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    新高考数学一轮复习精选讲练专题2.1 函数的概念及其表示(含解析)

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    这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题2.1 函数的概念及其表示(含解析),共14页。试卷主要包含了函数,函数的相等,函数的表示法,分段函数,抽象函数与复合函数等内容,欢迎下载使用。


    1.函数
    2.函数的相等
    同一函数:只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
    3.函数的表示法
    函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
    (1)解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;
    (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系;
    (3)图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
    4.分段函数
    若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
    5.抽象函数与复合函数
    (1)抽象函数的概念:没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数.
    (2)复合函数的概念:若函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当C SKIPIF 1 < 0 A时,称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数,其中t叫做中间变量,t=g(x)叫做内层函数,y=f(t)叫做外层函数.
    【题型1 函数的概念】
    【方法点拨】
    (1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以
    “多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
    (2)构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同.
    【例1】(2022春•三明期末)已知集合A={x|﹣2<x≤1},B={y|0<y≤4},则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是( )
    A.f:x→y=x+1B.f:x→y=exC.f:x→y=x2D.f:x→y=|x|
    【解题思路】结合函数的值域和定义域之间的关系,根据函数的定义分别进行判断即可.
    【解答过程】解:A,当x时,y,则集合B中没有元素和x对应,不是从集合A到集合B的函数,∴A错误,
    B,∵﹣2<x≤1,∴y=ex∈(,e]⫋(0,4],满足函数的定义,是从集合A到集合B的函数,∴B正确,
    C,当x=0时,y=0,则集合B中没有元素和x对应,不是从集合A到集合B的函数,∴C错误,
    D,当x=0时,y=0,则集合B中没有元素和x对应,不是从集合A到集合B的函数,∴D错误,
    故选:B.
    【变式1-1】(2022春•兴庆区校级期末)设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
    A.①②③④B.①②③C.②③D.②
    【解题思路】根据题意,由函数的定义,在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和它对应,进而可以得到答案.
    【解答过程】解:根据题意,依次分析4个图形,
    对于①,其定义域为{x|0≤x≤1},不符合题意,
    对于②,符合题意,
    对于③,符合题意,
    对于④,集合M中有的元素在集合N中对应两个值,不符合函数定义,
    故选:C.
    【变式1-2】(2021春•九龙坡区期末)设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},图中表示A到B的函数的是( )
    A.B.
    C.D.
    【解题思路】根据函数的定义,举反例,一一判断即可.
    【解答过程】解:对于A,B均有函数值不在集合B内;对于C,它是一对多,不是函数的图象.
    故选:D.
    【变式1-3】(2021秋•锡山区校级期中)下列各式中,表示y是x的函数的有( )
    ①y=x﹣(x﹣3);
    ②;
    ③;
    ④.
    A.4个B.3个C.2个D.1个
    【解题思路】根据函数的定义即可判断.
    【解答过程】解:根据函数的定义,当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值,y都有唯一确定的值与之对应,故①④表示y是x的函数,
    在②中由,知x∈∅,因为函数定义域不能是空集,所以②不表示y是x的函数,
    在③中,当x=0时,y对应的两个值,故不表示y是x的函数,
    故选:C.
    【题型2 函数的定义域问题】
    【方法点拨】
    ①根据解析式有意义的条件,列出关于自变量的不等式(组),即可求解,把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式.
    ②已知函数的定义域求参数,结合解析式有意义的条件,列出关于参数的关系式,即可得解.
    【例2】(2022春•兴庆区校级期末)函数的定义域为( )
    A.{x|x>﹣1且x≠0}B.{x|x≥﹣1}C.{x|x≥﹣1且x≠0}D.{x|x>﹣1}
    【解题思路】可看出,要使得原函数有意义,需满足,然后解出x的范围即可.
    【解答过程】解:要使原函数有意义,则:,解得x≥﹣1,且x≠0,
    ∴原函数的定义域为:{x|x≥﹣1且x≠0}.
    故选:C.
    【变式2-1】(2022春•玉林期末)已知函数f(x)的定义域为(3,5),则函数f(2x+1)的定义域为( )
    A.(1,2)B.(7,11)C.(4,16)D.(3,5)
    【解题思路】根据复合函数的定义域之间的关系进行转化求解即可.
    【解答过程】解:∵f(x)的定义域为(3,5),
    ∴3<x<5,
    由3<2x+1<5,得1<x<2,
    则函数f(2x+1)的定义域为(1,2),
    故选:A.
