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新高考数学一轮复习精选讲练专题1.10 二次函数与一元二次方程、不等式（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题1.10 二次函数与一元二次方程、不等式（含解析），共13页。
1．（5分）（2022春•小店区校级月考）若；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】解不等式1和（x﹣1）（3﹣x）≤0，根据两不等式的解集判断p与q的关系．
【解答过程】解：不等式1可化为1＞0，即0，即0，解得0＜x＜1，所以该不等式的解集为（0，1）；
不等式（x﹣1）（3﹣x）≤0可化为（x﹣1）（x﹣3）≥0，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）；
因为（0，1）是（﹣∞，1]∪[3，+∞）的真子集，所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
2．（5分）（2022春•西山区校级期中）已知不等式﹣x2﹣x+6＞0，则该不等式的解集是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2或x＞3}C．{x|x＜﹣3或x＞2}D．{x{﹣3＜x＜2}
【解题思路】一元二次不等式求解即可．
【解答过程】解：﹣x2﹣x+6＞0，即x2+x﹣6＜0，
因式分解为：（x﹣2）（x+3）＜0，
解得：﹣3＜x＜2，
则该不等式的解集为{x|﹣3＜x＜2}．
故选：D．
3．（5分）（2022春•资阳期末）若x∈R，ax2+ax﹣1＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0）B．（﹣4，0]C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]
【解题思路】利用一元二次不等式的性质、解法直接求解．
【解答过程】解：∵x∈R，ax2+ax﹣1＜0，
∴a＝0或，
解得﹣4＜a≤0，
∴实数a的取值范围是（﹣4，0]．
故选：B．
4．（5分）（2022春•池州期末）已知2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），则k+m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【解题思路】依题意可得x＝﹣1为方程2x2﹣kx+m＝0的根，代入计算可得．
【解答过程】解：∵2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），
∴x＝﹣1为2x2﹣kx+m＝0的根，所以k+m＝﹣2．
故选：B．
5．（5分）（2022春•南充期末）不等式（a﹣2）x2+4（a﹣2）x﹣12＜0的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2）B．（﹣1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣1，2]
【解题思路】当a＝2时，原不等式为﹣12＜0满足夹角为R；当a≠2时，根据一元二次不等式解法可求得a范围，最后可求得正确选项．
【解答过程】解：当a＝2时，原不等式为﹣12＜0满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得，解得a∈（﹣1，2）．
综上，a的取值范围为（﹣1，2]．
故选：B．
6．（5分）（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则ax+b＞0的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可．
【解答过程】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是．则根据对应方程的韦达定理得到：．
解得，
则解集为（﹣∞，）．
故选：A．
7．（5分）（2022春•让胡路区校级期末）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．（6，7]B．[﹣1，0）C．[﹣1，0）∪（6，7]D．[﹣1，7]
【解题思路】讨论m的取值范围，求出不等式的解集，根据解集中恰有3个整数，由此求出m的取值范围．
【解答过程】解：不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0可化为（x﹣3）（x﹣m）＜0，
当m＞3时，不等式的解集为（3，m），
要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；
当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；
当m＜3时，不等式的解集为（m，3），
要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，所以﹣1≤m＜0；
综上知，m的取值范围是{m|﹣1≤m＜0或6＜m≤7}，
即为[﹣1，0）∪（6，7]．
故选：C．
8．（5分）（2021春•百色期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．﹣1＜a≤0D．﹣1＜a＜0
【解题思路】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．
【解答过程】解：1°a＜0时，Δ＝4a2+4a（a+2）＝8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0
2°a＝0时，﹣2＜0成立
综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•锡山区校级期中）下列叙述中正确的是（ ）
A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0
B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件
C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“a＞1”是“”的充分不必要条件
【解题思路】利用一元二次方程的根与判别式之间的关系可判断A的正误，利用充分条件、必要条件及充要条件的概念可判断BCD的正误．
【解答过程】解：对于A，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则Δ＝b2﹣4ac＜0⇔acb2≥0，故A正确；
