新高考数学一轮复习精选讲练专题4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（含解析），共12页。试卷主要包含了任意角，象限角与终边相同的角，角度制、弧度制的概念，角度与弧度的换算，弧长公式、扇形面积公式，任意角的三角函数，三角函数的定义域和函数值的符号等内容，欢迎下载使用。


1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角 SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”或“AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 终边相同，则它们的关系为：将角 SKIPIF 1 < 0 的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角 SKIPIF 1 < 0 .
一般地，我们有：所有与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角，连同角 SKIPIF 1 < 0 在内，可构成一个集合
SKIPIF 1 < 0 ，即任一与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角，都可以表示成角 SKIPIF 1 < 0 与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
③轴线角的集合表示

3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的 SKIPIF 1 < 0 .这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
(3)弧度数
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 rad，那么 SKIPIF 1 < 0 .其中， SKIPIF 1 < 0 的正负由角 SKIPIF 1 < 0 的终边的旋
转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
4．角度与弧度的换算
(1)弧度与角度的换算公式
(2)用弧度表示终边相同的角
用弧度表示与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角的一般形式为 SKIPIF 1 < 0 ，这些角所组成的集合为
SKIPIF 1 < 0 .
5．弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(1)弧长公式
由公式 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)扇形面积公式
SKIPIF 1 < 0 .
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
6．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设 SKIPIF 1 < 0 是一个任意角， SKIPIF 1 < 0 ∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做 SKIPIF 1 < 0 的正弦函数，记作 SKIPIF 1 < 0 ，即y= SKIPIF 1 < 0 ；
②把点P的横坐标x叫做 SKIPIF 1 < 0 的余弦函数，记作 SKIPIF 1 < 0 ，即x= SKIPIF 1 < 0 ；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的正切，记作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设 SKIPIF 1 < 0 是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离
为r.则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .

7．三角函数的定义域和函数值的符号
(1)三角函数的定义域
(2)三角函数值在各象限的符号
由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知
①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；
②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；
③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.
因此，正弦函数( SKIPIF 1 < 0 )、余弦函数( SKIPIF 1 < 0 )、正切函数( SKIPIF 1 < 0 )的值在各个象限内的符号如图所示.
【题型1 象限角及终边相同的角】
【方法点拨】
(1)象限角的判定：判断角 SKIPIF 1 < 0 是第几象限角的常用方法为将 SKIPIF 1 < 0 写成 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 范围内）的形式，观察角 SKIPIF 1 < 0 的终边所在的象限即可.
(2)终边相同的角的表示：根据与角 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角的集合为 SKIPIF 1 < 0 ，进行求解即可．
【例1】（2021秋•惠农区校级期末）集合{α|k•180°+45°≤α≤k•180°+90°，k∈Z}中的角α的终边在图中的位置（阴影部分）是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先看当k取偶数时，角的终边所在的象限，再看当k取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范围取并集．
【解答过程】解：当k取偶数时，比如k＝0时，45°≤α≤90°，故角的终边在第一象限．
当k取奇数时，比如k＝1时，225°≤α≤270°，故角的终边在第三象限．
故选：C．
【变式1-1】（2022春•莲湖区期末）若角2α与240°角的终边相同，则α等于（ ）
A．120°+k•180°，k∈ZB．120°+k•360°，k∈Z
C．240°+k•360°，k∈ZD．240°+k•180°，k∈Z
【解题思路】根据终边相同的角的集合表示方法，即可得解．
【解答过程】解：因为角2α与240°角的终边相同，
所以2α＝240°+k•360°，k∈Z，
所以α＝120°+k•180°，k∈Z．
故选：A．
【变式1-2】（2021春•焦作期中）已知角α的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据题意，由终边相同的角的表示方法可得120°•k+100°，（k∈Z），由此按k的值分情况讨论，分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，角α的终边与300°角的终边重合，则α＝360°•k+300，（k∈Z），
则120°•k+100°，（k∈Z）
当k＝3n，在第二象限；
当k＝3n+1，在第三象限；
当k＝3n+2，在第四象限；
则的终边不可能在第一象限，
故选：A．
【变式1-3】（2022春•宝鸡期末）若角α的终边在y轴的负半轴上，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．y轴的正半轴上D．x轴的负半轴上
【解题思路】根据正角负角的概念，象限角的概念即可求解．
【解答过程】解：∵若角α的终边在y轴的负半轴上，
∴的终边在第一象限．
故选：A．
【题型2 弧度制及其应用】
【方法点拨】
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【例2】（2022春•印台区校级期末）已知扇形的圆心角为120°，面积为，则该扇形所在圆的半径为（ ）
A．1B．2C．D．
【解题思路】利用扇形的面积公式，即可直接解出．
【解答过程】解：设扇形所在圆的半径为r，120°，
∴Sr2，
∴r＝2，
故选：B．
【变式2-1】（2022春•滨州期末）若扇形的周长为12cm，面积为8cm2，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4B．1或2C．2或4D．1或5
【解题思路】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α求出扇形圆心角的弧度数．
【解答过程】解：设扇形的弧长为l，半径为r，则2r+l＝12，①
∵S扇形lr＝8，②
解①②得：r＝4，l＝4或者r＝2，l＝8，
∴扇形的圆心角的弧度数是：1；或4．
故选：A．
【变式2-2】（2022春•唐河县校级月考）如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4，则弓形的面积是（ ）
A．π﹣4B．4C．4D．2
【解题思路】利用题中的条件解出弓形所在圆的半径，进而即可解出．
【解答过程】解：设弓形所在圆的半径为r，
∴sin，
∴r＝4，
弓形所在的扇形面积为：S142；
正三角形的面积为：S242＝4；
所以弓形的面积为：S＝S1﹣S2，
故选：C．
【变式2-3】（2022春•河南月考）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0﹣07”，478密位写成“4﹣78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12﹣50，则该扇形的面积为（ ）
A．B．2πC．D．
【解题思路】直接利用扇形的面积公式的应用求出结果．
【解答过程】解：由于，
所以．
故选：A．
【题型3 任意角的三角函数的定义】
【方法点拨】
任意角的三角函数的定义的应用
(1)直接利用任意角的三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这
个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过任意角的三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
【例3】（2022春•西城区校级期末）若点M（，1）在角α的终边上，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直接利用任意角的三角函数的定义直接求出tanα即可．
【解答过程】解：点M（，1）是角α终边上一点，
由任意角的三角函数的定义可知tanα，
故选：B．
【变式3-1】（2022春•富平县期末）已知P（﹣2，y）是角θ终边上一点，且，则y的值是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得y的值．
【解答过程】解：∵点P（﹣2，y）是角θ终边上一点，且，
∴y，
故选：D．
【变式3-2】（2022春•丽水期末）已知角α的终边经过点P（﹣1，m），且sinα，则tanα的值是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由正弦函数的定义求得m，再由正切函数的定义得答案．
【解答过程】解：∵角α的终边经过点P（﹣1，m），∴|OP|，
则sinα，解得m，
∴tanα＝﹣m．
故选：B．
【变式3-3】（2022春•丹东期末）平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点O，始边是x轴的非负半轴，终边经过点P（m，1），若tanα＝﹣2，则m＝（ ）
A．﹣2B．C．D．2
【解题思路】直接利用三角函数的定义的应用建立方程，进一步求出m的值．
【解答过程】解：终边经过点P（m，1），若tanα＝﹣2，
所以，
解得：m；
故选：B．
【题型4 三角函数值符号的判定】
【方法点拨】
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限
的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【例4】（2022春•陈仓区期末）已知α为第二象限角，则（ ）
A．sinα＜0B．tanα＞0C．csα＜0D．sinαcsα＞0
【解题思路】根据三角函数值在各象限的符号直接判断．
【解答过程】解：∵α为第二象限角，
∴sinα＞0，csα＜0，tanα＜0，
故选：C．
【变式4-1】（2022春•宿州期中）下列各式的符号为正的是（ ）
A．cs3B．
C．sin2﹣cs2D．
【解题思路】直接利用三角函数值的符号得答案．
【解答过程】解：∵3＜π，∴cs3＜0；
0；
∵2＜π，∴sin2＞0，cs2＜0，sin2﹣cs2＞0；
∵π，∴tan0．
故选：C．
【变式4-2】（2022春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，若sinα＜csα，且tanα＞1，则α的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】由题意画出图形，取交集得答案．
【解答过程】解：由sinα＜csα，得α，k∈Z．
由tanα＞1，得，k∈Z．
取交集，可得α，k∈Z．
∴α的终边位于第三象限．
故选：C．
【变式4-3】（2022春•海淀区校级月考）已知{x|x，k∈Z}，则函数y的值可能是（ ）
A．1B．﹣4C．4D．﹣2
【解题思路】讨论x在第一象限，x在第二象限，x在第三象限，x在第四象限四种情况分别化简得到答案．
【解答过程】解：{x|x，k∈Z}，当x在第一象限时：y1+1﹣2＝0；
当x在第二象限时：y1﹣1+2＝2；
当x在第三象限时：y1﹣1﹣2＝﹣4；
当x在第四象限时：y1+1+2＝2．
故选：B．