    【变式2-2】(2022春•渭滨区期末)若函数的定义域为R,则a的范围是( )
    A.[0,4]B.[0,4)C.(0,4]D.(0,4)
    【解题思路】由题意,ax2+ax+1≥0恒成立.再利用二次函数的性质,分类讨论,求出a的范围.
    【解答过程】解:∵函数的定义域为R,∴ax2+ax+1≥0恒成立.
    当a=0时,显然满足ax2+ax+1≥0恒成立.
    当a<0时,ax2+ax+1≥0不可能恒成立,
    当a>0时,应有Δ=a2﹣4a≤0,求得0<a≤4.
    综上可得,a∈[0,4],
    故选:A.
    【变式2-3】(2022春•让胡路区校级期末)已知函数f(x)的定义域为(﹣2,2),则函数的定义域为( )
    A.{x|0<x<4}B.{x|﹣4<x<10}C.{x|﹣1<x<1}D.{x|0<x<1}
    【解题思路】由f(x)的定义域求得f(2x)的定义域,再由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式,取交集得答案.
    【解答过程】解:∵函数f(x)的定义域为(﹣2,2),
    ∴由﹣2<2x<2,得﹣1<x<1,即f(2x)的定义域为(﹣1,1),
    又1﹣lgx≥0,∴0<x≤10,
    则g(x)的定义域为{x|0<x<1}.
    故选:D.
    【题型3 函数的值域问题】
    【方法点拨】
    ①已知函数解析式求值域,观察所给解析式,先得出函数的定义域,在由函数解析式求解;
    ②已知函数值域求参数问题时,将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题,然后来确定参数的值或取值范围.
    【例3】(2022春•兴庆区校级期末)函数的值域是( )
    A.[2,+∞)B.C.[0,+∞)D.(2,+∞)
    【解题思路】先求函数定义域,再判断函数单调性,再求值域.
    【解答过程】解:的定义域为x≥2,
    函数y=x在[2,+∞)上为单调递增函数,
    函数y在[2,+∞)上为单调递增函数,
    ∴在[2,+∞)上为单调递增函数,
    ∴当x=2是f(x)取得最小值2,
    ∴f(x)的值域为[2,+∞).
    故选:A.
    【变式3-1】(2022春•定南县校级月考)函数的值域为( )
    A.B.C.D.
    【解题思路】先进行换元,然后结合二次函数的性质可求.
    【解答过程】解:令t,则x=t2+1,t≥0,
    2t2+2﹣t=2(t)2,
    根据二次函数的性质可知,当t时,函数取得最小值,即y.
    故选:D.
    【变式3-2】(2021秋•鞍山期末)若函数的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.[0,+∞)
    【解题思路】因为42x+a,再利用函数的值域建立不等式关系即可求解.
    【解答过程】解:因为42x+a,
    又因为函数f(x)的值域为[0,+∞),
    所以a0,则a
    故选:C.
    【变式3-3】(2022春•金华期末)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的关兴,用其名字命名的“高斯函数“:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也称取整函数,例如:[﹣1.3]=﹣2,[3.4]=3,已知,则函数y=[f(x)]的值域为( )
    A.{0}B.{﹣1,0}C.{0,1}D.{﹣1,0,1}
    【解题思路】先化简f(x)的解析式,利用不等式的性质,求出函数f(x)的值域,可得函数y=[f(x)]的值域.
    【解答过程】解:∵f(x),3x∈(0,+∞),∴令t=3x>0,则f(x)=g(t)∈(,)
    故函数y=[f(x)]=[g(t)]的值域为{﹣1,0},
    故选:B.
    【题型4 求函数的解析式(待定系数法)】
    【方法点拨】
    待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等),可用待定系数法.
    【例4】(2021秋•蚌山区校级期中)已知f(x)是二次函数,且f(﹣1)=4,f(0)=1,f(3)=4.
    (1)求f(x)的解析式.
    (2)若x∈[﹣1,5],求函数f(x)的值域.
    【解题思路】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,由题意可得abc的方程组,解方程组可得;
    (2)由(1)可得f(x)在x∈[﹣1,1]单调递减,在x∈[1,5]单调递增,由二次函数的性质可得.