对于B，若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，则a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，
故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，则a＜0，
故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，若a＞1，则，反之，不可，则“a＞1”是“”的充分不必要条件，故D正确，
故选：AD．
10．（5分）（2021秋•上饶期末）下列关于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集讨论正确的是（ ）
A．当a＝1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为∅
B．当a＞1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为（a，+∞）
C．当a＜1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为{x|x＜a或x＞1}
D．无论a取何值时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集
【解题思路】根据题意，分别求解各选项的解集即可．
【解答过程】解：a＝1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，
所以不等式的解集为{x|x≠1}，选项A错误；
a＞1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜1或x＞a，
所以不等式的解集为（﹣∞，1）∪（a，+∞），选项B错误；
a＜1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜a或x＞1，
所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}，选项C正确；
由选项A、B、C知，无论a取何值，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集，选项D正确．
故选：CD．
11．（5分）（2022春•安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1）
D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．
【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．
B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正确．
C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得1，2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或x＞1，
关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，D正确．
故选：ABD．
12．（5分）（2022春•辽宁期末）已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．不等式cx2+bx+a＜0的解集是
B．的最小值是
C．若有解，则m的取值范围是m＜﹣1或m＞2
D．当c＝2时，f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1的取值范围是[2，4]
【解题思路】根据给定条件，得到b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，解不等式判定A；利用均值定理判断B；利用对勾函数求范围，判断C；探讨二次函数的值域判断D．
【解答过程】解：∵ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），
∴﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，
∴，∴b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，
对于A，不等式cx2+bx+a＜0化为6x2+x﹣1＜0，解得，故A正确；
对于B，b＞0，，
当且仅当，即b时，取等号，故B正确；
对于C，b＞0，令t，则t在t∈（，+∞）上单调递增，
即有，
∵有解，∴，
解得m或m，故C错误；
对于D，当c＝2时，b＝﹣a，则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
f（x）max＝f（1）＝1，
依题意，n1≤1≤n2，由f（x）＝﹣3得x＝﹣1或x＝3，
∵f（x）在[n1，n2]上的最小值为﹣3，
∴n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，
∴2≤n2﹣n1≤4，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•西宁期末）不等式x2+6x+8＞0的解集为 （﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） ．
【解题思路】根据一元二次不等式的解法直接求解．
【解答过程】解：不等式x2+6x+8＞0化为（x+2）（x+4）＞0，∴x＞﹣2或x＜﹣4，
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．
14．（5分）（2022春•福州期末）已知a＞0，若关于x的不等式（x﹣1）2＞（ax）2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是 [，2） ．
【解题思路】本题可将不等式化为同解不等式，然后根据a＝1，0＜a＜1，a＞1三种情况来分类讨论，找到原不等式解集中的2个整数分别为﹣1，0即可．
【解答过程】解：由题意，不等式可转化为（a2﹣1）x2+2x﹣1＜0，
①当a2﹣1＝0，即a＝1时，不等式解集为{x|x}，
很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意，
②当a2﹣1＜0，即0＜a＜1时，
此时Δ＝4+4（a2﹣1）＝4a2，∵0＜a＜1，∴Δ＞0，
则不等式可转化为[（a+1）x﹣1]•[（a﹣1）x+1]＜0，
此时解集为{x|x，或x}，
很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意，
③当a2﹣1＞0，即a＞1时，
此时Δ＝4+4（a2﹣1）＝4a2．∵a＞1，∴Δ＞0，
则不等式可转化为[（a+1）x﹣1]•[（a﹣1）x+1]＜0，
此时解集为{x|x}，
