新高考数学一轮复习精选讲练专题4.11 正弦定理和余弦定理（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选讲练专题4.11 正弦定理和余弦定理（含解析），共23页。试卷主要包含了余弦定理，正弦定理，解三角形，测量问题，对三角形解的个数的研究，三角形的面积公式等内容，欢迎下载使用。


1．余弦定理
(1)余弦定理及其推论的表示
(2)对余弦定理的理解
①余弦定理对任意的三角形都成立.
②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.
③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦
定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.
④余弦定理的另一种常见变式： SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =2bc SKIPIF 1 < 0 A， SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =2ac SKIPIF 1 < 0 B， SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =2ab SKIPIF 1 < 0 C.
2．正弦定理
(1)正弦定理的表示
在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
(2)正弦定理的常见变形
在△ABC中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =k(k>0)，则a=k SKIPIF 1 < 0 A，b=k SKIPIF 1 < 0 B，c=k SKIPIF 1 < 0 C，由此可得
正弦定理的下列变形：
① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，a SKIPIF 1 < 0 B=b SKIPIF 1 < 0 A，a SKIPIF 1 < 0 C=c SKIPIF 1 < 0 A，b SKIPIF 1 < 0 C=c SKIPIF 1 < 0 B；
② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
③a:b:c= SKIPIF 1 < 0 A: SKIPIF 1 < 0 B: SKIPIF 1 < 0 C；
④ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =2R，（R为△ABC外接圆的半径）.
(3)三角形的边角关系
由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.
3．解三角形
(1)解三角形的概念
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个
元素求其他元素的过程叫做解三角形.
(2)余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；
③已知三边，求三角形的三个角.
(3)正弦定理在解三角形中的应用
公式 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 反映了三角形的边角关系.
由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .上述的
每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的边和角，
③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.
4．测量问题
(1)测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
(2)测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
(3)测量角度问题
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
5．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 >1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 =1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 <1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0< SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 <1可得B有两个值，一个大于 SKIPIF 1 < 0 ，一个小于 SKIPIF 1 < 0 ，考虑到“大边对大角”、“三
角形内角和等于 SKIPIF 1 < 0 ”等，此时需进行讨论.
(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：
6．三角形的面积公式
(1)常用的三角形的面积计算公式
① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 c SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为边a,b,c上的高).
②将 SKIPIF 1 < 0 =b SKIPIF 1 < 0 C， SKIPIF 1 < 0 =c SKIPIF 1 < 0 A， SKIPIF 1 < 0 =a SKIPIF 1 < 0 B代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ab SKIPIF 1 < 0 C= SKIPIF 1 < 0 bc SKIPIF 1 < 0 A= SKIPIF 1 < 0 ac SKIPIF 1 < 0 B，即三
角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.
(2)三角形的其他面积公式
① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 r(a+b+c)= SKIPIF 1 < 0 rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.
② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 利用正弦定理解三角形】
【方法点拨】
事实上，所谓解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解三角形时：
(1)由三角形内角和定理A+B+C= SKIPIF 1 < 0 ，可以计算出三角形的第三个角；
(2)由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，可计算出三角形的另两边.
【例1】（2022·江西赣州·高三期中（理））在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】三角形三内角和为，故可求角，利用正弦定理即可求.
【解答过程】因为，所以，
因为，所以．
故选：C.
【变式1-1】（2022·浙江·高一期中）在△中，内角的对边分别是，且，则等于（ ）
A．1B．C．3D．
【解题思路】根据正弦定理，结合已知条件，即可容易求得结果.
【解答过程】在三角形中，
由正弦定理可得：.
故选：A.
【变式1-2】（2022·河南南阳·高三期中（理））在中，，，. 若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用正弦定理得到，再分和两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可判断.
【解答过程】解：由正弦定理，即，所以，
因为只有一解，
若，则，
若显然满足题意，
所以或，所以或，
解得或；
故选：D.
【变式1-3】（2022·河南南阳·高三期中（理））在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得，并利用正弦定理求外接圆半径，即可求得三角形的面积.
【解答过程】由正弦定理可知,,
即
，因为,，
，
根据正弦定理可知，得，
则的外接圆面积.
故选：D.
【题型2 利用余弦定理解三角形】
【方法点拨】
根据具体题目，利用余弦定理或其推论，进行转化求解即可.
【例2】（2023·广东·高三学业考试）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝（ ）
A．B．
C．4D．
【解题思路】利用余弦定理求解即可.
