，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0,
∴3a+3=0，
∴2a+3=-a，
∵抛物线开口向下，则a-，故B正确；
C．点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA´与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，
∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，
∴AB=，BA´=，
即△PAB周长的最小值为+，故C错误；
D．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以是的一个根，故D正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分）
9. 当______时，函数是反比例函数．
【答案】1
【解析】
【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键．
10. 若直线经过第一、二、三象限，那么抛物线顶点在第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】将抛物线表达式化为顶点式，得出顶点坐标为，根据直线经过第一、二、三象限，得出，进而得出，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴点在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的顶点，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，以及将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤．
11. 若方程的两根为，，则的值为__________．
【答案】2023
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的概念可得，，再代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：方程的两根为，，
，
，
，
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的概念，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
12. 二次函数的图像如图所示，对称轴为直线若是一元二次方程的两个根，且，，则的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称轴与两个根的关系式，用一个根表示另一个根，代入即可解得．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数图像的性质，解题的关键是熟悉二次函数图像的对称性．
13. 二次函数与轴交点坐标分别为，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数与轴有交点，令，可解出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：∵二次函数与轴交点坐标分别为，，
∴令，则，
∴，则，
∴或，
当时，
∴
；
当时，
∴
；
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点问题及解一元二次方程，掌握二次函数与轴有交点，可求出交点的横坐标的值，整式的混合运算等知识是解题的关键．
14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据图象中直线在抛物线上方的x的取值范围求解．
【详解】解∶
当时，抛物线在直线上方，
的解集为，即的解集为，
故答案为∶．
【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式转化为图象问题．
15. 如图，已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】将变形为：，根据，则，由此可得不等式的解集是．
【详解】解：变形为：，
∵，
∴，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与解析式的性质，解一元一次不等式，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
16. 如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______．

【答案】①③④
【解析】
【分析】由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，
，①正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，②错误；
方程没有实数根，
，③正确；
，，
，④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
17. 若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图像的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点、，若一次函数图像上的“零点”为点C，则当为等腰三角形时，k的值为____．
【答案】或或
【解析】
【分析】设，分，，三种情况，根据两点间距离公式、等腰三角形的性质分别列式求解即可．
【详解】解：、，
，
一次函数图像上的“零点”为点C，
设，
为等腰三角形时有下列三种情况：
当为腰，且点A为顶点时，，
，，
，
解得，，
当时，点C的坐标为，
，
解得，
当时，点C的坐标为，
，
解得；
当为腰，且点B为顶点时，，
，，
，
解得，，
当时，点C的坐标为，
不在一次函数图像上，故不合题意，舍去；
当时，点C的坐标为，
此时点A与点C重合，故不合题意，舍去；
当为底边，点C为顶点时，，
此时点C在线段的垂直平分线上，
点C的横坐标为，
点C的坐标为，
，
解得，
综上可知，k值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方程等，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．
18. 如图，抛物线与x轴另一个交点为A，现将抛物线同右平移3个位长度，所得抛物线与x轴交于点C，D，与原抛物线交于点P，则__________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】先求出的坐标，设关于的对称点为，且设的横坐标为，的横坐标为，根据题意可知，，从而求出与的值，从而求得的边上的高，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为：，
令代入，
，
或，
，
设关于的对称点为，且设的横坐标为，的横坐标为，
，
抛物线向右平移3个单位长度，
，
，
，
解得，
把代入
，
在中，边上的高为：，
，
，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出的面积，本题属于中等题型．
三、解答题
19. 用适当的方法解下列方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
或
∴，；
【小问2详解】
解：
即
解得：，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
20. 已知二次函数（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为，，且，求m的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由根的判别式：时，图象与x轴有两个公共点；时，图象与x轴有一个公共点；时，图象与x轴有没有公共点；据此进行求解即可．
（2）可得，，代入即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得
，，，
，
不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点．
【小问2详解】
解：由题意得：
，
，
，
，
整理得：，
，
故的值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，理解二者之间的关系，掌握解法是解题的关键．
21. 已知二次函数．