当a＞1时，0，0，
∴原不等式解集中的2个整数分别为﹣1，0，
∴﹣21，解得a＜2．
综上所述，可得实数a的取值范围是[，2）．
故答案为：[，2）．
15．（5分）（2022春•尧都区校级月考）关于实数x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞4}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集是 （﹣∞，）∪（，+∞） ．
【解题思路】根据不等式﹣x2+bx+c＜0的解集求出b、c的值，代入不等式cx2﹣bx﹣1＞0中求解集即可．
【解答过程】解：因为不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞4}，
所以﹣3和4是方程﹣x2+bx+c＝0的解，
所以，
解得b＝1，c＝12，
所以不等式cx2﹣bx﹣1＞0可化为12x2﹣x﹣1＞0，
解得x或x，
则所求不等式的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）．
故答案为：（﹣∞，）∪（，+∞）．
16．（5分）（2022春•青羊区校级期中）若对∀x＞0，关于x的不等式mx2+mx﹣lnx＞x+1恒成立，则整数m的最小值为 2 ．
【解题思路】利用分离常数法可得m在（0，+∞）上恒成立，构造函数，结合函数的单调性及零点判定定理即可求解．
【解答过程】解：对∀x＞0，关于x的不等式mx2+mx﹣lnx＞x+1恒成立，
可得，m（x2+2x）＞2lnx+2x+2在（0，+∞）上恒成立，
因为x2+2x＞0，
所以m在（0，+∞）上恒成立，
令g（x），x＞0，
则g′（x），令h（x）＝x+2lnx，x＞0，
则h′（x）＝10恒成立，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为h（ ）−2ln2＜0，h（1）＝1＞0，
所以∃x0∈（，1）使得x0+2lnx0＝0，
所以当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
所以g（x）max＝g（x0）∈（1，2），
所以m≥2，即整数m的最小值2．
故答案为：2．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春•浙江期中）已知关于x的不等式ax2+bx﹣3＞0（a，b∈R）．
（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值；
（2）若b＝a﹣3，求此不等式的解集．
【解题思路】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出a、b的值．
（2）把b＝a﹣3代入不等式，利用分类讨论法求出不等式的解集．
【解答过程】解：（1）因为不等式ax2+bx﹣3＞0的解集为，
所以﹣1和是方程ax2+bx﹣3＝0的两个实数根，
所以，解得a＝﹣5，b＝﹣8．
（2）b＝a﹣3时，不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，
当a＝0时，解不等式得x＜﹣1；
当a＞0时，不等式化为（x）（x+1）＞0，且1，解不等式得x＜﹣1或x；
当a＜0时，不等式化为（x）（x+1）＜0，
若a＝﹣3，则1，不等式化为（x+1）2＜0，不等式无解；
若﹣3＜a＜0，则1，解不等式得x＜﹣1；
若a＜﹣3，则1，解不等式得﹣1＜x；
综上知，a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；
a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）；
a＝﹣3时，不等式的解集为∅；
﹣3＜a＜0时，不等式的解集为（，﹣1）；
a＜﹣3时，不等式的解集为（﹣1，）．
18．（12分）（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：
（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．
（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．
【解题思路】（1）由题意可是1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，利用韦达定理得以方程组，解得即可；
（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
【解答过程】解：（1）∵关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，
∴，解得．
（2）关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R），
即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，
当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；
当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1，
∴①当a＞0时，，∴原不等式的解集为{x|x或x＜﹣1}；
②当﹣3＜a＜0时，1，∴原不等式的解集为{x|x＜﹣1}；
③当a＝﹣3时，1，∴原不等式的解集为∅；
④当a＜﹣3时，，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x}．
19．（12分）（2021秋•东莞市校级期中）某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）sm和汽车车速xkm/h有如下关系：．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
【解题思路】利用函数关系式，根据在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5m，建立不等式，解不等式即可求得结论．
【解答过程】解：由题设条件应列式为xx2≥22.5，
移项、整理、化简得不等式x2﹣9x﹣405≥0．
∵Δ＞0，∴方程x2﹣9x﹣405＝0有两个实数根x1＝﹣9，x2＝45，
∴不等式的解为{x|x≤﹣9或x≥45}．
在这个实际问题中x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h．
20．（12分）（2022春•金台区期末）设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．对a分类讨论即可解出．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，由x∈[﹣1，1]，可得x﹣2∈[﹣3，﹣1]，可得a＜﹣x+2恒成立．即可得出．
