新高考数学一轮复习精选讲练专题4.6 三角恒等变换（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.6 三角恒等变换（含解析），共15页。

1．（5分）（2022•靖远县开学）已知sin（α），则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知利用诱导公式求得csα，再由二倍角的余弦求解．
【解答过程】解：∵sin（α），∴csα，
则cs2α．
故选：C．
2．（5分）（2021秋•新乡期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用二倍角公式进行化简即可．
【解答过程】解：因为，所以，，
所以．
故选：C．
3．（5分）（2022秋•大理市校级月考）若tanα＝3，则的值为（ ）
A．﹣3B．﹣6C．D．
【解题思路】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果．
【解答过程】解：由于tanα＝3，
所以：．
故选：D．
4．（5分）（2022•常熟市校级开学）已知θ为第二象限角，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可得2tan2θ+5tanθ﹣3＝0，由θ为第二象限角，tanθ＜0，解方程可得tanθ的值，进而利用两角和的正切公式即可求解的值．
【解答过程】解：因为，
所以，可得sinθ（csθ+sinθ），
所以，整理可得2tan2θ+5tanθ﹣3＝0，
因为θ为第二象限角，tanθ＜0，
所以解得tanθ＝﹣3，或（舍去），
则．
故选：D．
5．（5分）（2022•武陵区校级开学）已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边过点（2，1），，且，则sinβ＝（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用三角函数的定义求出sinα和csα的值，再结合，可得α+β为第一象限角，sin（α+β），sinβ＝sin[（α+β）﹣α]，利用两角差的正弦公式展开即可求解．
【解答过程】解：因为角α的终边过点（2，1），所以α是第一象限角，
所以sinα，csα，
因为β∈（0，），，所以α+β为第一象限角，，
所以sin（α+β），
所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）csα﹣cs（α+β）sinα．
故选：C．
6．（5分）（2022•宝山区校级开学）已知α、β都是锐角，且3sin2α+2sin2β＝1，3sin2α﹣2sin2β＝0，那么α、β之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】推导出，可得出cs（α+2β）＝0，求出α+2β的取值范围，即可得解．
【解答过程】解：因为3sin2α+2sin2β＝1，则3sin2α＝1﹣2sin2β＝cs2β，
所以，2sin2β＝3sin2α＝6sinαcsα，
因为α、β都是锐角，由题意可得cs2β＝3sin2α＞0，所以，，
所以，csαcs2β﹣sinαsin2β＝cs（α+2β）＝0，
因为α、β都是锐角，则0＜α，且0＜β，则0＜2β＜π，
所以，0＜α+2β，
因此，α+2β．
故选：D．
7．（5分）（2022•武陵区校级开学）已知函数，则f（x）是（ ）
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数
【解题思路】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．
【解答过程】解：∵函数1
sin2xsinsin2x，
∵f（x）是周期为π的奇函数，故A正确而B、C、D错误，
故选：A．
8．（5分）（2022春•湖北月考）设，，，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【解题思路】利用两角差的正弦化简a，再由倍角公式化简b，c，结合正弦函数的单调性得答案．
【解答过程】解：acs10°sin10°＝sin30°cs10°﹣cs30°sin10°＝sin（30°﹣10°）＝sin20°，
sin26°，
sin25°，
∵y＝sinx在（0°，90°）上为增函数，
∴a＜c＜b．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•大连期末）下列各式正确的是（ ）
A．（1+tan1°）（1+tan44°）＝2
B．
C．
D．
【解题思路】A：利用正切的和角公式化简即可判断；B：利用正弦的倍角公式以及辅助角公式化简即可判断；C：利用诱导公式以及余弦的倍角公式化简即可判断；D：利用诱导公式以及正弦的倍角公式和辅助角公式化简即可判断求解．
【解答过程】解：选项A，（1+tan1°）（1+tan44°）＝1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°，
∵tan45°，即tan1°+tan44°+tan1°tan44°＝1，
∴（1+tan1°）（1+tan44°）＝2，故选项A 正确；
选项B：因为4，故B错误，
选项C：因为2，故C正确，
选项D：原式•cs10°
2，故D错误，