（1）求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出：
①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
②当时，函数值y的取值范围．
【答案】（1），图象见解析
（2）①或；②．
【解析】
【分析】（1）将该函数一般式化为顶点式即得出其顶点坐标，再用描点法画出其图象即可；
（2）①求函数值y为正数时的自变量x的取值范围，即求图象位于x轴上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解；②根据图象可直接得出当时，函数值y的取值范围．
【小问1详解】
解：，
∴函数图象的顶点坐标为．
画出这个函数的图象如下，
【小问2详解】
解：①由图象可知当函数值y为正数，即图象位于x轴上方时，x的取值范围为是或；
②由图象可知当时，函数值y的取值范围是．
【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标，画二次函数图象，图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键．
22. 某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的1.4倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
（1）直接写出关于售价的函数关系式；
（2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
（3）若某天的利润不低于2000元，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）；当销售单价定为时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设关于售价的函数关系式为，利用待定系数法求解即可得到答案；
（2）由（1）知，每天的销售量为，每件商品的利润为元，即可得到与之间的函数关系式；再由二次函数图像与性质求出最值即可得到答案；
（3）根据（2）中，列一元二次方程求解，再由二次函数图像与性质解答即可得到答案．
【小问1详解】
解：设关于售价的函数关系式为，
将、代入得，
解得，
关于售价的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由（1）知，每天的销售量为，
商品进价为100元/件，
与之间的函数关系式为；
，
，
，
当时，有最大值，为，
答：当销售单价定为时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为；
【小问3详解】
解：由（2）知，与之间的函数关系式为，
当某天的利润不低于2000元时，令，即，解得或，
，
．
【点睛】本题考查函数解决实际应用题，涉及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段上方的抛物线上一动点，过P作，当最大时，求出此时P点的坐标以及的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过P点作轴交于于E点，直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数性质即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线交x轴于、两点，
∴ ，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
过点P作轴，交于点E，如图，

∵抛物线交y轴于点C，
∴，
设直线解析式为，则 ，
解得： ，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
24. 阅读下列材料：
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为…①，
解这个方程得：．
当时，．∴；
当时，，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程时，若设，则原方程可转化为 ；并求出x
（2）利用换元法解方程：．
【答案】（1），，
（2），
【解析】
【分析】（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果；
（2）设把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．
【小问1详解】
解：设，原方程可变形为：，
∴因式分解为：，
∴或，
∴或，
对于方程，
解得：，，
对于方程，
移项得：，
∵，
∴上述方程无解，
∴原方程的解为：，．
故答案为：．
【小问2详解】
设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即，
解得，，
经检验，是分式方程的根．
∴，
即：，
解得：，．
经检验， 是上述分式方程的根．
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．
25. 如图，正方形的边长为，动点P由点B以的速度沿方向向点D运动，动点Q由点A以的速度沿方向向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为．
（1）连接，当t为何值时，的面积为?
（2）当点P在上运动时，是否存在这样的t值，使得是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）没有符合的t值，使的面积为．
（2）当t为秒或秒时，是以为腰的等腰三角形
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；
（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明．
小问1详解】
解：如图，当点P在上时，此时，
根据题意，得：
∵的面积为，
∴，
∴，
整理，得：，
解得： (舍去)，（舍去）．
如图，当点P在上时，此时，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴没有符合的t值，使的面积为．
【小问2详解】
存在．
如图，当点P在上时，
①当时，可得：
解得：（不合题意，舍去），
②当时，可得：
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），
如图，当点P在上时，此时，
可知：，
∴不存在以为腰的等腰．
∴当t为秒或秒时，是以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，割补法求面积．解题的关键是分类讨论思想的运用．
26. 如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线上方的一个动点（不含A，B两点）

（1）求a，m的值；
（2）连接、，若的面积是的面积的2倍，求点C的坐标．
（3）若直线、分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或
（3）是定值，8
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；
（2）的面积是的面积的2倍，则，即点，进而求解；
（3）求出直线的表达式为：，直线的表达式为：，即可求解．
【小问1详解】
解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
即抛物线的表达式为：，
当时，，即点，即，
故，；
【小问2详解】
延长交轴于点，过点作交轴于点，

设直线的表达式为：，
则，解得：，
即点，即，
的面积是的面积的2倍，
，即点，
，
故直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：或3，
即点或；
【小问3详解】
是定值，理由：
设点，
由点、的坐标得：直线的表达式为：，
当时，，即点，则，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即点，则，
则，为定值．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，面积的计算、平行线的性质等，运用数形结合是解题的关键．x
…
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
|…
0
1
2
3
4
…
…
4
0
1
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9
…
售价（元/件）
130
140
销售量（件/天）
80
60