【解答过程】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．
a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2﹣a}；
a＝0时，不等式的解集为{x|x≠2}；
a＜0时，不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜2}．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，
∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2∈[﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立．
易知 （﹣x+2）min＝1，∴a的取值范围为：a＜1．
21．（12分）（2022春•南京期末）已知函数f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x+4．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（1，m），求实数m，k的值；
（2）存在x＞0，使得f（x）＜0成立，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）由题意知，1和m是方程x2﹣2（k﹣1）x+4＝0的两根，再结合韦达定理求解即可；
（2）通过参变分离法，可将原问题转化为存在x∈（0，+∞），使得成立，再结合基本不等式，即可得解．
【解答过程】解：（1）由题意知，1和m是方程x2﹣2（k﹣1）x+4＝0的两根，
所以1+m＝2（k﹣1）且1×m＝4，解得m＝4，．
（2）由f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x+4＜0，且x＞0，得，
故原问题可转化为存在x∈（0，+∞），使得成立，
因为当x∈（0，+∞）时，，当且仅当x＝2时取等号，
所以2（k﹣1）＞4，解得k＞3，
即实数k的取值范围为（3，+∞）．
22．（12分）（2021秋•上蔡县校级月考）已知不等式mx2+2x﹣m+2＜0．
（1）当m＝3时，求不等式解集；
（2）是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，从而即可求出该不等式的解集；
（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，等价于函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象恒在x轴下方，从而分类讨论m＝0和m≠0两种情况即可判断是否存在满足题意的实数m．
【解答过程】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，则解集为（﹣1，），
（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，即函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象在x轴下方．
当m＝0时，2+2x＜0，则x＜﹣1，不满足题意；
当m≠0时，函数y＝mx2+2x﹣m+2为二次函数，其图象需满足开口向下且与x轴没有公共点，
则，不等式组的解集为空集，即m不存在．
综上，不存在这样的实数m使不等式恒成立．
1．（5分）（2022春•小店区校级月考）若；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】解不等式1和（x﹣1）（3﹣x）≤0，根据两不等式的解集判断p与q的关系．
【解答过程】解：不等式1可化为1＞0，即0，即0，解得0＜x＜1，所以该不等式的解集为（0，1）；
不等式（x﹣1）（3﹣x）≤0可化为（x﹣1）（x﹣3）≥0，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）；
因为（0，1）是（﹣∞，1]∪[3，+∞）的真子集，所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
2．（5分）（2022春•西山区校级期中）已知不等式﹣x2﹣x+6＞0，则该不等式的解集是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2或x＞3}C．{x|x＜﹣3或x＞2}D．{x{﹣3＜x＜2}
【解题思路】一元二次不等式求解即可．
【解答过程】解：﹣x2﹣x+6＞0，即x2+x﹣6＜0，
因式分解为：（x﹣2）（x+3）＜0，
解得：﹣3＜x＜2，
则该不等式的解集为{x|﹣3＜x＜2}．
故选：D．
3．（5分）（2022春•资阳期末）若x∈R，ax2+ax﹣1＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0）B．（﹣4，0]C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]
【解题思路】利用一元二次不等式的性质、解法直接求解．
【解答过程】解：∵x∈R，ax2+ax﹣1＜0，
∴a＝0或，
解得﹣4＜a≤0，
∴实数a的取值范围是（﹣4，0]．
故选：B．
4．（5分）（2022春•池州期末）已知2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），则k+m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【解题思路】依题意可得x＝﹣1为方程2x2﹣kx+m＝0的根，代入计算可得．
【解答过程】解：∵2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），
∴x＝﹣1为2x2﹣kx+m＝0的根，所以k+m＝﹣2．
故选：B．
5．（5分）（2022春•南充期末）不等式（a﹣2）x2+4（a﹣2）x﹣12＜0的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2）B．（﹣1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣1，2]
【解题思路】当a＝2时，原不等式为﹣12＜0满足夹角为R；当a≠2时，根据一元二次不等式解法可求得a范围，最后可求得正确选项．
【解答过程】解：当a＝2时，原不等式为﹣12＜0满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得，解得a∈（﹣1，2）．
综上，a的取值范围为（﹣1，2]．
故选：B．