故选：AC．
10．（5分）（2022春•钟楼区校级月考）已知α，β满足，且，则（ ）
A．α+β＜πB．
C．β﹣2α＝0D．tan2α+tan2β＞0
【解题思路】根据平方关系求出csα，sinβ，再根据两角和的正弦公式即可判断A；根据两角差的余弦公式即可判断B；根据β﹣2α＝（β﹣α）﹣α结合两角差的正弦公式即可判断C；根据二倍角的正切公式即可判断D．
【解答过程】解：因为，且，
所以，，
则，
所以，故A错误；
由，得0＜β﹣α＜π，，
所以，则，故B正确；
由，，
得，，，
所以β﹣2α＝0，故C正确；
因为，
所以，
故，故D正确．
故选：BCD．
11．（5分）（2021秋•葫芦岛期末）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，则ω的值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】由函数f（x）＝2sin（）平移得到函数g（x）＝2sinωx，然后令ωx＝t，根据x的范围以及正弦函数的性质建立不等式，由此即可求解．
【解答过程】解：因为f（x）＝cs
＝sinωx（1+csωx）2sin（），
则g（x）＝2sin[]＝2sinωx，
令ωx＝t，因为x，则t，
因为函数y＝2sint在[0，]上为单调递增函数，
所以，解得0＜ω≤2，
故选：AB．
12．（5分）（2022春•章丘区校级月考）已知函数的图象为C，以下说法中不正确的是（ ）
A．图象C关于直线对称
B．函数f（x）在区间内是增函数
C．函数f（x）纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到
D．由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
【解题思路】化简可得f（x）sin（2x），根据正弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则逐一判断选项，即可．
【解答过程】解：sin2xsin（2x），
选项A，令2xkπ，k∈Z，则x，k∈Z，
所以图象C的对称轴为x，k∈Z，显然x，即A错误；
选项B，令2x∈[2kπ，2kπ]，k∈Z，则x∈[kπ，kπ]，k∈Z，
因为区间是其子集，所以f（x）在区间内是增函数，即B正确；
选项C，函数f（x）纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到ysin（x），即C错误；
选项D，的图象向右平移个单位长度，得到ycs[2（x）]cs（2x）cs（2x）sin（2x）＝f（x），即D正确．
故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022•黄浦区校级开学）若α∈（0，π），且cs2α＝sin（），则α的值为 或 ．
【解题思路】由已知利用二倍角公式以及两角差的正弦公式可得csα﹣sinα＝0，或csα+sinα，结合范围α∈（0，π），分类讨论即可求解．
【解答过程】解：因为cs2α＝sin（），
所以（csα﹣sinα）（csα+sinα）（csα﹣sinα），
所以csα﹣sinα＝0，或csα+sinα，
又α∈（0，π），
当csα﹣sinα＝0时，可得α，
当csα+sinα时，两边平方，可得1+sin2α，可得sin2α，
由于2α∈（0，2π），可得2α，或，即α，或（经检验，舍去），
综上，则α的值为或．
故答案为：或．
14．（5分）（2022春•南阳月考）已知向量，，，则cs2α＝ ．
【解题思路】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，利用三角恒等变换，计算求得cs2α的值．
【解答过程】解：因为向量，，，
所以 ，
所以，
故答案为：．
15．（5分）（2022春•凭祥市校级月考）求下列各式的值：
（1） ．
（2） ．
【解题思路】（1）利用两角和的正弦公式得出，化简即可求解；
（2）利用两角和的正切公式得出tan25°+tan35°＝tan（25°+35°）（1﹣tan25°tan35°），代入求解即可得出答案
【解答过程】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵tan60°＝tan（25°+35°），
∴tan25°+tan35°（1﹣tan25°tan35°）tan25°tan35°，
∴tan25°+tan35°tan25°tan35°．
故答案为：；．
16．（5分）（2022春•河南月考）已知函数的最小正周期为π，当时，函数g（x）＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 [2，2）． ．
【解题思路】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得f（x）＝2sin（ωx），利用周期公式可求ω的值，可得函数解析式f（x）＝2sin（2x），可求范围2x∈[，]，由题意可得y＝f（x）的图象与直线y＝k恰有两个不同的交点，根据正弦函数的性质即可求解．
【解答过程】解：因为sinωxcsωx2sin（ωx），
又Tπ，
所以ω＝2，
可得f（x）＝2sin（2x），
因为，
所以2x∈[，]，
由g（x）＝f（x）﹣k＝0，可得f（x）＝k，即y＝f（x）的图象与直线y＝k恰有两个不同的交点，