【解答过程】∵A＝60°，b＝2，c＝3，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝4＋9－2×2×3×＝7，
∴a＝．
故选：A.
【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）在中，内角的对边分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】化简已知等式可得，由余弦定理边化角可求得，由此可得.
【解答过程】由得：，
，
，，即，
，又，.
故选：B.
【变式2-2】（2022·安徽省高三阶段练习）在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据，结合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程组可求得.
【解答过程】
在中，；
在中，；
，，又，
，
整理可得：，即，
，；
在中，，
，解得：（舍）或，
.
故选：A.
【变式2-3】（2022·福建省高三阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出、的值，依题意可得为等边三角形，求出，再由余弦定理求出即可；
【解答过程】解：设，
则，
，解得．
因为，所以，又，，所以为等边三角形，
所以，，
由余弦定理，
所以；
故选：B.
【题型3 判断三角形的形状】
【方法点拨】
判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁.
【例3】（2022·江西·高三阶段练习（文））在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形
【解题思路】由两角和的正弦公式结合正弦定理和余弦定理可求出，即可判断的形状.
【解答过程】因为，，
所以，
所以由正余弦定理得，化简得，
所以，
所以为等腰三角形.
故选：B.
【变式3-1】（2022·全国·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【解题思路】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形.
【解答过程】∵，
∴，
由余弦定理可得：，
整理可得：，①
∵，
∴，②
由①②得，
∴该三角形是直角三角形.
故选：A.
【变式3-2】（2022·全国·高一课时练习）在中，（分别为角的对边），则一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【解题思路】根据二倍角公式将已知条件变形，然后利用余弦定理进行边角转化进行判断.
【解答过程】∵，∴，即，
根据余弦定理可得
，整理得，
由勾股定理知，为直角三角形.
故选：B.
【变式3-3】（2022·内蒙古包头·高一期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是钝角三角形
【解题思路】根据正余弦定理中，边角互化即可求解.
【解答过程】对于A:由正弦定理以及得，因为,所以,故是等边三角形，故A对，
对B:由以及正弦定理得：,
由于，因此,或者,即,或者，故为等腰三角形或者直角三角形，故B错误，
对C:由正弦定理得,
由于在中，,因此可得,
由于,故,故C正确，
对于D:由得，故为钝角，因此D正确
故选：B.
【题型4 和三角形面积有关的问题】
【方法点拨】
根据具体条件，结合三角形面积公式，进行转化求解即可.
【例4】（2022·重庆高三阶段练习）已知中，为的角平分线，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据利用三角形面积公式、倍角公式化简整理可得，再求，代入面积公式运算求解.
【解答过程】设
∵，则
即，可得
∵，则
∴，则
故选：B.
【变式4-1】（2022·陕西·高二阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由平方关系求得，再由面积公式计算．
【解答过程】因为，，
所以，
所以．
故选：A．
【变式4-2】（2022·全国·高二开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（ ）
A．24B．25C．27D．28
【解题思路】根的外接圆面积为可得的外接圆半径，再根据，结合正弦定理化简可得，再根据面积公式求解即可.
【解答过程】易知的外接圆半径.由可得，所以，，由，结合正弦定理可得，所以.
故选：D.
【变式4-3】（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且，则（ ）
A．3B．C．6D．
【解题思路】根据正弦定理可得，由三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式可得，由三角形内角的范围可得，再由面积公式即可求解.
【解答过程】由正弦定理及得.
又因为在中，，
所以，整理得.
因为在，，所以，即.
又因为，所以.
又，所以.
故选:A.
【题型5 正、余弦定理在几何图形中的应用】
【方法点拨】
正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在
三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补
或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
【例5】（2022·陕西·高一期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
【解题思路】（1）首先利用正弦定理边化角求出，再结合角的范围，即可求得.
（2）选条件①：首先利用余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求得.
选条件②:首先利用正弦定理求出，再结合三角函数恒等变换求出，再利用三角形面积公式即可求得.
【解答过程】（1）解：（1）因为，由正弦定理．
因为，所以．
又因为，所以．
（2）选条件①：；
因为，由（1）得，
所以根据余弦定理得，可得，解得．
所以的面积，
选条件②：；
由（1）知且，
根据正弦定理得，所以，
因为，
所以，
所以的面积．
【变式5-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求的周长；
(2)若内切圆、外接圆的半径分别为r，R，求的取值范围．
【解题思路】(1)根据余弦定理列方程，结合已知条件可求，由此求的周长；
(2)根据正弦定理可得，根据内切圆的性质及三角形面积公式可得，利用二次函数性质求的取值范围.