6．（5分）（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则ax+b＞0的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可．
【解答过程】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是．则根据对应方程的韦达定理得到：．
解得，
则解集为（﹣∞，）．
故选：A．
7．（5分）（2022春•让胡路区校级期末）若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．（6，7]B．[﹣1，0）C．[﹣1，0）∪（6，7]D．[﹣1，7]
【解题思路】讨论m的取值范围，求出不等式的解集，根据解集中恰有3个整数，由此求出m的取值范围．
【解答过程】解：不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0可化为（x﹣3）（x﹣m）＜0，
当m＞3时，不等式的解集为（3，m），
要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；
当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；
当m＜3时，不等式的解集为（m，3），
要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，所以﹣1≤m＜0；
综上知，m的取值范围是{m|﹣1≤m＜0或6＜m≤7}，
即为[﹣1，0）∪（6，7]．
故选：C．
8．（5分）（2021春•百色期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．﹣1＜a≤0D．﹣1＜a＜0
【解题思路】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．
【解答过程】解：1°a＜0时，Δ＝4a2+4a（a+2）＝8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0
2°a＝0时，﹣2＜0成立
综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•锡山区校级期中）下列叙述中正确的是（ ）
A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0
B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件
C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“a＞1”是“”的充分不必要条件
【解题思路】利用一元二次方程的根与判别式之间的关系可判断A的正误，利用充分条件、必要条件及充要条件的概念可判断BCD的正误．
【解答过程】解：对于A，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则Δ＝b2﹣4ac＜0⇔acb2≥0，故A正确；
对于B，若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，则a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，
故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，则a＜0，
故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，若a＞1，则，反之，不可，则“a＞1”是“”的充分不必要条件，故D正确，
故选：AD．
10．（5分）（2021秋•上饶期末）下列关于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集讨论正确的是（ ）
A．当a＝1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为∅
B．当a＞1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为（a，+∞）
C．当a＜1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为{x|x＜a或x＞1}
D．无论a取何值时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集
【解题思路】根据题意，分别求解各选项的解集即可．
【解答过程】解：a＝1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，
所以不等式的解集为{x|x≠1}，选项A错误；
a＞1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜1或x＞a，
所以不等式的解集为（﹣∞，1）∪（a，+∞），选项B错误；
a＜1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜a或x＞1，
所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}，选项C正确；
由选项A、B、C知，无论a取何值，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集，选项D正确．
故选：CD．
11．（5分）（2022春•安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1）
D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．
【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．
B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正确．
C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得1，2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或x＞1，
关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，D正确．
故选：ABD．
12．（5分）（2022春•辽宁期末）已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．不等式cx2+bx+a＜0的解集是
B．的最小值是
C．若有解，则m的取值范围是m＜﹣1或m＞2
D．当c＝2时，f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1的取值范围是[2，4]