所以2k＜2，可得实数k的取值范围是实数k的取值范围是[2，2）．
故答案为：[2，2）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春•榆阳区校级期末）（1）计算：；
（2）已知tanα＝3．求的值．
【解题思路】（1）由诱导公式及两角差的正弦公式化简求值即可；
（2）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可．
【解答过程】解：（1）；
（2）已知tanα＝3，
则．
18．（12分）（2022春•顺义区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边在第二象限与单位圆交于点P．
（Ⅰ）若点P的横坐标为，求sin（α）的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若将角α的终边OP绕点O逆时针旋转，得到角β（即β＝α），求cs2β的值．
【解题思路】（Ⅰ）由题意，利用三角函数的定义可求csα，sinα的值，进而利用两角和与差的三角函数，计算求解sin（α）．
（Ⅱ）由题可得β＝α，进而利用两角和的余弦函数公式，以及二倍角公式求解即可．
【解答过程】解：（Ⅰ）∵P在单位圆上，且点P的横坐标为，
则csα，sinα，
∴sin（α）＝sinαcsα．
（Ⅱ）由题知β＝α，cs（α）＝csαcssin，
则cs2β＝2cs2（α）﹣1．
19．（12分）（2022春•泉州期末）已知，．
（1）求sinα的值；
（2）若，，求α﹣β的值．
【解题思路】（1）直击雷永三角函数的定义和三角函数关系式中角的恒等变换的应用求出结果；
（2）利用三角函数关系式的角的恒等变换的应用求出结果．
【解答过程】解：（1）由于，所以；
且，所以；
故．
（2）对于，所以sinβ；
故cs；
由（1）得：cs，
故，
由于，，
所以0＜α﹣β＜π，
故．
20．（12分）（2022•湖州开学）已知．
（1）求的值；
（2）若锐角α满足，求sin2α的值．
【解题思路】（1）根据条件，将函数的关系式变形成正弦型函数，再求出三角函数的值；
（2）根据锐角α满足，结合同角三角函数的基本关系和三角恒等变换求解即可．
【解答过程】解：（1）
，
则；
（2），∴，
因为，所以，
又 ，所以，
故．
21．（12分）（2022•浙江开学）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间：
（Ⅱ）已知α，β为锐角，，求csα的值．
【解题思路】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）sin（2x），进而利用正弦函数的单调性即可求解．
（Ⅱ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求csβ，sin（α+β），由α，β为锐角，csβ，可得β，又sin（α+β），可得α+β，利用同角三角函数基本关系式可求cs（α+β），sinβ，进而利用两角差的余弦公式即可求解csα的值．
【解答过程】解：（Ⅰ）f（x）＝（sinxcsx+csx）csx
sinxcsxcs2x
sin2x（1+cs2x）
sin（2x），
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
可得f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）sin[2（）]，
即sin（β），
所以csβ，
又sin[2（）]，
即sin（α+β），所以sin（α+β），
因为α，β为锐角，csβ，
所以β，
又sin（α+β），
所以α+β，
所以cs（α+β），sinβ，
csα＝cs[（α+β）﹣β]＝cs（α+β）csβ+sin（α+β）sinβ＝（）．
22．（12分）（2022春•潍坊期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y＝f（x）﹣k在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）由三角恒等变换化简f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出答案．
（2）函数y＝f（x）﹣k在区间上有且仅有两个零点转化为曲线y＝sin（2x）与直线y＝k在区间上有且仅有两个交点，即可求实数的取值范围．
【解答过程】解：（1）
＝sin2xcscs2xsin2cs（x）sin（x）
sin2xcs2x+sin（2x）
sin2xcs2x+cs2x
sin2xcs2x
＝sin（2x），
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，所以kπ≤xkπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）函数y＝f（x）﹣k在区间上有且仅有两个零点，
即曲线y＝sin（2x）与直线y＝k在区间上有且仅有两个交点，
由x∈，可得2x∈[，2π]，
当x∈时，f（x）＝sin（2x）∈[﹣1，1]，
设t＝2x，则y＝sint，t∈[，2π]，
当k∈（﹣1，）∪（0，1）时，曲线y＝sint与直线y＝k区间t∈[，2π]上有且仅有两个交点．