【解答过程】（1）由余弦定理可得，又，，，
所以，所以，，所以的周长为；
（2）由正弦定理可得，所以，设的面积为，
由内切圆的性质可得，又，
所以，所以，又，，
所以，
因为，，，所以，
令，则，，所以，所以，
所以，所以的取值范围为.
【变式5-2】（2022·天津北辰·高三期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
【解题思路】（1）根据正弦定理，把边化为角，结合三角形的内角和定理，利用三角恒等变换化简可得，进一步求得；
（2）根据（1）的结论，根据三角形的面积公式可得，再利用余弦定理变形可得，进而求得的周长；
【解答过程】（1）因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以，所以即；
（2）因为的面积为，，
由三角形的面积公式得，化简得，
又根据余弦定理得，
所以，
所以，所以，
故的周长为.
【变式5-3】（2022·山东烟台·高三期中）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答．
问题：已知中，角、、的对边分别为、、，是边的中点，，且______．
(1)求的值；
(2)若的平分线交于点，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）选①，在和中，应用余弦定理，由，求得结论；
选②，由正弦定理化边为角，求得角，然后设，，在和中对角应用余弦定理列方程组求解；
（2）由求得，再由角平分线定理求得后可得三角形周长．
【解答过程】（1）解：选择①：设，则，
在中，，
在中，，
∵，∴，
即，所以，故．
选择②：由正弦定理得，，
∵，∴，∴，
即，于是，∴，
设，，
在中，，即（i），
在中，，即（ii），
联立（i）（ii）解得，，，即，．
（2）解：由题意得，，
∴，∴，
又∵，∴，
∴故的周长为 ．
【题型6 解三角形的实际应用】
【方法点拨】
正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形与四边形)
问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及的术语(如方位角等)构建恰当的三角形，在三角形
中运用正弦定理或余弦定理即可.
【例6】（2022·北京海淀·高三期中）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）
(1)求的面积；
(2)求点之间的距离．
【解题思路】（1）由正弦定理求得的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；
（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.
【解答过程】（1）在 中，，，所以．
由正弦定理：，得，
所以,
，
所以 的面积为．
（2）由，，得，且,
．
在 中由余弦定理，得
,
所以．
即点C，D之间的距离为．
【变式6-1】（2022·浙江·高一期中）如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变.
(1)当时，求被灯光照到的区域的面积；
(2)求海岸线上被照到的线段长的最小值.
【解题思路】（1）分别利用正弦定理求得，再根据三角形得面积公式即可得解；
（2）设A到EF的距离为，根据可求得，从而可得EF的最小值即为面积的最小值，设，，分别利用正弦定理求得，再根据三角形得面积公式结合三角恒等变换求得面积的最小值，从而可得出答案.
【解答过程】（1）解：在中，，
由正弦定理，得，所以，
在中，，
由正弦定理，得，所以，
所以；
（2）解：设A到EF的距离为，
由，得，
所以EF的最小值即为面积的最小值，
设，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
，
当且仅当时，取“”，
当面积最小时，由，得，
所以线段的最小值为.
【变式6-2】（2022·湖北·高二阶段练习）如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求．
(1)当时，求线段的长度；
(2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）
【解题思路】（1）根据题意分析可得，结合直角三角形的性质运算求解；
（2）在中，利用正弦定理进行边化角可得，在中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得，以为整体结合正弦函数求的最大值.
【解答过程】（1）
因为且，
故，故，
故，则；
（2）
设，由题意，
在中，由正弦定理，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
又由（1）可得，所以，
当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时.
【变式6-3】（2022·云南·高三阶段练习）如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中，米．现将该三角形菜地分成三块，其中．
(1)若，求的长；
(2)求面积的最小值．
【解题思路】（1）利用正弦定理求出的长，分析可知为等腰三角形，可得出的长，进而可求得的长；
（2）用表示、的长，利用三角恒等变换化简面积的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得面积的最小值.
【解答过程】（1）
解：在等腰中，因为，则，
在中，由题意可得米，，．
且，
由正弦定理可得，则米．
因为，，
所以，则米，
故米．
（2）
解：设，其中，则，．
在中，由正弦定理可得，
则米．
在中，由正弦定理可得，
则米．
的面积．
因为
，
，则，
所以当，即时，，
故面积的最小值是平方米．