    【解答过程】解:(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,
    由题意可得f(﹣1)=a﹣b+c=4,f(0)=c=1,f(3)=9a+3b+c=4,
    联立解得a=1,b=﹣2,c=1,∴f(x)=x2﹣2x+1;
    (2)由(1)可得f(x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
    在x∈[﹣1,1]单调递减,在x∈[1,5]单调递增,
    ∴当x=1时,函数取最小值f(1)=0;
    当x=5时,函数取最小值f(5)=16,
    ∴函数f(x)的值域为:[0,16].
    【变式4-1】(2022春•桃源县月考)若指数函数f(x)的图像过点A(2,9).
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)当x∈[﹣2,3]时,求函数f(x)的值域.
    【解题思路】(1)由题意,利用待定系数法求出指数函数的解析式.
    (2)由题意,结合函数的单调性求出函数f(x)的值域.
    【解答过程】解:(1)设指数函数为f(x)=ax(a>0,a≠1),
    ∵它的图像过点A(2,9),
    ∴a2=9,∴a=3,∴函数f(x)=3x.
    (2)当x∈[﹣2,3]时,3x∈[,27],
    故函数f(x)的值域为[,27].
    【变式4-2】(2020秋•松山区校级期末)已知函数f(x),f(1)=1,f(2)=5.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)求函数f(x)在[﹣1,]上的值域.
    【解题思路】(1)根据f(1)=1,f(2)=5即可求出a=3,b=1,从而得出;
    (2)容易判断在上是增函数,从而求出即可得出f(x)在上的值域.
    【解答过程】解:(1)∵f(1)=1,f(2)=5;
    ∴;
    解得a=3,b=1;

    (2)在上单调递增;

    ∴f(x)在上的值域为.
    【变式4-3】(2021秋•武平县校级月考)已知二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x且f(0)=1.
    (Ⅰ)求f(x)的解析式;
    (Ⅱ)在区间[﹣1,1]上求y=f(x)的值域.
    【解题思路】(Ⅰ)用待定系数法,设二次函数f(x)的一般式,由f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x,可以求出f(x)的解析式;
    (Ⅱ)二次函数y=f(x)在闭区间上有最小、最大值,求出即得值域.
    【解答过程】解:(Ⅰ)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=1,∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1;
    又∵f(x+1)﹣f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]﹣[ax2+bx+1]=2ax+a+b=2x,
    ∴2a=2且a+b=0,
    ∴a=1,b=﹣1;
    ∴f(x)=x2﹣x+1.
    (Ⅱ)∵y=f(x)=x2﹣x+1
    在区间[﹣1,1]上,当x时,函数f(x)有最小值ymin;当x=﹣1时,函数f(x)有最大值ymax=3;
    ∴y=f(x)在区间[﹣1,1]上的值域是.
    【题型5 求函数的解析式(换元法)】
    【方法点拨】
    换元法:主要用于解决已知复合函数f (g(x))的解析式,求解函数f (x)的解析式的问题,先令g(x)=t解出x及用含t的代数式表示x,然后带入f (x)中即可求得f (t),从而求得f (x),要注意新元的取值范围.
    【例5】(2020秋•南康区校级月考)已知函数f(x)满足.
    (1)求f(x)的解析式;
    (2)求函数的值域.
    【解题思路】(1)可令,从而得出x=﹣2t+1,然后即可得出f(x)=﹣2x+1;
    (2)先得出,然后令(t≥0),然后即可得出,配方即可求出原函数的值域.
    【解答过程】解:(1)令,则x=﹣2t+1,
    ∴f(t)=﹣2t+1,即f(x)=﹣2x+1;

    设,则t≥0,且,得,
    ∵t≥0,∴,
    ∴该函数的值域为.
    【变式5-1】(2021秋•太和县校级月考)(1)已知函数y=f(x)满足f(x)=2f()+x,求f(x)的解析式;
    (2)求函数y=3x的值域.
    【解题思路】(1)在已知方程中将x换成得f()=2f(x),两个方程联立消去f()可得f(x);
    (2)换元法,令t,则t2=1﹣3x,变成关于t的二次函数求值域.
    【解答过程】解:(1)由f(x)=2f()+x得f()=2f(x)
    联立上两式可求得f(x);
    (2)令t,
    则t2=1﹣3x,x,
    ∴原函数可化为y=3•t=﹣t2+t+1=﹣(t)2
    又∵t≥0,∴y
    ∴函数y=3x的值域为(﹣∞,].
    【变式5-2】(2020秋•遵义期中)已知函数f(x)满足f(2x+2)=3+lg2(x+1).