【解题思路】根据给定条件，得到b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，解不等式判定A；利用均值定理判断B；利用对勾函数求范围，判断C；探讨二次函数的值域判断D．
【解答过程】解：∵ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），
∴﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，
∴，∴b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，
对于A，不等式cx2+bx+a＜0化为6x2+x﹣1＜0，解得，故A正确；
对于B，b＞0，，
当且仅当，即b时，取等号，故B正确；
对于C，b＞0，令t，则t在t∈（，+∞）上单调递增，
即有，
∵有解，∴，
解得m或m，故C错误；
对于D，当c＝2时，b＝﹣a，则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
f（x）max＝f（1）＝1，
依题意，n1≤1≤n2，由f（x）＝﹣3得x＝﹣1或x＝3，
∵f（x）在[n1，n2]上的最小值为﹣3，
∴n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，
∴2≤n2﹣n1≤4，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•西宁期末）不等式x2+6x+8＞0的解集为 （﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） ．
【解题思路】根据一元二次不等式的解法直接求解．
【解答过程】解：不等式x2+6x+8＞0化为（x+2）（x+4）＞0，∴x＞﹣2或x＜﹣4，
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．
14．（5分）（2022春•福州期末）已知a＞0，若关于x的不等式（x﹣1）2＞（ax）2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是 [，2） ．
【解题思路】本题可将不等式化为同解不等式，然后根据a＝1，0＜a＜1，a＞1三种情况来分类讨论，找到原不等式解集中的2个整数分别为﹣1，0即可．
【解答过程】解：由题意，不等式可转化为（a2﹣1）x2+2x﹣1＜0，
①当a2﹣1＝0，即a＝1时，不等式解集为{x|x}，
很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意，
②当a2﹣1＜0，即0＜a＜1时，
此时Δ＝4+4（a2﹣1）＝4a2，∵0＜a＜1，∴Δ＞0，
则不等式可转化为[（a+1）x﹣1]•[（a﹣1）x+1]＜0，
此时解集为{x|x，或x}，
很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意，
③当a2﹣1＞0，即a＞1时，
此时Δ＝4+4（a2﹣1）＝4a2．∵a＞1，∴Δ＞0，
则不等式可转化为[（a+1）x﹣1]•[（a﹣1）x+1]＜0，
此时解集为{x|x}，
当a＞1时，0，0，
∴原不等式解集中的2个整数分别为﹣1，0，
∴﹣21，解得a＜2．
综上所述，可得实数a的取值范围是[，2）．
故答案为：[，2）．
15．（5分）（2022春•尧都区校级月考）关于实数x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞4}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集是 （﹣∞，）∪（，+∞） ．
【解题思路】根据不等式﹣x2+bx+c＜0的解集求出b、c的值，代入不等式cx2﹣bx﹣1＞0中求解集即可．
【解答过程】解：因为不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞4}，
所以﹣3和4是方程﹣x2+bx+c＝0的解，
所以，
解得b＝1，c＝12，
所以不等式cx2﹣bx﹣1＞0可化为12x2﹣x﹣1＞0，
解得x或x，
则所求不等式的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）．
故答案为：（﹣∞，）∪（，+∞）．
16．（5分）（2022春•青羊区校级期中）若对∀x＞0，关于x的不等式mx2+mx﹣lnx＞x+1恒成立，则整数m的最小值为 2 ．
【解题思路】利用分离常数法可得m在（0，+∞）上恒成立，构造函数，结合函数的单调性及零点判定定理即可求解．
【解答过程】解：对∀x＞0，关于x的不等式mx2+mx﹣lnx＞x+1恒成立，
可得，m（x2+2x）＞2lnx+2x+2在（0，+∞）上恒成立，
因为x2+2x＞0，
所以m在（0，+∞）上恒成立，
令g（x），x＞0，
则g′（x），令h（x）＝x+2lnx，x＞0，
则h′（x）＝10恒成立，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为h（ ）−2ln2＜0，h（1）＝1＞0，
所以∃x0∈（，1）使得x0+2lnx0＝0，
所以当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
所以g（x）max＝g（x0）∈（1，2），
所以m≥2，即整数m的最小值2．
故答案为：2．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春•浙江期中）已知关于x的不等式ax2+bx﹣3＞0（a，b∈R）．
（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值；
（2）若b＝a﹣3，求此不等式的解集．
【解题思路】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出a、b的值．
（2）把b＝a﹣3代入不等式，利用分类讨论法求出不等式的解集．
【解答过程】解：（1）因为不等式ax2+bx﹣3＞0的解集为，
所以﹣1和是方程ax2+bx﹣3＝0的两个实数根，
所以，解得a＝﹣5，b＝﹣8．
（2）b＝a﹣3时，不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，
当a＝0时，解不等式得x＜﹣1；
当a＞0时，不等式化为（x）（x+1）＞0，且1，解不等式得x＜﹣1或x；
当a＜0时，不等式化为（x）（x+1）＜0，
若a＝﹣3，则1，不等式化为（x+1）2＜0，不等式无解；
若﹣3＜a＜0，则1，解不等式得x＜﹣1；
若a＜﹣3，则1，解不等式得﹣1＜x；
综上知，a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；
a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）；