    (1)求f(x)的解析式;
    (2)若f(x)的定义域为[1,8],求函数g(x)=f2(x)﹣3f(2x)的值域.
    【解题思路】(1)采用换元法,令2x+2=t,即可得解;
    (2)易得g(x)的定义域为[1,4],结合(1)中的结论和对数的运算法则,可得g(x)的解析式,再由二次函数的性质即可得解.
    【解答过程】解:(1)令2x+2=t,则,
    所以,
    故f(x)的解析式为f(x)=2+lg2x.
    (2)由2x∈[1,8],得,
    又x∈[1,8],所以g(x)的定义域为[1,4].
    g(x)=f2(x)﹣3f(2x)
    =(2+lg2x)2﹣3(2+lg22x)
    =(2+lg2x)2﹣3(3+lg2x)
    lg2x﹣5,
    因为x∈[1,4],所以lg2x∈[0,2],
    因为函数y=x2+x﹣5在[0,2]上单调递增,
    所以g(x)的值域为[﹣5,1].
    【变式5-3】(2021秋•翠屏区校级期中)已知函数,函数
    (1)求函数f(x)的解析式,并写出其定义域.
    (2)求函数g(x)的值域.
    【解题思路】(1)令,求得x,代入原函数解析式,得到f(t),则函数解析式可求;
    (2)令,则x=t2﹣2,代入原函数解析式,得到关于t的一元二次函数,求其最小值,则函数g(x)的值域可求.
    【解答过程】解:(1)令,
    则x=(t﹣2)2,
    ∴,t>2.
    ∴,其定义域为(2,+∞);
    (2)令,则x=t2﹣2,
    ∴y=1﹣2(t2﹣2)+t=﹣2t2+t+5,t≥0.
    当时,y的最大值为,
    ∴原函数的值域为.
    【题型6 分段函数的求值问题】
    【方法点拨】
    ①求函数值:当出现f (f (a))的形式时,应从内到外依次求值.
    ②求自变量或求参:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值或含参的代数式,切记要代入检验.
    【例6】(2021秋•香坊区校级期中)已知函数,则的值为( )
    A.B.C.D.
    【解题思路】由已知中函数,先求出值,进而代入可求出的值.
    【解答过程】解:∵已知函数,

    1
    故选:B.
    【变式6-1】(2021秋•泸州期末)函数在[4,6]上的值域为( )
    A.[﹣1,1]B.[﹣2,2]C.[﹣4,4]D.[﹣8,8]
    【解题思路】根据x的取值代入分段函数表达式,从而求得.
    【解答过程】解:①当x=6时,
    f(6)=2f(4)=4f(2)=8f(0)=0,
    ②当4≤x<6时,
    f(x)=2f(x﹣2)=4f(x﹣4)=4sinπ(x﹣4),
    故﹣4≤f(x)≤4,
    故函数的值域为[﹣4,4].
    故选:C.
    【变式6-2】(2022春•祥云县期末)已知函数y,若f(a)=10,则a的值是( )
    A.3或﹣3B.﹣3或5C.﹣3D.3或﹣3或5
    【解题思路】结合题意,需要对a进行分类讨论,若a≤0,则f(a)=1+a2;若a>0,则f(a)=2a,从而可求a
    【解答过程】解:若a≤0,则f(a)=a2+1=10
    ∴a=﹣3(a=3舍去)
    若a>0,则f(a)=2a=10
    ∴a=5
    综上可得,a=5或a=﹣3
    故选:B.
    【变式6-3】(2022•宜宾模拟)若函数的值域为[﹣3,+∞),则a的取值范围是( )
    A.[﹣e3,0)B.C.D.
    【解题思路】由已知结合对数函数,二次函数先求出每段函数的值域,然后结合分段函数的值域可求.
    【解答过程】解:当0≤x≤3时,f(x)=﹣x2+2x∈[﹣3,1],
    当a≤x<0时,f(x)=﹣ln(﹣x)≥﹣ln(﹣a),
    因为的值域为[﹣3,+∞),
    所以﹣3≤﹣ln(﹣a)≤1,
    故﹣1≤ln(﹣a)≤3,
    解得﹣e3≤a.
    故选:C. 函数
    两个集合A,B
    设A,B是两个非空数集
    对应关系f:A→B
    如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应
    名称
    称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
    函数记法
    函数y=f (x),x∈A
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