a＝﹣3时，不等式的解集为∅；
﹣3＜a＜0时，不等式的解集为（，﹣1）；
a＜﹣3时，不等式的解集为（﹣1，）．
18．（12分）（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：
（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．
（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．
【解题思路】（1）由题意可是1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，利用韦达定理得以方程组，解得即可；
（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
【解答过程】解：（1）∵关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，
∴，解得．
（2）关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R），
即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，
当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；
当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1，
∴①当a＞0时，，∴原不等式的解集为{x|x或x＜﹣1}；
②当﹣3＜a＜0时，1，∴原不等式的解集为{x|x＜﹣1}；
③当a＝﹣3时，1，∴原不等式的解集为∅；
④当a＜﹣3时，，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x}．
19．（12分）（2021秋•东莞市校级期中）某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）sm和汽车车速xkm/h有如下关系：．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
【解题思路】利用函数关系式，根据在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5m，建立不等式，解不等式即可求得结论．
【解答过程】解：由题设条件应列式为xx2≥22.5，
移项、整理、化简得不等式x2﹣9x﹣405≥0．
∵Δ＞0，∴方程x2﹣9x﹣405＝0有两个实数根x1＝﹣9，x2＝45，
∴不等式的解为{x|x≤﹣9或x≥45}．
在这个实际问题中x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h．
20．（12分）（2022春•金台区期末）设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．对a分类讨论即可解出．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，由x∈[﹣1，1]，可得x﹣2∈[﹣3，﹣1]，可得a＜﹣x+2恒成立．即可得出．
【解答过程】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．
a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2﹣a}；
a＝0时，不等式的解集为{x|x≠2}；
a＜0时，不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜2}．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，
∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2∈[﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立．
易知 （﹣x+2）min＝1，∴a的取值范围为：a＜1．
21．（12分）（2022春•南京期末）已知函数f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x+4．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（1，m），求实数m，k的值；
（2）存在x＞0，使得f（x）＜0成立，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）由题意知，1和m是方程x2﹣2（k﹣1）x+4＝0的两根，再结合韦达定理求解即可；
（2）通过参变分离法，可将原问题转化为存在x∈（0，+∞），使得成立，再结合基本不等式，即可得解．
【解答过程】解：（1）由题意知，1和m是方程x2﹣2（k﹣1）x+4＝0的两根，
所以1+m＝2（k﹣1）且1×m＝4，解得m＝4，．
（2）由f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x+4＜0，且x＞0，得，
故原问题可转化为存在x∈（0，+∞），使得成立，
因为当x∈（0，+∞）时，，当且仅当x＝2时取等号，
所以2（k﹣1）＞4，解得k＞3，
即实数k的取值范围为（3，+∞）．
22．（12分）（2021秋•上蔡县校级月考）已知不等式mx2+2x﹣m+2＜0．
（1）当m＝3时，求不等式解集；
（2）是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，从而即可求出该不等式的解集；
（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，等价于函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象恒在x轴下方，从而分类讨论m＝0和m≠0两种情况即可判断是否存在满足题意的实数m．
【解答过程】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，则解集为（﹣1，），
（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，即函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象在x轴下方．
当m＝0时，2+2x＜0，则x＜﹣1，不满足题意；
当m≠0时，函数y＝mx2+2x﹣m+2为二次函数，其图象需满足开口向下且与x轴没有公共点，
则，不等式组的解集为空集，即m不存在．
综上，不存在这样的实数m使不等式恒成立．
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